Questăo 3. Um canal escavado em terra com seção trapezoidal tem coeficiente de rugosidade n=0,020. Determinar sua profundidade de escoamento (y) para uma vazăo (Q) de 6,5 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, considerando-se as seguintes condições de projeto:
Largura do fundo (b): 4,0 \mathrm{~m}
Inclinação dos taludes: 1:1,5
Declividade (i): 0,65%

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a profundidade de escoamento y (em metros) para que a vazão seja \,6,5\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Dados fornecidos:
  • Coeficiente de rugosidade: n=0,020.
  • Vazão: Q=6,5\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Largura do fundo: b=4,0\\ \mathrm{m}.
  • Inclinação dos taludes: 1:1,5. Aqui adotamos que significa 1 de queda vertical para 1,5 de afastamento horizontal, ou seja, o parâmetro de talude por lado é m=1,5 (metros horizontais por metro vertical).
  • Declividade do leito: i=0,65\% que em unidade decimal é i=0,0065.

Passo 2

Fórmula que liga vazão com geometria e rugosidade (fórmula de Manning, para escoamento uniforme):
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde:
  • Q é a vazão (\mathrm{m}^3/\mathrm{s});
  • n é o coeficiente de rugosidade (adimensional);
  • A é a área da seção molhada (\mathrm{m}^2);
  • R é o raio hidráulico (\mathrm{m}), definido por R=\dfrac{A}{P};
  • P é o perímetro molhado (\mathrm{m});
  • S é a declividade da linha de energia, que para escoamento uniforme em canais inclinados é tomada igual a i (a declividade do leito).
Cálculo da área e do perímetro molhado para seção trapezoidal simétrica (fundo de largura b, taludes com inclinação horizontal por unidade vertical m, e profundidade y):
  • Top width (largura na superfície) é B=b+2my.
  • Área:
A = \frac{b+B}{2}\,y = (b+m y)\,y = b\,y + m\,y^{2}.
  • Perímetro molhado:
P = b + 2\sqrt{y^{2} + (m y)^{2}} = b + 2y\sqrt{1+m^{2}}.
  • Logo o raio hidráulico:
R=\frac{A}{P}=\frac{b\,y + m\,y^{2}}{\,b + 2y\sqrt{1+m^{2}}\,}.
Explicando rapidamente como trabalhar com R^{2/3}: é comum calcular primeiro R, depois extrair a raiz cúbica de R e elevar ao quadrado, ou calcular diretamente R^{2/3}=\left(R^{1/3}\right)^{2}. Isso facilita a estimativa manual.

Passo 3

Substituindo os dados na fórmula de Manning obtemos a equação em função de y:
6,5=\frac{1}{0,020}\;A(y)\;R(y)^{2/3}\;\sqrt{0,0065}.
Com b=4,0, m=1,5, S=0,0065 e n=0,020. Note que essa equação é não linear em y (porque A e R dependem de y de forma não linear), então precisamos resolver numericamente. Vou usar um método simples e robusto de tentativa e ajuste (tipo bisseção/interpolação) — fácil de fazer com papel e calculadora e recomendado em prova quando não há solução algébrica.
Constantes úteis (para usar nas contas):
\frac{1}{n}= \frac{1}{0,020}=50,\qquad \sqrt{S}=\sqrt{0,0065}\approx 0,08062.
Também \sqrt{1+m^{2}}=\sqrt{1+1,5^{2}}=\sqrt{3,25}\approx 1,80278. Para abreviar, usarei k=2\sqrt{1+m^{2}}=2\cdot1,80278\approx3,60555, de modo que P=b+k\,y.

Passo 4

Primeira tentativa: y=0,50\\ \mathrm{m}.
Calcular A:
A= b y + m y^{2}=4{,}0\cdot0{,}50 + 1{,}5\cdot(0{,}50)^{2}=2{,}000 + 0{,}375=2{,}375\\ \mathrm{m}^{2}.
Calcular P:
P= b + 2y\sqrt{1+m^{2}}=4{,}0 + 3{,}60555\cdot0{,}50=4{,}0 + 1{,}80278=5{,}80278\\ \mathrm{m}.
Calcular R:
R=\frac{A}{P}=\frac{2{,}375}{5{,}80278}\approx0{,}4094\\ \mathrm{m}.
Calcular R^{2/3} (procedimento): raio cúbico R^{1/3}\approx0{,}7426, então R^{2/3}\approx(0{,}7426)^{2}\approx0{,}5514.
Calcular Q pela fórmula:
Q=50\cdot A\cdot R^{2/3}\cdot\sqrt{S} =50\cdot2{,}375\cdot0{,}5514\cdot0{,}08062\approx5{,}28\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.
Comparação: Q_{\text{calc}}=5{,}28<6{,}5. Portanto a profundidade correta é maior que 0{,}50\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Segunda tentativa: y=0,60\\ \mathrm{m}.
Calcular A:
A=4{,}0\cdot0{,}60 + 1{,}5\cdot(0{,}60)^{2}=2{,}400 + 0{,}540=2{,}940\\ \mathrm{m}^{2}.
Calcular P:
P=4{,}0 + 3{,}60555\cdot0{,}60=4{,}0 + 2{,}16333=6{,}16333\\ \mathrm{m}.
Calcular R:
R=\frac{2{,}940}{6{,}16333}\approx0{,}4770\\ \mathrm{m}.
Calcular R^{2/3}: R^{1/3}\approx0{,}8155 então R^{2/3}\approx0{,}6650.
Calcular Q:
Q=50\cdot2{,}940\cdot0{,}6650\cdot0{,}08062\approx7{,}24\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.
Comparação: Q_{\text{calc}}=7{,}24>6{,}5. Então o y procurado está entre 0{,}50 e 0{,}60\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Refinamento: testar y=0,56\\ \mathrm{m}.
Calcular A:
A=4{,}0\cdot0{,}56 + 1{,}5\cdot(0{,}56)^{2}=2{,}240 + 0{,}4704=2{,}7104\\ \mathrm{m}^{2}.
Calcular P:
P=4{,}0 + 3{,}60555\cdot0{,}56=4{,}0 + 2{,}01911=6{,}01911\\ \mathrm{m}.
Calcular R:
R=\frac{2{,}7104}{6{,}01911}\approx0{,}4502\\ \mathrm{m}.
Calcular R^{2/3}: R^{1/3}\approx0{,}7666 então R^{2/3}\approx0{,}5877.
Calcular Q:
Q=50\cdot2{,}7104\cdot0{,}5877\cdot0{,}08062\approx6{,}42\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.
Comparação: Q_{\text{calc}}=6{,}42<6{,}5. Assim a solução está entre 0{,}56 e 0{,}60, mais próxima de 0{,}56.

Passo 7

Teste intermédio: y=0,565\\ \mathrm{m}.
Calcular A:
A=4{,}0\cdot0{,}565 + 1{,}5\cdot(0{,}565)^{2}=2{,}260 + 0{,}4788\approx2{,}7388\\ \mathrm{m}^{2}.
Calcular P:
P=4{,}0 + 3{,}60555\cdot0{,}565=4{,}0 + 2{,}03614\approx6{,}03614\\ \mathrm{m}.
Calcular R:
R=\frac{2{,}7388}{6{,}03614}\approx0{,}4538\\ \mathrm{m}.
Calcular R^{2/3}: R^{1/3}\approx0{,}7683 então R^{2/3}\approx0{,}5903.
Calcular Q:
Q=50\cdot2{,}7388\cdot0{,}5903\cdot0{,}08062\approx6{,}515\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.
Comparação: Q_{\text{calc}}=6{,}515>6{,}5. Portanto a solução está entre 0{,}560 e 0{,}565.

Passo 8

Aproximação final: interpolando entre y=0,560 (que deu 6{,}422) e y=0,565 (que deu 6{,}515), ou apenas testando y=0,564\\ \mathrm{m}:
Calcular A:
A=4{,}0\cdot0{,}564 + 1{,}5\cdot(0{,}564)^{2}=2{,}256 + 0{,}4771\approx2{,}7331\\ \mathrm{m}^{2}.
Calcular P:
P=4{,}0 + 3{,}60555\cdot0{,}564=4{,}0 + 2{,}0325\approx6{,}0325\\ \mathrm{m}.
Calcular R:
R=\frac{2{,}7331}{6{,}0325}\approx0{,}4531\\ \mathrm{m}.
Calcular R^{2/3}: R^{1/3}\approx0{,}7680 então R^{2/3}\approx0{,}5899.
Calcular Q:
Q=50\cdot2{,}7331\cdot0{,}5899\cdot0{,}08062\approx6{,}4995\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.
Resultado muito próximo de 6{,}5\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}. Assim adotamos como solução
y\approx0{,}564\\ \mathrm{m}.
Observação sobre precisão: em prova é aceitável apresentar y com três casas decimais ou duas, dependendo da instrução; y=0{,}564\\ \mathrm{m} corresponde à precisão que conseguimos por bisseção/interpolação manual.

Resposta

y=0,564\\ \mathrm{m}

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