Faça a antidiferenciação. Nos Exercícios de 1 a 8, de 15 a 18 e de 31 a 34, verifique o resultado, calculando a derivada de sua resposta.
int \frac{\cos x}{\operatorname{sen}^{2} x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a antiderivada (primitiva) da função dada e verificar o resultado pela derivação. A integral é
\int \frac{\cos x}{\sin^{2} x}\,dx.
Informações relevantes que temos:
  • O integrando é \dfrac{\cos x}{\sin^{2} x}.
  • Queremos encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{\cos x}{\sin^{2} x}.
  • Depois devemos verificar tomando a derivada da primitiva encontrada.

Passo 2

Observação sobre o método: aqui é natural usar substituição porque a derivada de \sin x aparece no numerador. A técnica de substituição básica é: se a integral contém uma função g(x) e sua derivada g'(x) multiplicando alguma função de g(x), pode-se colocar u=g(x) e substituir.
Tomamos a substituição
u=\sin x.
Agora calculemos du. Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
du = \cos x\,dx.
Essa relação é exatamente útil porque o numerador da integral é \cos x\,dx.

Passo 3

Substituindo na integral: como \sin x=u e \cos x\,dx=du, a integral em x transforma-se em uma integral em u:
\int \frac{\cos x}{\sin^{2} x}\,dx = \int \frac{1}{u^{2}}\,du.
Aqui usei que \dfrac{1}{\sin^{2}x} = u^{-2}.

Passo 4

Agora integramos \int u^{-2}\,du. Usamos a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
No nosso caso n=-2, logo
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -u^{-1} + C.
Escrito com fração, isso é -\dfrac{1}{u}+C.

Passo 5

Voltando à variável original x usando u=\sin x, obtemos a primitiva
F(x) = -\frac{1}{\sin x} + C.
Também podemos escrever usando a função cosseno recíproca:
F(x) = -\csc x + C,
onde \csc x = \dfrac{1}{\sin x}.

Passo 6

Verificação: calculamos a derivada de F(x) para checar se volta ao integrando.
Começamos pela forma F(x) = -\dfrac{1}{\sin x}. Escrevendo F(x)=-(\sin x)^{-1} e aplicando a regra da cadeia,
F'(x) = -\bigl(-1\bigr)(\sin x)^{-2}\cdot\cos x = \frac{\cos x}{\sin^{2} x}.
Detalhando: a derivada de (\sin x)^{-1} é -1\cdot(\sin x)^{-2}\cdot\cos x, e o sinal menos à frente cancela esse menos, resultando em \dfrac{\cos x}{\sin^{2} x}.
Portanto a derivada de F(x) é exatamente o integrando, verificação concluída.

Resposta

-\csc x + C

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