Questão 2 - Campo de Visão em Espelho Plano
Um espelho plano vertical de altura \mathrm{h}=1,20 \mathrm{~m} está fixado em uma parede. Um observador de altura 1,80 \mathrm{~m} está a uma distância \mathrm{d}=2,0 \mathrm{~m} do espelho. Considere que os olhos do observador estão a 1,70 \mathrm{~m} do chão. Calcule:
a) A altura mínima do espelho necessária para ver o corpo inteiro
b) A posição vertical do espelho
c) A distância máxima atrás do observador visível via espelho
d) Justifique a independência em relação à distância

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver nada ainda):
  • Dados fornecidos:
    • Altura total do observador (do chão até o topo da cabeça): \,H=1,80\\ \mathrm{m}\,.
    • Altura dos olhos do observador (do chão até os olhos): \,y_e=1,70\\ \mathrm{m}\,.
    • Distância do observador ao espelho (medida horizontal): \,d=2,0\\ \mathrm{m}\,.
    • Altura do espelho instalado na parede: \,h=1,20\\ \mathrm{m}\,.
  • O que o enunciado pede:
    a) Calcular a altura mínima do espelho necessária para ver o corpo inteiro.
    b) Determinar a posição vertical do espelho (ou seja, as alturas do limite inferior e do limite superior do espelho em relação ao chão) de forma a permitir ver o corpo inteiro, considerando que o espelho tem altura \,h=1,20\\ \mathrm{m}\,.
    c) Calcular a distância máxima, atrás do observador, que pode ser vista através do espelho.
    d) Justificar por que a resposta da letra (a) é independente da distância \,d\,.

Passo 2

Ideia geométrica e ferramenta que vamos usar (explicação didática passo a passo).
  • Para espelhos planos é muito prático usar o princípio da imagem virtual: o espelho cria uma imagem virtual do objeto do outro lado do plano do espelho, à mesma distância do espelho que o objeto real está na frente. Um raio que vai do objeto até o espelho e depois ao olho é equivalente (traçado geometricamente) ao segmento de reta que liga o olho à imagem virtual (porque a reflexão em plano é igual a olhar para a imagem virtual em linha reta).
  • Assim, para achar em que altura o raio que vai do topo (ou dos pés) ao olho intercepta o espelho, basta traçar a reta entre o olho e a imagem virtual do ponto (topo ou pés) e ver a coordenada vertical dessa reta no plano do espelho. Em coordenadas horizontais: colocamos o plano do espelho em x=0, o observador em x=-d (na frente do espelho) e a imagem virtual do objeto em x=+d (atrás do espelho), com as alturas correspondentes medidas a partir do chão.
  • Observação importante (fórmula útil): se a reta liga (x_1,y_1) a (x_2,y_2), a interseção com x=0 tem a ordenada (altura) y(0)=y_1+\frac{0-x_1}{x_2-x_1}(y_2-y_1).No caso simétrico objeto à frente em -d e imagem em +d a interseção ocorre exatamente no ponto médio vertical entre as duas alturas: y(0)=\dfrac{y_1+y_2}{2}. Vou usar isso explicitamente.

Passo 3

Cálculo da altura mínima do espelho para ver o corpo inteiro (letra a).
  • Queremos que a reta que liga os olhos à imagem virtual do topo da cabeça atravesse o espelho em algum ponto e que a reta que liga os olhos à imagem virtual dos pés atravesse o espelho em algum ponto; o espelho precisa ter pelo menos a distância vertical entre essas duas interseções.
  • Coordenadas verticais relevantes:
    • altura dos olhos: y_e=1,70\\ \mathrm{m},
    • altura dos pés: y_{\rm pés}=0\\ \mathrm{m}é,
    • altura do topo da cabeça: y_{\rm topo}=H=1,80\\ \mathrm{m}.
  • Interseção para o raio que vem do topo (imagem virtual do topo em x=+d) com o plano do espelho ( x=0) é o ponto médio vertical entre y_e e y_{\rm topo}: y_{\rm topo\_no\_espelho}=\frac{y_e+y_{\rm topo}}{2}=\frac{1,70+1,80}{2}=1,75\\ \mathrm{m}.
  • Interseção para o raio que vem dos pés é o ponto médio entre y_e e y_{\rm pés}é: y_{\rm pés\_no\_espelho}=\frac{y_e+y_{\rm pés}}{2}=\frac{1,70+0}{2}=0,85\\ \mathrm{m}.éé
  • A altura mínima do espelho necessária é a diferença entre essas interseções: h_{\min}=y_{\rm topo\_no\_espelho}-y_{\rm pés\_no\_espelho}=1,75-0,85=0,90\\ \mathrm{m}.é
  • Interpretação física rápida (lembrete): esse 0,90\\ \mathrm{m} é exatamente metade da altura do observador \frac{H}{2}=\frac{1,80}{2}=0,90\\ \mathrm{m}, razão pela qual muitas vezes se diz “um espelho de meia-altura é suficiente para ver o corpo inteiro”.

Passo 4

Posição vertical do espelho (letra b). Queremos localizar a faixa vertical (altura do bordo inferior e do bordo superior) do espelho de altura dada h=1,20\\ \mathrm{m} que permita ver o corpo inteiro.
  • Para ver o corpo inteiro é necessário que o segmento do espelho contenha as duas alturas calculadas no passo anterior: y_{\rm pés\_no\_espelho}=0,85\\ \mathrm{m}\quad\text{e}\quad y_{\rm topo\_no\_espelho}=1,75\\ \mathrm{m}.é
  • Se chamarmos de y_{\rm inf} a altura do bordo inferior do espelho e de y_{\rm sup}=y_{\rm inf}+h a altura do bordo superior, então as condições são y_{\rm inf}\le 0,85\quad\text{e}\quad y_{\rm inf}+1,20\ge 1,75.A segunda desigualdade dá y_{\rm inf}\ge 1,75-1,20=0,55.
  • Portanto y_{\rm inf} deve satisfazer 0,55\\ \mathrm{m}\le y_{\rm inf}\le 0,85\\ \mathrm{m}.Ou seja: qualquer posicionamento do espelho cujo bordo inferior esteja entre 0,55\\ \mathrm{m} e 0,85\\ \mathrm{m} permite ver o corpo inteiro.
  • Uma escolha natural, centralizando o espelho em relação ao segmento necessário (distribuindo a folga de 1,20-0,90=0,30\\ \mathrm{m} igualmente acima e abaixo), é colocar y_{\rm inf}=0,85-\tfrac{0,30}{2}=0,70\\ \mathrm{m},\qquad y_{\rm sup}=y_{\rm inf}+1,20=1,90\\ \mathrm{m}.Mas isto é apenas uma escolha conveniente; qualquer y_{\rm inf} no intervalo dado funciona.

Passo 5

Distância máxima atrás do observador visível via espelho (letra c) — análise e cálculo.
  • Interpretação: queremos saber até que distância s atrás do observador (na direção contrária ao espelho, sobre o piso) um ponto ainda pode ser visto pelo observador através do espelho. Para ser concreto, analisamos pontos sobre o piso (altura y_o=0) localizados a uma distância s diretamente atrás do observador (na linha perpendicular ao espelho).
  • Método (virtual eye): para tratar um ponto atrás do observador, é prático refletir o olho do observador em relação ao plano do espelho para obter o “olho virtual” E' na posição x=+d, altura y_e. Uma reta entre o ponto atrás do observador e E' intersecta o espelho em x=0 e aquele ponto de interseção tem coordenada vertical (altura) que depende de s. Se essa altura cair dentro da faixa do espelho, o ponto é visível.
  • Coordenadas horizontais: observador em x=-d, ponto atrás em x=-d-s, olho virtual em x=+d.
  • Usando a fórmula do passo 2, a altura da interseção no espelho para um objeto de altura y_o atrás do observador é y_m(s)=y_o+\frac{d+s}{2d+s}\,(y_e-y_o).(Derivação rápida: parâmetro da reta do ponto ( -d-s,y_o) até E'=(+d,y_e) que atinge x=0 t=(d+s)/(2d+s), daí se obtém y_m.)
  • No nosso caso para pontos no piso y_o=0, obtemos y_m(s)=\frac{d+s}{2d+s}\,y_e.
  • Com os números d=2,0\\ \mathrm{m} e y_e=1,70\\ \mathrm{m}: y_m(s)=1,70\cdot\frac{2,0+s}{4,0+s}.Essa função é crescente com s e tem limite quando s\to\infty: \lim_{s\to\infty}y_m(s)=1,70\\ \mathrm{m}=y_e.Para s=0 (objeto colado ao observador) temos y_m(0)=1,70\cdot\frac{2}{4}=0,85\\ \mathrm{m}, que já calculamos antes.
  • Para que um ponto no piso a distância s seja visível, precisamos que y_{\rm inf}\le y_m(s)\le y_{\rm sup}. Observando que y_m(s)\le y_e=1,70\\ \mathrm{m} para todo s, se o bordo superior do espelho y_{\rm sup} for maior que 1,70\\ \mathrm{m} então a condição superior é sempre satisfeita. No nosso caso, mesmo no posicionamento mínimo necessário para ver o corpo inteiro (em que o topo do espelho mínimo é 1,75\\ \mathrm{m}), tem-se y_{\rm sup}\ge 1,75>1,70. Logo a condição superior nunca limita s.
  • A condição inferior para ver os pés do ponto no piso é y_m(s)\ge y_{\rm inf}. Mas y_m(s) varia de 0,85\\ \mathrm{m} (quando s=0) até 1,70\\ \mathrm{m} (quando s\to\infty); portanto se o espelho já foi posicionado para permitir ver os pés do próprio observador (isto é, se y_{\rm inf}\le 0,85\\ \mathrm{m}), então para todo s\ge 0 teremos y_m(s)\ge 0,85\ge y_{\rm inf} ou ao menos y_m(s)\ge y_{\rm inf} até a provável saturação. Concretamente, como vimos no passo 4 qualquer posicionamento que permita ver o corpo inteiro satisfaz y_{\rm inf}\le 0,85\\ \mathrm{m}. Assim, para qualquer s\ge 0 teremos a interseção dentro do espelho.
  • Conclusão do passo: com o espelho posicionado para ver o corpo inteiro (qualquer y_{\rm inf} no intervalo do passo 4), não há um limite finito para a distância atrás do observador sobre o piso que pode ser vista: essa distância é ilimitada (pode-se ver pontos arbitrariamente longe atrás do observador). Em termos práticos, a distância máxima é infinita (ou “ilimitada”).

Passo 6

Justificativa da independência em relação à distância (letra d) — por que a altura mínima do espelho não depende de d.
  • Para um objeto em frente ao espelho e sua imagem virtual simétrica, as coordenadas horizontais são -d para o objeto e +d para a imagem. A reta que liga os olhos ( -d,y_e) à imagem (+d,y_{\rm p}) cruza x=0 exatamente no ponto médio vertical entre y_e e y_{\rm p}. Ou seja, o ponto de interseção tem altura y_m=\frac{y_e+y_{\rm p}}{2},que não contém d em sua expressão: a dependência horizontal cancelou por simetria. Assim tanto o ponto correspondente ao topo quanto o ponto correspondente aos pés têm suas alturas no espelho dependendo apenas das alturas envolvidas, não da distância horizontal d.
  • A altura mínima necessária do espelho é a diferença entre esses dois pontos médios: h_{\min}=\frac{y_e+y_{\rm topo}}{2}-\frac{y_e+y_{\rm pés}}{2}=\frac{y_{\rm topo}-y_{\rm pés}}{2}=\frac{H}{2},ééque é claramente independente de d. Em palavras: o espelho precisa cobrir os pontos médios entre os olhos e os extremos do corpo; esses pontos médios são independentes de quão longe o observador está do espelho.

Resposta

a) 0,90\\ \mathrm{m}
b) Para ver o corpo inteiro as interseções necessárias no espelho são 0,85\\ \mathrm{m} (pés) e 1,75\\ \mathrm{m} (topo). Como o espelho tem h=1,20\\ \mathrm{m}, o bordo inferior pode estar em qualquer altura
0,55\\ \mathrm{m}\le y_{\rm inf}\le 0,85\\ \mathrm{m}.
Escolha centrada (opcional): y_{\rm inf}=0,70\\ \mathrm{m} e y_{\rm sup}=1,90\\ \mathrm{m}.
c) Ilimitada (infinita). Com o espelho posicionado para ver o corpo inteiro, pontos no piso arbitrariamente distantes atrás do observador podem ser vistos.
d) Porque os pontos do espelho que interceptam os raios do topo e dos pés são os pontos médios verticais entre a altura dos olhos e a altura desses extremos; esse cálculo elimina a dependência horizontal d, levando a h_{\min}=H/2, independente de d.

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