Questão 2: Os calores específicos são geralmente dados em função da temperatura. A equação do calor específico para o \mathrm{NO}_{2} é:
C_{P}=8,4448+0,5757.10^{-2} \cdot \mathrm{~T} \text { onde: }[\mathrm{T}]={ }^{\circ} \mathrm{F} \quad \mathrm{e}\left[C_{P}\right]=\frac{\mathrm{BTU}}{\mathrm{Ibmol} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{F}}\right
a) Converta a equação de modo que T pode ser em { }^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{C}_{p} em J/gmol.K

Passo 1

O enunciado dá a equação do calor específico do \mathrm{NO}_2 na forma
C_P = 8,4448 + 0,5757\cdot10^{-2}\cdot T
onde [T] = {^\circ}\mathrm{F} e [C_P] = \dfrac{\mathrm{BTU}}{\mathrm{lbmol}\cdot{^\circ}\mathrm{F}}.
A tarefa (parte a) é: converter essa equação para que a temperatura esteja em {^\circ}\mathrm{C} e o calor específico esteja em \mathrm{J}/\mathrm{gmol}\cdot\mathrm{K}.
Dados relevantes fornecidos: os dois coeficientes da equação original ( 8,4448 e 0,5757\cdot10^{-2}) e as unidades originais de T e C_P.

Passo 2

Vamos listar as conversões e explicar por que cada uma aparece:
  • Conversão de unidade de energia: 1\\ \mathrm{BTU} = 1055,05585\\ \mathrm{J}. Isto transforma BTU em joules.
  • Conversão de quantidade de substância entre \mathrm{lbmol} e \mathrm{gmol}: 1\\ \mathrm{lbmol} = 453,59237\\ \mathrm{gmol}. Assim, uma grandeza por \mathrm{lbmol} passa a ser por \mathrm{gmol} dividindo por 453,59237.
  • Conversão de escala de temperatura para variações: uma variação de 1\\ {^\circ}\mathrm{C} corresponde a 1\\ \mathrm{K}; uma variação de 1\\ \mathrm{K} corresponde a 1,8\\ {^\circ}\mathrm{F}. Logo, \Delta T_{^\circ\mathrm{F}} = 1,8\,\Delta T_{\mathrm{K}}. Para transformar um termo “por grau Fahrenheit” em “por kelvin” multiplicamos por 1,8.
  • Relação entre escalas absolutas: para converter uma temperatura T dada em {^\circ}\mathrm{C} para {^\circ}\mathrm{F} usamos
T_{^\circ\mathrm{F}} = 1,8\;T_{^\circ\mathrm{C}} + 32.
Explicação rápida do porquê do fator 1,8: as unidades de diferença de temperatura estão relacionadas por 1\\ {^\circ}\mathrm{C}=1\\ \mathrm{K} e 1\\ {^\circ}\mathrm{F} = 5/9\\ \mathrm{K}, então para passar de “por °F” para “por K” usamos o fator 9/5=1,8.

Passo 3

Determinar o fator global para converter unidades de C_P de \dfrac{\mathrm{BTU}}{\mathrm{lbmol}\cdot{^\circ}\mathrm{F}} para \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{gmol}\cdot\mathrm{K}}.
Partimos de C_P (orig) em \dfrac{\mathrm{BTU}}{\mathrm{lbmol}\cdot{^\circ}\mathrm{F}}. Para obter C_P em \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{gmol}\cdot\mathrm{K}} multiplicamos por:
\underbrace{1055,05585}_{\mathrm{J/BTU}}\times \underbrace{\frac{1}{453,59237}}_{\mathrm{lbmol\to gmol}}\times \underbrace{1,8}_{^\circ\mathrm{F}\to\mathrm{K}}.
Agora calculamos esse produto (mostrando os termos):
1055,05585\times 1,8 = 1899,10053,
\frac{1899,10053}{453,59237} \approx 4,1868.
Portanto o fator de conversão unitário é aproximadamente 4,1868. Interpretação: multiplicar um número em \dfrac{\mathrm{BTU}}{\mathrm{lbmol}\cdot{^\circ}\mathrm{F}} por 4,1868 dá o valor equivalente em \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{gmol}\cdot\mathrm{K}}.

Passo 4

Escrever a equação original com notação clara e substituir T_{^\circ\mathrm{F}} = 1,8\,T_{^\circ\mathrm{C}} + 32.
A equação original é
C_P = 8,4448 + 0,5757\cdot10^{-2}\cdot T_{^\circ\mathrm{F}}.
Primeiro simplificamos o coeficiente em notação decimal:
0,5757\cdot10^{-2} = 0,005757.
Substituímos T_{^\circ\mathrm{F}} = 1,8\,T_{^\circ\mathrm{C}} + 32:
C_P = 8,4448 + 0,005757\cdot\bigl(1,8\,T_{^\circ\mathrm{C}} + 32\bigr).

Passo 5

Distribuir o termo e agrupar constantes antes de aplicar o fator de conversão de unidades:
0,005757\cdot 1,8 = 0,0103626,
0,005757\cdot 32 = 0,184224.
Logo dentro da soma:
C_P = 8,4448 + 0,184224 + 0,0103626\;T_{^\circ\mathrm{C}} = 8,629024 + 0,0103626\;T_{^\circ\mathrm{C}}.
Agora multiplicamos toda a expressão pelo fator de conversão 4,1868 (para passar de \mathrm{BTU}/(\mathrm{lbmol}\cdot{^\circ}\mathrm{F}) para \mathrm{J}/(\mathrm{gmol}\cdot\mathrm{K})):
C_P^{(\mathrm{SI})} = 4,1868\cdot\bigl(8,629024 + 0,0103626\;T_{^\circ\mathrm{C}}\bigr).

Passo 6

Fazendo as multiplicações finais (mostrando os cálculos):
4,1868\cdot 8,629024 \approx 36,1281,
4,1868\cdot 0,0103626 \approx 0,043386.
Portanto a equação convertida fica
C_P = 36,1281 + 0,043386\;T_{^\circ\mathrm{C}}
com unidades \left[C_P\right] = \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{gmol}\cdot\mathrm{K}}. Observação pedagógica: como estamos usando T em {^\circ}\mathrm{C} e o incremento de temperatura em °C tem a mesma magnitude que em K, é correto manter a unidade por \mathrm{K} no C_P.

Resposta

C_P = 36,1281 + 0,043386\;T_{^\circ\mathrm{C}}\quad\left[\dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{gmol}\cdot\mathrm{K}}\right]

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