Questão 2. Calcule o trabalho realizado pelo campo
\vec{F}=\left\langle 2+\cos (x y)-x y \operatorname{sen}(x y),-x^{2} \operatorname{sen}(x y)\right\rangle
para deslocar uma partícula ao longo da parábola y=\pi x^{2} do ponto (0,0) ao ponto (1, \pi).

Passo 1

O enunciado fornece o campo vetorial
\vec{F}(x,y)=\left\langle 2+\cos(xy)-xy\sin(xy),\,-x^{2}\sin(xy)\right\rangle
e a curva descrita pela parábola y=\pi x^{2} indo do ponto (0,0) até o ponto (1,\pi). A pergunta é: calcular o trabalho realizado pelo campo ao deslocar a partícula ao longo dessa curva, isto é, calcular
W=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec r,
onde C é a curva orientada de (0,0) para (1,\pi).

Passo 2

Escolhemos parametrizar a curva usando x como parâmetro: seja
\vec r(t)=\langle t,\;\pi t^{2}\rangle,\qquad 0\le t\le 1.
Explicação rápida: essa parametrização dá x=t e y=\pi t^{2}, e quando t=0 obtemos (0,0) e quando t=1 obtemos (1,\pi), que são exatamente os limites do deslocamento pedido. A diferencial de posição é
\vec r\,'(t)=\langle 1,\;2\pi t\rangle,
pois derivamos componente a componente.

Passo 3

Vamos escrever o campo vetorial ao longo da curva, substituindo x=t e y=\pi t^{2}. Primeiro calculemos o produto xy ao longo da curva:
xy = t\cdot (\pi t^{2}) = \pi t^{3}.
Substituindo em \vec F obtemos
\vec F(\vec r(t))=\left\langle 2+\cos(\pi t^{3})-(\pi t^{3})\sin(\pi t^{3}),\; -t^{2}\sin(\pi t^{3})\right\rangle.

Passo 4

Agora calculamos o produto escalar \vec F(\vec r(t))\cdot\vec r\,'(t):
\begin{aligned} \vec F(\vec r(t))\cdot\vec r\,'(t) &= \bigl(2+\cos(\pi t^{3})-\pi t^{3}\sin(\pi t^{3})\bigr)\cdot 1 + \bigl(-t^{2}\sin(\pi t^{3})\bigr)\cdot (2\pi t)\\[4pt] &= 2+\cos(\pi t^{3})-\pi t^{3}\sin(\pi t^{3}) -2\pi t^{3}\sin(\pi t^{3})\\[4pt] &= 2+\cos(\pi t^{3}) -3\pi t^{3}\sin(\pi t^{3}). \end{aligned}]

Passo 5

Montamos a integral do trabalho com os limites t=0 a t=1:
W=\int_{0}^{1}\Bigl(2+\cos(\pi t^{3})-3\pi t^{3}\sin(\pi t^{3})\Bigr)\,dt.
Repare que a parte \cos(\pi t^{3})-3\pi t^{3}\sin(\pi t^{3}) é justamente a derivada de t\cos(\pi t^{3}). Vamos verificar isso usando a regra do produto e a regra da cadeia:
  • Regra do produto: \dfrac{d}{dt}\bigl(t\cos(\pi t^{3})\bigr)=\cos(\pi t^{3}) + t\cdot\dfrac{d}{dt}\bigl(\cos(\pi t^{3})\bigr).
  • Regra da cadeia: \dfrac{d}{dt}\bigl(\cos(\pi t^{3})\bigr) = -\sin(\pi t^{3})\cdot 3\pi t^{2}.
Combinando,
\frac{d}{dt}\bigl(t\cos(\pi t^{3})\bigr) = \cos(\pi t^{3}) + t\cdot\bigl(-3\pi t^{2}\sin(\pi t^{3})\bigr) = \cos(\pi t^{3}) -3\pi t^{3}\sin(\pi t^{3}).
Portanto a integral fica
W=\int_{0}^{1}2\,dt + \int_{0}^{1}\frac{d}{dt}\bigl(t\cos(\pi t^{3})\bigr)\,dt.
A primeira integral é simples e a segunda é uma integral de derivada (teorema fundamental do cálculo). Assim
\begin{aligned} W &= \bigl[2t\bigr]_{0}^{1} + \bigl[t\cos(\pi t^{3})\bigr]_{0}^{1}\\[4pt] &= 2\cdot 1 - 2\cdot 0 \;+\; \bigl(1\cdot\cos(\pi\cdot 1^{3}) - 0\cdot\cos(0)\bigr)\\[4pt] &= 2 + \cos(\pi). \end{aligned}
Como \cos(\pi)=-1, obtemos
W=2-1=1.]

Resposta

1

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