Não há mais informações nem figura. A resposta precisa ser o valor numérico (em termos de e) dessa integral.
Passo 2
Observação sobre a estrutura do integrando (isso é importante para escolher a técnica): temos um termo e^{x^{2}} (uma exponencial com x^{2} dentro) multiplicado por x^{3}. Repare que x^{3}=x^{2}\cdot x. Quando aparece uma função composta como e^{x^{2}} junto com fatores que lembram a derivada de x^{2} (a derivada de x^{2} é 2x), uma substituição do tipo t=x^{2} costuma simplificar muito. Vou aplicar essa substituição.
Também mudo os limites usando t=x^{2}: quando x=0 temos t=0^{2}=0; quando x=2 temos t=2^{2}=4.
Passo 3
Agora faço a substituição na integral. Escrevo x^{3} e^{x^{2}}\,dx como (x^{2})(x\,dx)\,e^{x^{2}}. Substituindo x^{2}=t, x\,dx=\dfrac{dt}{2} e e^{x^{2}}=e^{t}, a integral fica
\int_{0}^{2} x^{3} e^{x^{2}}\,dx = \int_{t=0}^{t=4} t \, e^{t} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2}\int_{0}^{4} t e^{t}\,dt.
Portanto reduzi o problema a calcular \dfrac{1}{2}\int_{0}^{4} t e^{t}\,dt.
Passo 4
Agora precisamos de uma primitiva (antiderivada) de t e^{t}. Vou usar a fórmula de integração por partes. A fórmula geral é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde você escolhe u e dv. Uma escolha natural quando há um polinômio vezes exponencial é tomar u como o polinômio (aqui u=t) e dv=e^{t}dt. Assim:
u = t \quad\Rightarrow\quad du = dt,
dv = e^{t}dt \quad\Rightarrow\quad v = e^{t}.
Aplicando integração por partes:
\int t e^{t}\,dt = t e^{t} - \int e^{t}\,dt = t e^{t} - e^{t} + C = (t-1)e^{t} + C.
(Explicação curta: derive o polinômio t para simplificar e integre e^{t} que volta a ser e^{t}.)
Passo 5
Usando a primitiva encontrada, a integral definida torna-se
\frac{1}{2}\int_{0}^{4} t e^{t}\,dt = \frac{1}{2}\Big[ (t-1)e^{t} \Big]_{0}^{4}.
Confirmação rápida (para fixar a ideia): uma integral semelhante e mais simples é \int x e^{x^{2}}\,dx. Fazendo t=x^{2} obtemos dt=2x\,dx e a integral vira \tfrac{1}{2}\int e^{t}\,dt=\tfrac{1}{2}e^{t}+C=\tfrac{1}{2}e^{x^{2}}+C. Isso mostra por que a substituição t=x^{2} é natural nesses casos.