Questão 2 - Campo de Visão em Espelho Plano
Um espelho plano vertical de altura
está fixado em uma parede. Um observador de altura
está a uma distância
do espelho. Considere que os olhos do observador estão a
do chão. Calcule:
a) A altura mínima do espelho necessária para ver o corpo inteiro
b) A posição vertical do espelho
c) A distância máxima atrás do observador visível via espelho
d) Justifique a independência em relação à distância
Um espelho plano vertical de altura
a) A altura mínima do espelho necessária para ver o corpo inteiro
b) A posição vertical do espelho
c) A distância máxima atrás do observador visível via espelho
d) Justifique a independência em relação à distância
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver nada ainda):
-
Dados fornecidos:
- Altura total do observador (do chão até o topo da cabeça):
. - Altura dos olhos do observador (do chão até os olhos):
. - Distância do observador ao espelho (medida horizontal):
. - Altura do espelho instalado na parede:
.
- Altura total do observador (do chão até o topo da cabeça):
-
O que o enunciado pede:
a) Calcular a altura mínima do espelho necessária para ver o corpo inteiro.
b) Determinar a posição vertical do espelho (ou seja, as alturas do limite inferior e do limite superior do espelho em relação ao chão) de forma a permitir ver o corpo inteiro, considerando que o espelho tem altura.
c) Calcular a distância máxima, atrás do observador, que pode ser vista através do espelho.
d) Justificar por que a resposta da letra (a) é independente da distância.
Passo 2
Ideia geométrica e ferramenta que vamos usar (explicação didática passo a passo).
- Para espelhos planos é muito prático usar o princípio da imagem virtual: o espelho cria uma imagem virtual do objeto do outro lado do plano do espelho, à mesma distância do espelho que o objeto real está na frente. Um raio que vai do objeto até o espelho e depois ao olho é equivalente (traçado geometricamente) ao segmento de reta que liga o olho à imagem virtual (porque a reflexão em plano é igual a olhar para a imagem virtual em linha reta).
- Assim, para achar em que altura o raio que vai do topo (ou dos pés) ao olho intercepta o espelho, basta traçar a reta entre o olho e a imagem virtual do ponto (topo ou pés) e ver a coordenada vertical dessa reta no plano do espelho. Em coordenadas horizontais: colocamos o plano do espelho em
, o observador em (na frente do espelho) e a imagem virtual do objeto em (atrás do espelho), com as alturas correspondentes medidas a partir do chão. - Observação importante (fórmula útil): se a reta liga
a , a interseção com tem a ordenada (altura) No caso simétrico objeto à frente em e imagem em a interseção ocorre exatamente no ponto médio vertical entre as duas alturas: . Vou usar isso explicitamente.
Passo 3
Cálculo da altura mínima do espelho para ver o corpo inteiro (letra a).
- Queremos que a reta que liga os olhos à imagem virtual do topo da cabeça atravesse o espelho em algum ponto e que a reta que liga os olhos à imagem virtual dos pés atravesse o espelho em algum ponto; o espelho precisa ter pelo menos a distância vertical entre essas duas interseções.
- Coordenadas verticais relevantes:
- altura dos olhos:
, - altura dos pés:
, - altura do topo da cabeça:
.
- altura dos olhos:
- Interseção para o raio que vem do topo (imagem virtual do topo em
) com o plano do espelho ( ) é o ponto médio vertical entre e : - Interseção para o raio que vem dos pés é o ponto médio entre
e : - A altura mínima do espelho necessária é a diferença entre essas interseções:
- Interpretação física rápida (lembrete): esse
é exatamente metade da altura do observador , razão pela qual muitas vezes se diz “um espelho de meia-altura é suficiente para ver o corpo inteiro”.
Passo 4
Posição vertical do espelho (letra b). Queremos localizar a faixa vertical (altura do bordo inferior e do bordo superior) do espelho de altura dada
que permita ver o corpo inteiro.
- Para ver o corpo inteiro é necessário que o segmento do espelho contenha as duas alturas calculadas no passo anterior:
- Se chamarmos de
a altura do bordo inferior do espelho e de a altura do bordo superior, então as condições são A segunda desigualdade dá . - Portanto
deve satisfazer Ou seja: qualquer posicionamento do espelho cujo bordo inferior esteja entre e permite ver o corpo inteiro. - Uma escolha natural, centralizando o espelho em relação ao segmento necessário (distribuindo a folga de
igualmente acima e abaixo), é colocar Mas isto é apenas uma escolha conveniente; qualquer no intervalo dado funciona.
Passo 5
Distância máxima atrás do observador visível via espelho (letra c) — análise e cálculo.
- Interpretação: queremos saber até que distância
atrás do observador (na direção contrária ao espelho, sobre o piso) um ponto ainda pode ser visto pelo observador através do espelho. Para ser concreto, analisamos pontos sobre o piso (altura ) localizados a uma distância diretamente atrás do observador (na linha perpendicular ao espelho). - Método (virtual eye): para tratar um ponto atrás do observador, é prático refletir o olho do observador em relação ao plano do espelho para obter o “olho virtual”
na posição , altura . Uma reta entre o ponto atrás do observador e intersecta o espelho em e aquele ponto de interseção tem coordenada vertical (altura) que depende de . Se essa altura cair dentro da faixa do espelho, o ponto é visível. - Coordenadas horizontais: observador em
, ponto atrás em , olho virtual em . - Usando a fórmula do passo 2, a altura da interseção no espelho para um objeto de altura
atrás do observador é (Derivação rápida: parâmetro da reta do ponto até que atinge dá , daí se obtém .) - No nosso caso para pontos no piso
, obtemos - Com os números
e : Essa função é crescente com e tem limite quando : Para (objeto colado ao observador) temos , que já calculamos antes. - Para que um ponto no piso a distância
seja visível, precisamos que . Observando que para todo , se o bordo superior do espelho for maior que então a condição superior é sempre satisfeita. No nosso caso, mesmo no posicionamento mínimo necessário para ver o corpo inteiro (em que o topo do espelho mínimo é ), tem-se . Logo a condição superior nunca limita . - A condição inferior para ver os pés do ponto no piso é
. Mas varia de (quando ) até (quando ); portanto se o espelho já foi posicionado para permitir ver os pés do próprio observador (isto é, se ), então para todo teremos ou ao menos até a provável saturação. Concretamente, como vimos no passo 4 qualquer posicionamento que permita ver o corpo inteiro satisfaz . Assim, para qualquer teremos a interseção dentro do espelho. - Conclusão do passo: com o espelho posicionado para ver o corpo inteiro (qualquer
no intervalo do passo 4), não há um limite finito para a distância atrás do observador sobre o piso que pode ser vista: essa distância é ilimitada (pode-se ver pontos arbitrariamente longe atrás do observador). Em termos práticos, a distância máxima é infinita (ou “ilimitada”).
Passo 6
Justificativa da independência em relação à distância (letra d) — por que a altura mínima do espelho não depende de
.
- Para um objeto em frente ao espelho e sua imagem virtual simétrica, as coordenadas horizontais são
para o objeto e para a imagem. A reta que liga os olhos à imagem cruza exatamente no ponto médio vertical entre e . Ou seja, o ponto de interseção tem altura que não contém em sua expressão: a dependência horizontal cancelou por simetria. Assim tanto o ponto correspondente ao topo quanto o ponto correspondente aos pés têm suas alturas no espelho dependendo apenas das alturas envolvidas, não da distância horizontal . - A altura mínima necessária do espelho é a diferença entre esses dois pontos médios:
que é claramente independente de . Em palavras: o espelho precisa cobrir os pontos médios entre os olhos e os extremos do corpo; esses pontos médios são independentes de quão longe o observador está do espelho.
Resposta
a)
b) Para ver o corpo inteiro as interseções necessárias no espelho são
(pés) e
(topo). Como o espelho tem
, o bordo inferior pode estar em qualquer altura
.
Escolha centrada (opcional): e
.
Escolha centrada (opcional):
c) Ilimitada (infinita). Com o espelho posicionado para ver o corpo inteiro, pontos no piso arbitrariamente distantes atrás do observador podem ser vistos.
d) Porque os pontos do espelho que interceptam os raios do topo e dos pés são os pontos médios verticais entre a altura dos olhos e a altura desses extremos; esse cálculo elimina a dependência horizontal
, levando a
, independente de
.