Sabe-se que a equação da condução de calor em um sólido isotrópico é dada por:
\rho c \frac{\partial T}{\partial t}=-\nabla \cdot \mathbf{q}+g
onde T é a temperatura, g é a geração de calor, \rho é a massa específica, c é o calor específico e \mathbf{q} é o fluxo de calor dado pela lei de Fourier:
\mathbf{q}=-k \nabla T
onde k é a condutividade térmica.
(a) Escreva a equação da condução de calor em coordenadas cartesianas em três dimensões (x, y \mathrm{e} z) substituindo a lei de Fourier.
Considere, agora, uma parede (1D) isotrópica de dimensão L onde ocorre condução de calor na direção x e em regime permanente. A condutividade térmica da parede varia com a temperatura T de maneira que k=A T+B onde A e B são constantes positivas conhecidas. Sabe-se que as temperaturas em x=0 e x=L são mantidas iguais a zero.
(b) Escreva a equação que rege o problema junto com as condições de contorno, simplificando a equação geral da condução e justificando.
(c) Determine a função para a variação da temperatura T(x) na parede.
(d) Determine a função para a variação da fluxo de calor \mathbf{q}(x) na parede.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede as coisas indicadas:
  • Equação geral da condução de calor em um sólido isotrópico:
\rho c \frac{\partial T}{\partial t}=-\nabla\cdot\mathbf{q}+g.
  • Lei de Fourier relacionando fluxo de calor e gradiente de temperatura:
\mathbf{q}=-k\nabla T.
  • Definições / símbolos (fornecidas no enunciado):
    • \rho: massa específica (densidade).
    • c: calor específico (capacidade térmica por massa).
    • T: temperatura, função de (x,y,z,t) em geral.
    • \mathbf{q}: vetor fluxo de calor (W/m^2).
    • g: geração volumétrica de calor (W/m^3).
    • k: condutividade térmica (W/(m·K)), que pode depender de T ou ser constante.
  • Parte (a) pede: substituir a lei de Fourier na equação geral e escrever a equação de condução em coordenadas cartesianas tridimensionais (x,y,z).
  • Em seguida considera-se uma parede 1D de espessura L com condução somente ao longo de x, regime permanente, condutividade dependente da temperatura segundo k=A T + B com A,B>0, e condições de contorno T(0)=0 e T(L)=0. As perguntas são:
    • (b) escrever a equação que rege o problema e as condições de contorno, simplificando a equação geral e justificando.
    • (c) determinar T(x) na parede.
    • (d) determinar \mathbf{q}(x) na parede.

Passo 2

Substituir a lei de Fourier na equação geral e escrever a forma em coordenadas cartesianas 3D.
Explicação curta (o que fazemos e por que): a equação geral diz que a taxa de variação de energia interna por unidade de volume é igual à divergência do fluxo de calor (com sinal trocado) mais a geração volumétrica. Substituindo \mathbf{q}=-k\nabla T obtemos uma expressão com \nabla\cdot(k\nabla T). Vou escrever a forma vetorial e depois expandir em coordenadas cartesianas.
A forma vetorial obtida após substituir é:
\rho c \frac{\partial T}{\partial t}=\nabla\cdot\big(k\nabla T\big)+g.
Agora expandindo em coordenadas cartesianas (x,y,z): a divergência do produto escalar com k escalar (possivelmente função de x,y,z ou de T) é a soma das derivadas parciais:
\rho c \frac{\partial T}{\partial t}= \frac{\partial}{\partial x}\!\left(k\frac{\partial T}{\partial x}\right) +\frac{\partial}{\partial y}\!\left(k\frac{\partial T}{\partial y}\right) +\frac{\partial}{\partial z}\!\left(k\frac{\partial T}{\partial z}\right)+g.
Comentário didático: se k for constante (não depende de posição nem de T), cada termo \frac{\partial}{\partial x}\!\left(k\frac{\partial T}{\partial x}\right) reduz-se a k\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}, e então a equação fica a conhecida forma
\rho c \frac{\partial T}{\partial t}=k\nabla^2 T + g,
onde \nabla^2 é o laplaciano \nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}. A diferença importante é que, quando k depende de x,y,z ou de T, o operador não é simplesmente k\nabla^2, e sim \nabla\cdot(k\nabla T) como escrito acima.

Passo 3

Reduzir o problema à parede 1D em regime permanente e justificar simplificações (parte (b)).
O que significa regime permanente: a temperatura não mais depende do tempo, ou seja \displaystyle\frac{\partial T}{\partial t}=0. Como a parede é 1D no exercício, supõe-se que a temperatura varia apenas na direção x: T=T(x). Também é necessário decidir sobre a presença de geração volumétrica g. O enunciado não menciona geração interna na parede; portanto, para resolver o problema usualmente assumimos
g=0.
(se houvesse geração interna, o enunciado deveria informar g ou sua dependência; sem essa informação a escolha natural é g=0). Se desejar, pode-se comentar que o passo com g\neq0 seria parecido mas levaria a termos não nulos na integração.
Aplicando essas simplificações à equação geral vetorial:
  • \displaystyle\frac{\partial T}{\partial t}=0 torna o lado esquerdo nulo.
  • Dependendo apenas de x, as derivadas em y e z são nulas.
  • Com g=0 obtemos, em 1D,
\frac{d}{dx}\!\left(k(T)\frac{dT}{dx}\right)=0.
Este é o enunciado diferencial que rege o problema no interior da parede. As condições de contorno dadas são:
T(0)=0,\qquad T(L)=0.
Explicação física curta: \frac{d}{dx}(k\,dT/dx)=0 diz que o fluxo de calor q_x=-k\,dT/dx é constante ao longo da parede (derivada do fluxo é zero). Em regime permanente, sem geração, a quantidade de calor que entra num corte é igual à que sai, logo o fluxo é constante. Essas observações serão úteis para resolver a equação.

Passo 4

Resolver a equação diferencial obtida para encontrar T(x) (parte (c)).
Começamos da equação obtida:
\frac{d}{dx}\!\left(k(T)\frac{dT}{dx}\right)=0.
Integração direta uma vez em x dá:
k(T)\frac{dT}{dx}=C_1,
onde C_1 é uma constante de integração (interpretação física: -C_1 é o fluxo de calor constante através da parede, já que q_x=-k\,dT/dx).
Agora usamos a forma específica de k(T) dada no enunciado:
k(T)=A T + B,\qquad A,B>0.
Substituindo em k(T)\,dT/dx=C_1 temos a equação separável
\big(A T + B\big)\frac{dT}{dx}=C_1.
Separando variáveis (colocar termos com T à esquerda e com x à direita) e integrando:
\big(A T + B\big)\,dT = C_1\,dx.
Integramos ambos os lados:
\int\big(A T + B\big)\,dT = \int C_1\,dx.
A integral do lado esquerdo é simples:
\int\big(A T + B\big)\,dT = \frac{A}{2}T^2 + B T + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração. O lado direito integra para C_1 x + C_3, mas já usamos C_2 para armazenar constantes do lado esquerdo; podemos escolher uma única constante independente assim:
\frac{A}{2}T^2 + B T = C_1 x + C_2.
Agora aplicamos as condições de contorno. Para x=0, T(0)=0 implica
\frac{A}{2}\cdot 0^2 + B\cdot 0 = C_1\cdot 0 + C_2 \quad\Rightarrow\quad C_2=0.
Para x=L, T(L)=0 implica (usando C_2=0)
\frac{A}{2}\cdot 0^2 + B\cdot 0 = C_1 L + 0 \quad\Rightarrow\quad C_1 L = 0.
Como L>0 (espessura positiva), segue C_1=0.
Conclusão intermedária: C_1=0 e C_2=0. Substituindo de volta na equação integralda:
\frac{A}{2}T^2 + B T = 0.
Fatorando:
T\left(\frac{A}{2}T + B\right)=0.
As soluções constantes possíveis são T=0 ou T = -\dfrac{2B}{A}. A segunda solução é uma constante negativa e só seria compatível com as condições de contorno se ambas as temperaturas de contorno fossem iguais a -\dfrac{2B}{A}, o que não é o caso (as contornos são zero). Portanto a solução que satisfaz T(0)=0 e T(L)=0 é a solução trivial
T(x)=0\quad\text{para todo }x\in[0,L].
Comentário físico e didático: isso era de se esperar — com as duas superfícies mantidas na mesma temperatura e sem geração interna, o estado estacionário é temperatura constante igual ao valor imposto nas superfícies. A dependência de k em T não altera esse resultado quando ambas as bordas são fixadas no mesmo valor: a única possibilidade compatível é T constante. (Em contraste, se houvesse geração interna g\neq0 ou bordas com temperaturas diferentes, teríamos uma temperatura não-constante e teria efeito a variação de k(T).)

Passo 5

Determinar o fluxo de calor \mathbf{q}(x) (parte (d)).
Recordando a relação entre fluxo e gradiente:
\mathbf{q}=-k(T)\nabla T.
No caso 1D somente a componente em x importa, então q_x=-k(T)\dfrac{dT}{dx} e as demais componentes são nulas.
Da etapa anterior temos T(x)=0 constante, logo \dfrac{dT}{dx}=0. Assim:
q_x(x)=-k(T(x))\frac{dT}{dx} = -k(0)\cdot 0 = 0.
Portanto o vetor fluxo é nulo em todo o domínio:
\mathbf{q}(x)=\mathbf{0}\quad\text{para todo }x\in[0,L].
Interpretação física: com as duas faces à mesma temperatura e sem geração interna, não há diferença térmica para gerar fluxo — o fluxo em regime permanente deve ser zero.

Resposta

(a) \displaystyle \rho c \frac{\partial T}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(k\frac{\partial T}{\partial x}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\!\left(k\frac{\partial T}{\partial y}\right)+\frac{\partial}{\partial z}\!\left(k\frac{\partial T}{\partial z}\right)+g.
(b) \displaystyle \frac{d}{dx}\!\left(\big(A T + B\big)\frac{dT}{dx}\right)=0,\qquad T(0)=0,\;T(L)=0.
(c) \displaystyle T(x)=0 para todo x\in[0,L].
(d) \displaystyle \mathbf{q}(x)=\mathbf{0} para todo x\in[0,L].

Exercícios relacionados