Questão 2. Calcule o trabalho realizado pelo campo
para deslocar uma partícula ao longo da parábola
do ponto
ao ponto
.
Passo 1
O enunciado fornece o campo vetorial
e a curva descrita pela parábola
indo do ponto
até o ponto
. A pergunta é: calcular o trabalho realizado pelo campo ao deslocar a partícula ao longo dessa curva, isto é, calcular
onde
é a curva orientada de
para
.
Passo 2
Escolhemos parametrizar a curva usando
como parâmetro: seja
Explicação rápida: essa parametrização dá
e
, e quando
obtemos
e quando
obtemos
, que são exatamente os limites do deslocamento pedido. A diferencial de posição é
pois derivamos componente a componente.
Passo 3
Vamos escrever o campo vetorial ao longo da curva, substituindo
e
. Primeiro calculemos o produto
ao longo da curva:
Substituindo em
obtemos
Passo 4
Agora calculamos o produto escalar
:
Passo 5
Montamos a integral do trabalho com os limites
a
:
Repare que a parte
é justamente a derivada de
. Vamos verificar isso usando a regra do produto e a regra da cadeia:
- Regra do produto:
- Regra da cadeia:
Combinando,
Portanto a integral fica
A primeira integral é simples e a segunda é uma integral de derivada (teorema fundamental do cálculo). Assim
Como
, obtemos