Sabe-se que a equação da condução de calor em um sólido isotrópico é dada por:
onde
é a temperatura,
é a geração de calor,
é a massa específica,
é o calor específico e
é o fluxo de calor dado pela lei de Fourier:
onde
é a condutividade térmica.
(a) Escreva a equação da condução de calor em coordenadas cartesianas em três dimensões
substituindo a lei de Fourier.
Considere, agora, uma parede (1D) isotrópica de dimensão
onde ocorre condução de calor na direção
e em regime permanente. A condutividade térmica da parede varia com a temperatura
de maneira que
onde
e
são constantes positivas conhecidas. Sabe-se que as temperaturas em
e
são mantidas iguais a zero.
(b) Escreva a equação que rege o problema junto com as condições de contorno, simplificando a equação geral da condução e justificando.
(c) Determine a função para a variação da temperatura
na parede.
(d) Determine a função para a variação da fluxo de calor
na parede.
(a) Escreva a equação da condução de calor em coordenadas cartesianas em três dimensões
(b) Escreva a equação que rege o problema junto com as condições de contorno, simplificando a equação geral da condução e justificando.
(c) Determine a função para a variação da temperatura
(d) Determine a função para a variação da fluxo de calor
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede as coisas indicadas:
- Equação geral da condução de calor em um sólido isotrópico:
- Lei de Fourier relacionando fluxo de calor e gradiente de temperatura:
- Definições / símbolos (fornecidas no enunciado):
-
: massa específica (densidade). -
: calor específico (capacidade térmica por massa). -
: temperatura, função de em geral. -
: vetor fluxo de calor (W/m^2). -
: geração volumétrica de calor (W/m^3). -
: condutividade térmica (W/(m·K)), que pode depender de ou ser constante.
-
- Parte (a) pede: substituir a lei de Fourier na equação geral e escrever a equação de condução em coordenadas cartesianas tridimensionais
. - Em seguida considera-se uma parede 1D de espessura
com condução somente ao longo de , regime permanente, condutividade dependente da temperatura segundo com , e condições de contorno e . As perguntas são: - (b) escrever a equação que rege o problema e as condições de contorno, simplificando a equação geral e justificando.
- (c) determinar
na parede. - (d) determinar
na parede.
Passo 2
Substituir a lei de Fourier na equação geral e escrever a forma em coordenadas cartesianas 3D.
Explicação curta (o que fazemos e por que): a equação geral diz que a taxa de variação de energia interna por unidade de volume é igual à divergência do fluxo de calor (com sinal trocado) mais a geração volumétrica. Substituindo
obtemos uma expressão com
. Vou escrever a forma vetorial e depois expandir em coordenadas cartesianas.
A forma vetorial obtida após substituir é:
Agora expandindo em coordenadas cartesianas
: a divergência do produto escalar com
escalar (possivelmente função de
ou de
) é a soma das derivadas parciais:
Comentário didático: se
for constante (não depende de posição nem de
), cada termo
reduz-se a
, e então a equação fica a conhecida forma
onde
é o laplaciano
. A diferença importante é que, quando
depende de
ou de
, o operador não é simplesmente
, e sim
como escrito acima.
Passo 3
Reduzir o problema à parede 1D em regime permanente e justificar simplificações (parte (b)).
O que significa regime permanente: a temperatura não mais depende do tempo, ou seja
. Como a parede é 1D no exercício, supõe-se que a temperatura varia apenas na direção
:
. Também é necessário decidir sobre a presença de geração volumétrica
. O enunciado não menciona geração interna na parede; portanto, para resolver o problema usualmente assumimos
(se houvesse geração interna, o enunciado deveria informar
ou sua dependência; sem essa informação a escolha natural é
). Se desejar, pode-se comentar que o passo com
seria parecido mas levaria a termos não nulos na integração.
Aplicando essas simplificações à equação geral vetorial:
-
torna o lado esquerdo nulo. - Dependendo apenas de
, as derivadas em e são nulas. - Com
obtemos, em 1D,
Este é o enunciado diferencial que rege o problema no interior da parede. As condições de contorno dadas são:
Explicação física curta:
diz que o fluxo de calor
é constante ao longo da parede (derivada do fluxo é zero). Em regime permanente, sem geração, a quantidade de calor que entra num corte é igual à que sai, logo o fluxo é constante. Essas observações serão úteis para resolver a equação.
Passo 4
Resolver a equação diferencial obtida para encontrar
(parte (c)).
Começamos da equação obtida:
Integração direta uma vez em
dá:
onde
é uma constante de integração (interpretação física:
é o fluxo de calor constante através da parede, já que
).
Agora usamos a forma específica de
dada no enunciado:
Substituindo em
temos a equação separável
Separando variáveis (colocar termos com
à esquerda e com
à direita) e integrando:
Integramos ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é simples:
onde
é outra constante de integração. O lado direito integra para
, mas já usamos
para armazenar constantes do lado esquerdo; podemos escolher uma única constante independente assim:
Agora aplicamos as condições de contorno. Para
,
implica
Para
,
implica (usando
)
Como
(espessura positiva), segue
.
Conclusão intermedária:
e
. Substituindo de volta na equação integralda:
Fatorando:
As soluções constantes possíveis são
ou
. A segunda solução é uma constante negativa e só seria compatível com as condições de contorno se ambas as temperaturas de contorno fossem iguais a
, o que não é o caso (as contornos são zero). Portanto a solução que satisfaz
e
é a solução trivial
Comentário físico e didático: isso era de se esperar — com as duas superfícies mantidas na mesma temperatura e sem geração interna, o estado estacionário é temperatura constante igual ao valor imposto nas superfícies. A dependência de
em
não altera esse resultado quando ambas as bordas são fixadas no mesmo valor: a única possibilidade compatível é
constante. (Em contraste, se houvesse geração interna
ou bordas com temperaturas diferentes, teríamos uma temperatura não-constante e teria efeito a variação de
.)
Passo 5
Determinar o fluxo de calor
(parte (d)).
Recordando a relação entre fluxo e gradiente:
No caso 1D somente a componente em
importa, então
e as demais componentes são nulas.
Da etapa anterior temos
constante, logo
. Assim:
Portanto o vetor fluxo é nulo em todo o domínio:
Interpretação física: com as duas faces à mesma temperatura e sem geração interna, não há diferença térmica para gerar fluxo — o fluxo em regime permanente deve ser zero.
Resposta
(a)
(b)
(c)
para todo
.
(d)
para todo
.