Questão 1. Calcule as seguintes integrais
\int_{0}^{\pi / 2} \cos (x) e^{\operatorname{sen}(x)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/2} \cos(x)\,e^{\sin(x)}\,dx.
Informações fornecidas:
  • A função integranda é \cos(x)\,e^{\sin(x)}.
  • Os limites de integração são x=0 e x=\pi/2.
  • A função é contínua no intervalo [0,\pi/2] (não há singularidades).

Passo 2

Vamos entender uma técnica que resolve esse tipo de integral: a substituição (mudança de variável). Ideia básica: se dentro da integral aparece uma função composta f(g(x)) e o fator g'(x) também aparece multiplicando, então faz sentido definir a nova variável \,u=g(x)\, porque du=g'(x)\,dx transforma a integral em algo mais simples. A fórmula essencial (para integrais indefinidas) é
\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du,
onde u=g(x) e du=g'(x)\,dx. Aqui:
  • g(x) é a função que escolhemos para substituir;
  • g'(x) é a derivada de g em relação a x;
  • u é a nova variável, e du representa a diferencial correspondente.
Exemplo rápido e concreto (para fixar): se temos \int \cos(x)\,e^{\sin(x)}\,dx (sem limites), note que a derivada de \sin(x) é \cos(x). Então escolhendo u=\sin(x) temos du=\cos(x)\,dx, e a integral vira \int e^{u}\,du = e^{u}+C. Isso mostra por que a substituição é conveniente aqui.

Passo 3

Agora aplicamos essa substituição à integral dada, mas lembrando que é uma integral definida — então precisamos transformar também os limites.
Fazemos a substituição
u = \sin(x).
Calculamos a diferencial:
du = \cos(x)\,dx.
Transformamos os limites usando u=\sin(x):
  • quando x=0, temos u=\sin(0)=0;
  • quando x=\pi/2, temos u=\sin(\pi/2)=1.
Portanto a integral definida fica
\int_{0}^{\pi/2} \cos(x)\,e^{\sin(x)}\,dx = \int_{0}^{1} e^{u}\,du.

Passo 4

Agora integramos a função exponencial em u. Sabemos que a primitiva de e^{u} é ela mesma:
\int e^{u}\,du = e^{u} + C.
Como é integral definida, avaliamos entre os limites u=0 e u=1:
\int_{0}^{1} e^{u}\,du = \left. e^{u} \right|_{0}^{1} = e^{1} - e^{0}.

Passo 5

Simplificando os valores conhecidos:
e^{1} = e,\qquad e^{0}=1.
Logo o valor da integral é
e-1.
Parabéns — a técnica foi reconhecer a composição \sin(x) com sua derivada \cos(x) e usar a substituição. Se ficar tenso na prova, basta procurar dentro da integral um pedaço cujo derivado também aparece multiplicando: isso é quase sempre um convite para substituir.

Resposta

e-1

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