Questão 7 - Calcule a transformada inversa:
6) \frac{3}{s}+\frac{7}{s^{3}}+\frac{4}{s^{2}-7}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa da função \displaystyle F(s)=\frac{3}{s}+\frac{7}{s^{3}}+\frac{4}{s^{2}-7}.
Vamos usar as propriedades \mathcal{L}^{-1}\{1/s\}=1, \mathcal{L}^{-1}\{1/s^{n+1}\}=t^{n}/n! e \mathcal{L}^{-1}\{1/(s^{2}-a^{2})\}=(1/a)\operatorname{sinh}(at).

Passo 2

Para o termo \displaystyle \frac{3}{s} temos
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{3}{s}\Bigr\} =3\;\mathcal{L}^{-1}\{1/s\} =3\cdot1 =3.

Passo 3

Para o termo \displaystyle \frac{7}{s^{3}} usamos n+1=3\implies n=2, logo
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{7}{s^{3}}\Bigr\} =7\;\mathcal{L}^{-1}\{1/s^{3}\} =7\;\frac{t^{2}}{2!} =\frac{7}{2}\,t^{2}.

Passo 4

Para o termo \displaystyle \frac{4}{s^{2}-7} escrevemos a=\sqrt{7}. Então
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{4}{s^{2}-7}\Bigr\} =4\;\mathcal{L}^{-1}\{1/(s^{2}-a^{2})\} =4\;\frac{1}{a}\operatorname{sinh}(at) =\frac{4}{\sqrt{7}}\operatorname{sinh}\bigl(\sqrt{7}\,t\bigr).

Passo 5

Somando os três resultados obtemos
f(t) =3+\frac{7}{2}\,t^{2}+\frac{4}{\sqrt{7}}\operatorname{sinh}\bigl(\sqrt{7}\,t\bigr).

Resposta

f(t)=3+\frac{7}{2}\,t^{2}+\frac{4}{\sqrt{7}}\operatorname{sinh}\bigl(\sqrt{7}\,t\bigr).

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