a) Converta a equação de modo que T pode ser em { }^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{C}_{p} em J/gmol.K
Passo 1
O enunciado dá a equação do calor específico do \mathrm{NO}_2 na forma
C_P = 8,4448 + 0,5757\cdot10^{-2}\cdot T
onde [T] = {^\circ}\mathrm{F} e [C_P] = \dfrac{\mathrm{BTU}}{\mathrm{lbmol}\cdot{^\circ}\mathrm{F}}.
A tarefa (parte a) é: converter essa equação para que a temperatura esteja em {^\circ}\mathrm{C} e o calor específico esteja em \mathrm{J}/\mathrm{gmol}\cdot\mathrm{K}.
Dados relevantes fornecidos: os dois coeficientes da equação original (8,4448 e 0,5757\cdot10^{-2}) e as unidades originais de T e C_P.
Passo 2
Vamos listar as conversões e explicar por que cada uma aparece:
Conversão de unidade de energia: 1\\ \mathrm{BTU} = 1055,05585\\ \mathrm{J}. Isto transforma BTU em joules.
Conversão de quantidade de substância entre \mathrm{lbmol} e \mathrm{gmol}: 1\\ \mathrm{lbmol} = 453,59237\\ \mathrm{gmol}. Assim, uma grandeza por \mathrm{lbmol} passa a ser por \mathrm{gmol} dividindo por 453,59237.
Conversão de escala de temperatura para variações: uma variação de 1\\ {^\circ}\mathrm{C} corresponde a 1\\ \mathrm{K}; uma variação de 1\\ \mathrm{K} corresponde a 1,8\\ {^\circ}\mathrm{F}. Logo, \Delta T_{^\circ\mathrm{F}} = 1,8\,\Delta T_{\mathrm{K}}. Para transformar um termo “por grau Fahrenheit” em “por kelvin” multiplicamos por 1,8.
Relação entre escalas absolutas: para converter uma temperatura T dada em {^\circ}\mathrm{C} para {^\circ}\mathrm{F} usamos
Explicação rápida do porquê do fator 1,8: as unidades de diferença de temperatura estão relacionadas por 1\\ {^\circ}\mathrm{C}=1\\ \mathrm{K} e 1\\ {^\circ}\mathrm{F} = 5/9\\ \mathrm{K}, então para passar de “por °F” para “por K” usamos o fator 9/5=1,8.
Passo 3
Determinar o fator global para converter unidades de C_P de \dfrac{\mathrm{BTU}}{\mathrm{lbmol}\cdot{^\circ}\mathrm{F}} para \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{gmol}\cdot\mathrm{K}}.
Partimos de C_P (orig) em \dfrac{\mathrm{BTU}}{\mathrm{lbmol}\cdot{^\circ}\mathrm{F}}. Para obter C_P em \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{gmol}\cdot\mathrm{K}} multiplicamos por:
Agora calculamos esse produto (mostrando os termos):
1055,05585\times 1,8 = 1899,10053,
\frac{1899,10053}{453,59237} \approx 4,1868.
Portanto o fator de conversão unitário é aproximadamente 4,1868. Interpretação: multiplicar um número em \dfrac{\mathrm{BTU}}{\mathrm{lbmol}\cdot{^\circ}\mathrm{F}} por 4,1868 dá o valor equivalente em \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{gmol}\cdot\mathrm{K}}.
Passo 4
Escrever a equação original com notação clara e substituir T_{^\circ\mathrm{F}} = 1,8\,T_{^\circ\mathrm{C}} + 32.
Agora multiplicamos toda a expressão pelo fator de conversão 4,1868 (para passar de \mathrm{BTU}/(\mathrm{lbmol}\cdot{^\circ}\mathrm{F}) para \mathrm{J}/(\mathrm{gmol}\cdot\mathrm{K})):
Fazendo as multiplicações finais (mostrando os cálculos):
4,1868\cdot 8,629024 \approx 36,1281,
4,1868\cdot 0,0103626 \approx 0,043386.
Portanto a equação convertida fica
C_P = 36,1281 + 0,043386\;T_{^\circ\mathrm{C}}
com unidades \left[C_P\right] = \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{gmol}\cdot\mathrm{K}}. Observação pedagógica: como estamos usando T em {^\circ}\mathrm{C} e o incremento de temperatura em °C tem a mesma magnitude que em K, é correto manter a unidade por \mathrm{K} no C_P.