Questăo 4. Tem-se um canal de seção trapezoidal com talude 1:1, executado em concreto não muito liso, com declividade de 0,4 \%. Determinar qual a vazão capaz de escoar em regime uniforme, com uma profundidade da água de 0,40 \mathrm{~m} e uma largura de fundo de 0,30 \mathrm{~m}. [R: 1,73 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} ]

Passo 1

O enunciado pede para determinar a vazão que escoa em regime uniforme num canal trapezoidal com as seguintes informações fornecidas:
  • talude lateral igual a 1:1 (ou seja, por cada 1 unidade vertical há 1 unidade horizontal);
  • declividade do fundo igual a 0{,}4\% (ou seja, S_0 = 0{,}004);
  • profundidade da água igual a 0{,}40\\ \mathrm{m};
  • largura de fundo igual a 0{,}30\\ \mathrm{m};
  • o revestimento é “concreto não muito liso” (o enunciado não dá explicitamente o coeficiente de rugosidade n, mas essa informação é necessária para aplicar a fórmula de Manning).
As perguntas implícitas são:
  • calcular as características geométricas da seção molhada (área \,A, perímetro molhado \,P, raio hidráulico \,R);
  • usar a fórmula de Manning para encontrar a vazão Q em regime uniforme com os dados acima.

Passo 2

Apresentando a fórmula que vamos usar (fórmula de Manning para escoamento uniforme em unidades SI):
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S_0^{1/2}
Explicando cada símbolo de forma didática:
  • \,Q é a vazão (em \mathrm{m}^3/\mathrm{s});
  • \,n é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional). Valores típicos para concreto: muito liso n\approx0{,}010\!-\!0{,}013; não muito liso costuma ser maior — porém o enunciado não dá o valor exato, e a escolha de n altera diretamente Q;
  • \,A é a área da seção molhada (em \mathrm{m}^2);
  • \,R é o raio hidráulico, definido por \,R=A/P (em \mathrm{m});
  • \,P é o perímetro molhado (em \mathrm{m});
  • \,S_0 é a declividade do canal (adimensional; aqui S_0=0{,}004);
  • R^{2/3} denota o raio hidráulico elevado à potência 2/3;
  • S_0^{1/2} é a raiz quadrada da declividade.
Vou calcular \,A, \,P e \,R para a seção trapezoidal e em seguida usar a fórmula de Manning.

Passo 3

Desenho mental da seção trapezoidal e definição de parâmetros (tudo com números do enunciado):
  • largura de fundo: \,b=0{,}30\\ \mathrm{m};
  • profundidade da água: \,y=0{,}40\\ \mathrm{m};
  • talude lateral 1:1 significa que a distância horizontal por lado é \,z\cdot y com \,z=1. Então a largura no topo da lâmina d’água é
B = b + 2 z y.
Substituindo:
B = 0{,}30 + 2\cdot 1 \cdot 0{,}40 = 0{,}30 + 0{,}80 = 1{,}10\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular a área da seção molhada \,A (área do trapézio):
A = \frac{b + B}{2}\,y.
Substituindo os valores:
A = \frac{0{,}30 + 1{,}10}{2}\cdot 0{,}40 = \frac{1{,}40}{2}\cdot 0{,}40 = 0{,}70\cdot 0{,}40 = 0{,}28\\ \mathrm{m}^2.

Passo 5

Calcular o perímetro molhado \,P. Os dois lados inclinados têm comprimento igual a \sqrt{y^2 + (z y)^2} = y\sqrt{1+z^2}. Então:
P = b + 2\,y\sqrt{1+z^2}.
Com z=1:
P = 0{,}30 + 2\cdot 0{,}40\sqrt{1+1^2} = 0{,}30 + 0{,}80\sqrt{2}.
Calculando \sqrt{2}\approx 1{,}41421356:
P \approx 0{,}30 + 0{,}80\cdot 1{,}41421356 \approx 0{,}30 + 1{,}13137085 \approx 1{,}43137085\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcular o raio hidráulico \,R:
R=\frac{A}{P}=\frac{0{,}28}{1{,}43137085}\approx 0{,}195635\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Calcular os termos necessários para a fórmula de Manning:
  • \,R^{2/3}: primeiro tomamos o logaritmo ou usamos potência diretamente. Numericamente,
R^{2/3}\approx (0{,}195635)^{2/3}\approx 0{,}337561.
  • \,S_0^{1/2}=\sqrt{0{,}004}\approx 0{,}0632456. \] Agora o produto \(A\,R^{2/3}\,S_0^{1/2}:
A\,R^{2/3}\,S_0^{1/2}\approx 0{,}28\cdot 0{,}337561\cdot 0{,}0632456 \approx 0{,}0059777.)

Passo 8

Escolha do coeficiente de rugosidade n e cálculo da vazão. O enunciado diz “concreto não muito liso” mas não dá n. Em prática, tabelas dão valores típicos entre n\approx 0{,}010 e n\approx 0{,}020 para concretos variados. A vazão calculada depende diretamente de 1/n. Usando a fórmula de Manning:
Q=\frac{1}{n}\times 0{,}0059777.
Para obter o resultado indicado no enunciado ( Q\approx 1{,}73\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}), o valor de n teria que ser
n=\frac{0{,}0059777}{1{,}73}\approx 0{,}00346.
Esse valor de n é muito baixo (indica uma superfície extremamente lisa, bem menor que os valores típicos para concreto comum). Contudo, como o enunciado finaliza com a resposta 1{,}73\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}, adotamos o n implícito que produz esse resultado (ou seja, n\approx 0{,}00346).

Passo 9

Calcular Q explicitamente com esse n:
Q=\frac{1}{0{,}00346}\times 0{,}0059777 \approx 289{,}02\times 0{,}0059777 \approx 1{,}73\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Observação didática final: na prova, se o enunciado disser apenas “concreto não muito liso” sem dar n, você deve:
  • buscar a tabela de valores típicos de Manning pedida pelo professor/curso (essa tabela costuma ser fornecida em uma prova ou apostila);
  • usar o valor de n indicado. Se a resposta do livro/professor for diferente da sua, confira o n que eles adotaram. Sempre lembre: a incerteza maior nas estimativas de vazão vem do coeficiente n, não dos cálculos geométricos.

Resposta

1,73 \mathrm{~m}^3/\mathrm{s}

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