Questăo 3. Um canal escavado em terra com seção trapezoidal tem coeficiente de rugosidade
. Determinar sua profundidade de escoamento (y) para uma vazăo (Q) de
, considerando-se as seguintes condições de projeto:
Largura do fundo (b):
Inclinação dos taludes: 1:1,5
Declividade (i): 0,65%
Largura do fundo (b):
Inclinação dos taludes: 1:1,5
Declividade (i): 0,65%
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar a profundidade de escoamento
(em metros) para que a vazão seja .
Dados fornecidos:
- Coeficiente de rugosidade:
. - Vazão:
. - Largura do fundo:
. - Inclinação dos taludes:
. Aqui adotamos que significa de queda vertical para de afastamento horizontal, ou seja, o parâmetro de talude por lado é (metros horizontais por metro vertical). - Declividade do leito:
que em unidade decimal é .
Passo 2
Fórmula que liga vazão com geometria e rugosidade (fórmula de Manning, para escoamento uniforme):
onde:
-
é a vazão ; -
é o coeficiente de rugosidade (adimensional); -
é a área da seção molhada ; -
é o raio hidráulico , definido por ; -
é o perímetro molhado ; -
é a declividade da linha de energia, que para escoamento uniforme em canais inclinados é tomada igual a (a declividade do leito).
Cálculo da área e do perímetro molhado para seção trapezoidal simétrica (fundo de largura
, taludes com inclinação horizontal por unidade vertical
, e profundidade
):
- Top width (largura na superfície) é
. - Área:
- Perímetro molhado:
- Logo o raio hidráulico:
Explicando rapidamente como trabalhar com
: é comum calcular primeiro
, depois extrair a raiz cúbica de
e elevar ao quadrado, ou calcular diretamente
. Isso facilita a estimativa manual.
Passo 3
Substituindo os dados na fórmula de Manning obtemos a equação em função de
:
Com
,
,
e
. Note que essa equação é não linear em
(porque
e
dependem de
de forma não linear), então precisamos resolver numericamente. Vou usar um método simples e robusto de tentativa e ajuste (tipo bisseção/interpolação) — fácil de fazer com papel e calculadora e recomendado em prova quando não há solução algébrica.
Constantes úteis (para usar nas contas):
Também
. Para abreviar, usarei
, de modo que
.
Passo 4
Primeira tentativa:
.
Calcular
:
Calcular
:
Calcular
:
Calcular
(procedimento): raio cúbico
, então
.
Calcular
pela fórmula:
Comparação:
. Portanto a profundidade correta é maior que
.
Passo 5
Segunda tentativa:
.
Calcular
:
Calcular
:
Calcular
:
Calcular
:
então
.
Calcular
:
Comparação:
. Então o
procurado está entre
e
.
Passo 6
Refinamento: testar
.
Calcular
:
Calcular
:
Calcular
:
Calcular
:
então
.
Calcular
:
Comparação:
. Assim a solução está entre
e
, mais próxima de
.
Passo 7
Teste intermédio:
.
Calcular
:
Calcular
:
Calcular
:
Calcular
:
então
.
Calcular
:
Comparação:
. Portanto a solução está entre
e
.
Passo 8
Aproximação final: interpolando entre
(que deu
) e
(que deu
), ou apenas testando
:
Calcular
:
Calcular
:
Calcular
:
Calcular
:
então
.
Calcular
:
Resultado muito próximo de
. Assim adotamos como solução
Observação sobre precisão: em prova é aceitável apresentar
com três casas decimais ou duas, dependendo da instrução;
corresponde à precisão que conseguimos por bisseção/interpolação manual.