Questão 1. Calcule as seguintes integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações fornecidas:
- A função integranda é
. - Os limites de integração são
e . - A função é contínua no intervalo
(não há singularidades).
Passo 2
Vamos entender uma técnica que resolve esse tipo de integral: a substituição (mudança de variável). Ideia básica: se dentro da integral aparece uma função composta
e o fator
também aparece multiplicando, então faz sentido definir a nova variável
porque
transforma a integral em algo mais simples. A fórmula essencial (para integrais indefinidas) é
onde
e
. Aqui:
-
é a função que escolhemos para substituir; -
é a derivada de em relação a ; -
é a nova variável, e representa a diferencial correspondente.
Exemplo rápido e concreto (para fixar): se temos
(sem limites), note que a derivada de
é
. Então escolhendo
temos
, e a integral vira
. Isso mostra por que a substituição é conveniente aqui.
Passo 3
Agora aplicamos essa substituição à integral dada, mas lembrando que é uma integral definida — então precisamos transformar também os limites.
Fazemos a substituição
Calculamos a diferencial:
Transformamos os limites usando
:
- quando
, temos ; - quando
, temos .
Portanto a integral definida fica
Passo 4
Agora integramos a função exponencial em
. Sabemos que a primitiva de
é ela mesma:
Como é integral definida, avaliamos entre os limites
e
:
Passo 5
Simplificando os valores conhecidos:
Logo o valor da integral é
Parabéns — a técnica foi reconhecer a composição
com sua derivada
e usar a substituição. Se ficar tenso na prova, basta procurar dentro da integral um pedaço cujo derivado também aparece multiplicando: isso é quase sempre um convite para substituir.