Questão 7 - Calcule a transformada inversa:
7) \frac{19}{s+2}-\frac{1}{3 s-5}+\frac{7}{s^{5}}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de
F(s)=\frac{19}{s+2}-\frac{1}{3s-5}+\frac{7}{s^{5}}.
Vamos usar a linearidade da transformada de Laplace e as formas conhecidas \mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{1}{s+a}\bigr\}=e^{-at} e \mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{n!}{s^{n+1}}\bigr\}=t^{n}, para t\ge0.

Passo 2

Para o termo \displaystyle \frac{19}{s+2}, reconhecemos que \mathcal{L}\{e^{-2t}\}=\tfrac{1}{s+2}.
Pela linearidade,
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{19}{s+2}\Bigr\} =19\,\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s+2}\Bigr\} =19\,e^{-2t}.

Passo 3

No termo \displaystyle -\frac{1}{3s-5} escrevemos
-\frac{1}{3s-5} =-\frac{1}{3}\,\frac{1}{s-\tfrac{5}{3}}.
Como \mathcal{L}\{e^{at}\}=\tfrac{1}{s-a}, obtemos
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{-\frac{1}{3s-5}\Bigr\} =-\frac{1}{3}\,e^{\tfrac{5}{3}t}.

Passo 4

Para o termo \displaystyle \frac{7}{s^{5}}, usamos que \mathcal{L}\{t^{4}\}=\tfrac{4!}{s^{5}}=\tfrac{24}{s^{5}}.
Logo
\frac{7}{s^{5}} =7\cdot \frac{1}{s^{5}} =7\cdot \frac{t^{4}}{4!} = \frac{7}{24}\,t^{4}.
Portanto
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{7}{s^{5}}\Bigr\} =\frac{7}{24}\,t^{4}.

Passo 5

Somando os resultados de cada termo, a transformada inversa é
f(t) =19\,e^{-2t} -\frac{1}{3}\,e^{\tfrac{5}{3}t} +\frac{7}{24}\,t^{4}, \quad t\ge0.

Resposta

f(t)=19\,e^{-2t}-\frac{1}{3}e^{\tfrac{5}{3}t}+\frac{7}{24}t^{4}.

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