Questão 2 - Calor específico de um metal com calorímetro não ideal

Em uma prática no LIDF, você quer determinar o calor específico c_{m} de um bloco metálico desconhecido, usando um calorímetro de alumínio (não desprezível).

Dados medidos

  • Massa do bloco metálico: m_{m}=180 \mathrm{~g}.
  • Temperatura inicial do bloco (após aquecimento): T_{m, i}=98.0^{\circ} \mathrm{C}.
  • Massa de água no calorímetro: m_{a}=220 \mathrm{~g}.
  • Temperatura inicial da água e do calorímetro: T_{a, i}=22.0^{\circ} \mathrm{C}.
  • Temperatura de equilíbrio final: T_{f}=27.4^{\circ} \mathrm{C}.
  • Massa do calorímetro (alumínio): m_{\mathrm{cal}}=95 \mathrm{~g}.
  • Calor específico do alumínio: c_{\mathrm{Al}}=0.90 \mathrm{~J} \mathrm{~g}^{-1}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}.
  • Calor específico da água: c_{\text {agua }}=4.18 \mathrm{~J} \mathrm{~g}^{-1}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}.

Pede-se

a) Defina claramente qual é o sistema e quais são as hipóteses físicas do modelo.
b) Identifique e rotule as variáveis e escreva a equação de conservação de energia que governa o processo.
c) Calcule c_{m} do metal.
d) Refaça o cálculo supondo (incorretamente) que o calorímetro é ideal (isto é, m_{\text {cal }}=0 ). Qual o erro percentual introduzido por essa simplificação?
e) Discuta qualitativamente: quais seriam duas causas prováveis, em uma prática real, de c_{m} sair menor do que o tabelado?

Passo 1

O enunciado pede as respostas para os itens (a) a (e) listados abaixo e fornece os dados experimentais. Vou transcrever claramente o que é pedido e listar todos os dados relevantes que o enunciado deu.
O que é pedido:
  • (a) Definir o sistema e as hipóteses físicas do modelo.
  • (b) Identificar e rotular as variáveis e escrever a equação de conservação de energia do processo.
  • (c) Calcular o calor específico do metal c_{m}.
  • (d) Recalcular c_{m} supondo m_{\mathrm{cal}}=0 (calorímetro ideal) e calcular o erro percentual dessa simplificação.
  • (e) Discutir qualitativamente duas causas prováveis para que o c_{m} experimental saia menor que o valor tabelado.
Dados medidos (todos os números abaixo foram tirados do enunciado):
  • Massa do bloco metálico: m_{m}=180\\ \mathrm{g}.
  • Temperatura inicial do bloco (após aquecimento): T_{m,i}=98{,}0^\circ\mathrm{C}.
  • Massa de água no calorímetro: m_{a}=220\\ \mathrm{g}.
  • Temperatura inicial da água e do calorímetro: T_{a,i}=22{,}0^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura de equilíbrio final: T_{f}=27{,}4^\circ\mathrm{C}.
  • Massa do calorímetro (alumínio): m_{\mathrm{cal}}=95\\ \mathrm{g}.
  • Calor específico do alumínio: c_{\mathrm{Al}}=0{,}90\\ \mathrm{J}\,\mathrm{g}^{-1}\,{}^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Calor específico da água: c_{\mathrm{agua}}=4{,}18\\ \mathrm{J}\,\mathrm{g}^{-1}\,{}^\circ\mathrm{C}^{-1}.
Observação: a resolução numérica começa no Passo 4; aqui apenas organizei o que foi pedido e os dados.

Passo 2

(a) Sistema e hipóteses físicas do modelo.
Definição do sistema:
  • O sistema termodinâmico escolhido é o conjunto formado pelo bloco metálico, pela água e pelo corpo do calorímetro (alumínio). Em outras palavras, o sistema é “metal + água + calorímetro”.
Hipóteses físicas do modelo (explicadas com linguagem simples):
  1. Conservação de energia (primeira lei da termodinâmica) válida: o calor perdido por um corpo é ganho pelos outros dentro do sistema isolado.
  2. Não há troca de calor com o ambiente externo (calor trocado com o ar ambiente é desprezível durante o processo). Esta hipótese significa que o sistema é termicamente isolado para o intervalo do experimento.
  3. Não há mudança de fase (nenhuma evaporação significativa da água e o metal não funde).
  4. Os calores específicos c são constantes no intervalo de temperatura considerado (valores dados são válidos).
  5. A água e o calorímetro estão inicialmente em equilíbrio térmico a T_{a,i} antes de adicionar o metal, e ao final todo o conjunto atinge a mesma temperatura T_f.
  6. A massa e a temperatura inicial do metal foram medidas corretamente (vamos discutir causas de erro no item (e)).
Essas hipóteses são padrão para esse tipo de prática; se alguma falhar (por exemplo, perda de calor significativa para o ambiente), o resultado experimental será tendencioso.

Passo 3

(b) Identificação e rotulagem das variáveis; escrita da equação de conservação de energia.
Conceito usado (aula rápida): calor trocado por um corpo ao variar sua temperatura é dado por
Q = m \, c \, \Delta T,
onde
  • Q é o calor absorvido (positivo) ou cedido (negativo) pelo corpo,
  • m é a massa do corpo,
  • c é o calor específico (unidade \mathrm{J}\,\mathrm{g}^{-1}\,{}^\circ\mathrm{C}^{-1}),
  • \Delta T é a variação de temperatura T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}}.
Sinais e convenção prática para essa questão:
  • O metal, aquecido, ao ser mergulhado cede calor; a variação de temperatura do metal é negativa: \Delta T_{m}=T_{f}-T_{m,i}<0. Em fórmula prática preferimos usar o módulo da variação (temperatura inicial menos final) para quantidades positivas de energia perdida.
  • A água e o calorímetro absorvem calor; \Delta T_{a}=T_{f}-T_{a,i}>0.
Equação de conservação de energia (calor perdido = calor ganho), escrita explicitamente:
m_{m}\,c_{m}\,\bigl(T_{m,i}-T_{f}\bigr) = m_{a}\,c_{\text{agua}}\,\bigl(T_{f}-T_{a,i}\bigr) + m_{\mathrm{cal}}\,c_{\mathrm{Al}}\,\bigl(T_{f}-T_{a,i}\bigr).
Explicação: o termo à esquerda é o calor cedido pelo metal (positivo ao tomar o módulo da queda de temperatura). Do lado direito aparecem as parcelas correspondentes ao calor ganho pela água e pelo corpo do calorímetro, ambos começando a T_{a,i} e subindo até T_f. Note que usei a mesma variação \bigl(T_{f}-T_{a,i}\bigr) para água e calorímetro porque o enunciado informa que água e calorímetro estavam inicialmente à mesma temperatura T_{a,i}.
Agora isolamos c_{m} para poder calcular:
c_{m} = \frac{m_{a}\,c_{\text{agua}}\,\bigl(T_{f}-T_{a,i}\bigr) + m_{\mathrm{cal}}\,c_{\mathrm{Al}}\,\bigl(T_{f}-T_{a,i}\bigr)} {m_{m}\,\bigl(T_{m,i}-T_{f}\bigr)}.

Passo 4

(c) Cálculo numérico de c_{m} — cálculo passo a passo, explicando unidades e arredondamentos.
Primeiro, calcule as variações de temperatura (todos os números em ^{\circ}\mathrm{C}):
T_{m,i}-T_{f}=98{,}0-27{,}4=70{,}6\\ \text{(em }^\circ\mathrm{C}\text{)}.
T_{f}-T_{a,i}=27{,}4-22{,}0=5{,}4\\ \text{(em }^\circ\mathrm{C}\text{)}.
Agora calcule cada termo do numerador separadamente (uso unidades \mathrm{g} e \mathrm{J}\,\mathrm{g}^{-1}\,{}^\circ\mathrm{C}^{-1} — elas se cancelam em \Delta T e o resultado fica em joules):
  1. Calor ganho pela água:
m_{a}\,c_{\text{agua}}\,(T_{f}-T_{a,i}) = 220\cdot 4{,}18\cdot 5{,}4.
Calcule passo a passo:
4{,}18\cdot 5{,}4 = 22{,}572,
220\cdot 22{,}572 = 4\,965{,}84\\ \mathrm{J}.
  1. Calor ganho pelo calorímetro (alumínio):
m_{\mathrm{cal}}\,c_{\mathrm{Al}}\,(T_{f}-T_{a,i}) = 95\cdot 0{,}90\cdot 5{,}4.
Calcule passo a passo:
0{,}90\cdot 5{,}4 = 4{,}86,
95\cdot 4{,}86 = 461{,}70\\ \mathrm{J}.
Somando os ganhos:
\text{numerador} = 4\,965{,}84 + 461{,}70 = 5\,427{,}54\\ \mathrm{J}.
Denominador:
m_{m}\,(T_{m,i}-T_{f}) = 180\cdot 70{,}6 = 12\,708\\ \mathrm{g}\cdot{}^\circ\mathrm{C}.
(Observação: como usamos c em \mathrm{J}\,\mathrm{g}^{-1}\,{}^\circ\mathrm{C}^{-1}, a unidade final de c_{m} será \mathrm{J}\,\mathrm{g}^{-1}\,{}^\circ\mathrm{C}^{-1}.)
Finalmente:
c_{m} = \frac{5\,427{,}54}{12\,708} \approx 0{,}4273\\ \mathrm{J}\,\mathrm{g}^{-1}\,{}^\circ\mathrm{C}^{-1}.
Arredondando razoavelmente (três algarismos significativos):
c_{m}\approx 0{,}427\\ \mathrm{J}\,\mathrm{g}^{-1}\,{}^\circ\mathrm{C}^{-1}.
Comentário didático: o valor obtido é típico de alguns metais (por exemplo, cobre tem c em torno de 0{,}385 a 0{,}39\\ \mathrm{J}\,\mathrm{g}^{-1}\,{}^\circ\mathrm{C}^{-1}; alumínio é 0{,}90). O importante é entender como cada parcela de calor contribui no numerador.

Passo 5

(d) Recalcular supondo calorímetro ideal ( m_{\mathrm{cal}}=0) e calcular erro percentual introduzido.
Se m_{\mathrm{cal}}=0, o numerador fica só com a água:
\text{numerador}_{\text{ideal}} = m_{a}\,c_{\text{agua}}\,(T_{f}-T_{a,i}) = 4\,965{,}84\\ \mathrm{J}.
Denominador é o mesmo: 12\,708.
Logo
c_{m,\text{ideal}} = \frac{4\,965{,}84}{12\,708} \approx 0{,}3908\\ \mathrm{J}\,\mathrm{g}^{-1}\,{}^\circ\mathrm{C}^{-1}.
Erro percentual introduzido pela simplificação (definido aqui como \dfrac{c_{m,\text{ideal}}-c_{m}}{c_{m}}\times 100\%):
\text{erro} = \frac{0{,}3908-0{,}4273}{0{,}4273}\times 100\% \approx -8{,}5\%.
Interpretação: a suposição de calorímetro ideal faz com que o valor estimado de c_{m} fique menor; o erro é cerca de 8{,}5\% (ou seja, subestimação de aproximadamente 8{,}5\%).

Passo 6

(e) Discussão qualitativa: duas causas prováveis para que o c_{m} experimental saia menor que o tabelado.
Lembre-se: aqui queremos causas que façam o valor experimental de c_{m} resultar menor do que o valor esperado na tabela.
  1. Perdas de calor para o ambiente durante a transferência do metal quente ou durante a mistura:
    • Se uma parte do calor cedido pelo metal escapa para o ar antes de ser absorvida pela água/calorímetro, a água receberá menos calor do que realmente foi cedido pelo metal. No cálculo isso aparece como numerador menor, levando a um c_{m} subestimado. Na prática, isso acontece quando há demora entre tirar o metal do banho quente e colocá-lo na água, ou se o sistema experimental não estiver bem isolado.
  2. Medição incorreta da temperatura inicial do metal (termômetro mede superfície fria, ou metal não estava uniforme):
    • Se o termômetro marcou T_{m,i} maior do que a temperatura efetiva média do bloco (por exemplo, só a superfície foi aquecida e o interior estava mais frio, ou o termômetro tocou só uma parte quente), então a variação real T_{m,i}-T_{f} é menor do que a usada no cálculo. Como c_{m} é inversamente proporcional a essa variação, usar um (T_{m,i}-T_{f}) maior do que o real causa subestimação ou sobrestima? Vamos pensar: se o valor real de T_{m,i} for menor que o indicado (isto é, usou-se um T_{m,i} muito alto), o denominador fica maior do que deveria, fazendo c_{m} parecer menor. Portanto, leitura incorreta do T_{m,i} (superestimada) leva a c_{m} menor. Problemas de má imersão, temperatura não uniforme no bloco ou tempo de resfriamento antes da imersão são comuns.
Outras causas também possíveis (lista curta): evaporação da água (perda de massa e calor), calor absorvido por termômetro ou por outros objetos não contabilizados, erro nas massas medidas. Mas as duas causas acima são as mais frequentes e explicam por que o resultado experimental tende a ficar abaixo do tabelado.
Motivação final (amigo estudioso): não fique desanimado se o valor não bater exatamente com a tabela — entender essas fontes de erro é justamente o que transforma uma prática amadora em uma prática limpa. Vai dar certo!

Resposta

(a) Sistema: metal + água + calorímetro. Hipóteses: sistema termicamente isolado (sem trocas significativas com o ambiente), sem mudança de fase, calores específicos constantes, água e calorímetro inicialmente em T_{a,i}.
(b) Equação de conservação de energia:
m_{m}\,c_{m}\,(T_{m,i}-T_{f})=m_{a}\,c_{\text{agua}}\,(T_{f}-T_{a,i})+m_{\mathrm{cal}}\,c_{\mathrm{Al}}\,(T_{f}-T_{a,i}).
(c) c_{m}\approx 0{,}427\\ \mathrm{J}\,\mathrm{g}^{-1}\,{}^\circ\mathrm{C}^{-1}.
(d) Supondo m_{\mathrm{cal}}=0: c_{m,\text{ideal}}\approx 0{,}391\\ \mathrm{J}\,\mathrm{g}^{-1}\,{}^\circ\mathrm{C}^{-1}. Erro percentual introduzido \approx -8{,}5\% (subestimação de cerca de 8{,}5\%).
(e) Duas causas prováveis para c_{m} experimental menor que o tabelado: (1) perdas de calor para o ambiente durante a transferência ou experimento; (2) leitura incorreta de T_{m,i} (metal não homogêneo ou termômetro medindo superfície mais quente que o interior), além de outros efeitos não contabilizados (evaporação, calor absorvido por instrumentos, etc.).

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