Faça a antidiferenciação. Nos Exercícios de 1 a 8, de 15 a 18 e de 31 a 34, verifique o resultado, calculando a derivada de sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a antiderivada (primitiva) da função dada e verificar o resultado pela derivação. A integral é
Informações relevantes que temos:
- O integrando é
. - Queremos encontrar uma função
tal que . - Depois devemos verificar tomando a derivada da primitiva encontrada.
Passo 2
Observação sobre o método: aqui é natural usar substituição porque a derivada de
aparece no numerador. A técnica de substituição básica é: se a integral contém uma função
e sua derivada
multiplicando alguma função de
, pode-se colocar
e substituir.
Tomamos a substituição
Agora calculemos
. Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Essa relação é exatamente útil porque o numerador da integral é
.
Passo 3
Substituindo na integral: como
e
, a integral em
transforma-se em uma integral em
:
Aqui usei que
.
Passo 4
Agora integramos
. Usamos a regra de potência para integrais: para
,
No nosso caso
, logo
Escrito com fração, isso é
.
Passo 5
Voltando à variável original
usando
, obtemos a primitiva
Também podemos escrever usando a função cosseno recíproca:
onde
.
Passo 6
Verificação: calculamos a derivada de
para checar se volta ao integrando.
Começamos pela forma
. Escrevendo
e aplicando a regra da cadeia,
Detalhando: a derivada de
é
, e o sinal menos à frente cancela esse menos, resultando em
.
Portanto a derivada de
é exatamente o integrando, verificação concluída.