Questăo 5. Um canal de seção retangular, de declividade de fundo de 40 \mathrm{~cm}^{-1} \mathrm{~km}^{-1} e coeficiente de rugosidade de Manning igual a 0,02 , foi dimensionado para uma vazão de projeto igual a 8 \mathrm{~m}^{3} \cdot \mathrm{~s}^{-1}. Qual a sua profundidade a fim de que o canal seja de mínimo perímetro molhado? [ \mathrm{R}: \mathrm{b}=4 \mathrm{~m} ; \mathrm{y}=2 \mathrm{~m} ]

Passo 1

O enunciado pede a profundidade do canal retangular para que o canal apresente perímetro molhado mínimo, dadas as condições de projeto. Informações fornecidas:
Q=8\\ \mathrm{m^{3}\,s^{-1}} (vazão de projeto).
Coeficiente de Manning n=0,02.
Declividade do fundo: 40\\ \mathrm{cm\cdot km^{-1}}.
O canal é retangular (largura da base b e profundidade y).
Pergunta: determinar y tal que o perímetro molhado seja mínimo (e, implicitamente, a largura b correspondente).

Passo 2

Vou listar as grandezas geométricas do canal retangular e a fórmula de Manning (explicando cada termo):
Área da seção molhada: A = b\,y. Isso é a área útil por onde a água flui: a largura da base vezes a profundidade.
Perímetro molhado: P = b + 2y. É a soma da largura da base mais as duas laterais submersas.
Raio hidráulico: R = \dfrac{A}{P} = \dfrac{b\,y}{b+2y}. O raio hidráulico é uma medida de “eficiência” do canal: quanto maior R, em geral menor perda de energia relativa à área.
Fórmula de Manning (forma usada para canais a céu aberto):
Q=\dfrac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2}
onde Q é a vazão, n é o coeficiente de rugosidade de Manning, A é a área da seção molhada, R é o raio hidráulico e S é a declividade do fundo (adimensional).
Nosso objetivo é escolher b e y tais que, com Q,n,S dados, o perímetro P=b+2y seja mínimo.

Passo 3

Estratégia para resolver (sem resolver ainda): eliminar uma variável usando uma relação entre b e y obtida da condição de vazão fixa, e então minimizar P. Para simplificar a álgebra, é comum introduzir a razão adimensional
m=\dfrac{b}{y}.
Assim b=my. Essa mudança transforma o problema em otimizar uma função de uma variável m, o que facilita encontrar a condição ótima (é uma técnica padrão e pouco trabalhosa em prova).

Passo 4

Expressar A, P e R em termos de m e y:
A=b\,y=m\,y^2,
P=b+2y=m\,y+2y=y(m+2),
R=\dfrac{A}{P}=\dfrac{m\,y^2}{y(m+2)}=\dfrac{m\,y}{m+2}.
Substituindo na fórmula de Manning obtemos a relação entre m e y:
Q=\dfrac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2} =\dfrac{1}{n}\,(m\,y^2)\left(\dfrac{m\,y}{m+2}\right)^{2/3}S^{1/2}.
Agrupando potências de m e y temos
Q=\dfrac{1}{n}\,m^{1+2/3}\,y^{2+2/3}\,(m+2)^{-2/3}S^{1/2} =\dfrac{1}{n}\,m^{5/3}\,y^{8/3}\,(m+2)^{-2/3}S^{1/2}.
Essa equação é a restrição que liga m e y para a vazão dada.

Passo 5

Queremos minimizar P=y(m+2) sob a restrição acima. Em vez de usar multiplicadores de Lagrange, é mais simples isolar y da restrição em função de m e substituir em P. Da equação do passo anterior:
m^{5/3}\,y^{8/3}\,(m+2)^{-2/3}=\dfrac{Q\,n}{S^{1/2}}.
Isolando y^{8/3}:
y^{8/3}=\dfrac{Q\,n}{S^{1/2}}\cdot \dfrac{(m+2)^{2/3}}{m^{5/3}}.
Logo
y=\left(\dfrac{Q\,n}{S^{1/2}}\cdot \dfrac{(m+2)^{2/3}}{m^{5/3}}\right)^{3/8}.
Substituímos em P=y(m+2) para obter P só em função de m:
P(m)=(m+2)\left(\dfrac{Q\,n}{S^{1/2}}\right)^{3/8}\left(\dfrac{(m+2)^{2/3}}{m^{5/3}}\right)^{3/8}.
Simplificando as potências (fazendo um passo algébrico útil):
P(m)=\left(\dfrac{Q\,n}{S^{1/2}}\right)^{3/8}(m+2)^{1+(3/8)\cdot(2/3)}\,m^{-(3/8)\cdot(5/3)}.
Calcule os expoentes: 1+(3/8)\cdot(2/3)=1+\tfrac{1}{4}=\tfrac{5}{4} e (3/8)\cdot(5/3)=\tfrac{5}{8}. Assim
P(m)=\text{const}\times (m+2)^{5/4}\,m^{-5/8}.
Para achar o mínimo de P(m) estudamos a função logarítmica (é mais simples e evita manipular a constante):

Passo 6

Considere f(m)=\ln P(m). Como constante não afeta a posição do mínimo, escrevemos
f(m)=\tfrac{5}{4}\ln(m+2)-\tfrac{5}{8}\ln m + \text{const}.
Derivando em relação a m e igualando a zero para extremizar:
f'(m)=\tfrac{5}{4}\cdot\dfrac{1}{m+2}-\tfrac{5}{8}\cdot\dfrac{1}{m}=0.
Podemos dividir por \tfrac{5}{8} para simplificar:
2\cdot\dfrac{1}{m+2}-\dfrac{1}{m}=0.
Multiplicando por m(m+2):
2m-(m+2)=0 \quad\Rightarrow\quad m=2.
Portanto a razão ótima é
m=\dfrac{b}{y}=2 \quad\Rightarrow\quad b=2y.
Essa é uma conclusão importante e que costuma aparecer direto em provas: para canal retangular de maior eficiência hidráulica (perímetro molhado mínimo para dada vazão com Manning) tem-se b=2y.

Passo 7

Com b=2y simplificamos as fórmulas e calculamos y. Primeiro escrevemos A, P e R usando b=2y:
A= b\,y = 2y^2,
P=b+2y=2y+2y=4y,
R=\dfrac{A}{P}=\dfrac{2y^2}{4y}=\dfrac{y}{2}.
Substituindo na fórmula de Manning:
Q=\dfrac{1}{n}A R^{2/3} S^{1/2} =\dfrac{1}{n}\cdot 2y^2\left(\dfrac{y}{2}\right)^{2/3}S^{1/2}.
Calcule \left(\dfrac{y}{2}\right)^{2/3} = \dfrac{y^{2/3}}{2^{2/3}}. Assim
Q=\dfrac{1}{n}\,2\,y^2\cdot\dfrac{y^{2/3}}{2^{2/3}}S^{1/2} =\dfrac{1}{n}\,2^{1-2/3}\,y^{8/3}S^{1/2} =\dfrac{1}{n}\,2^{1/3}\,y^{8/3}S^{1/2}.
Isolando y:
y^{8/3}=\dfrac{Q\,n}{2^{1/3}S^{1/2}} \quad\Rightarrow\quad y=\left(\dfrac{Q\,n}{2^{1/3}S^{1/2}}\right)^{3/8}.

Passo 8

Agora substituímos os números fornecidos. Primeiro convertemos a declividade: 40\\ \mathrm{cm\cdot km^{-1}} é 0{,}40\\ \mathrm{m} por 1000\\ \mathrm{m}, logo
S=\dfrac{0{,}40}{1000}=0{,}0004.
Calcule S^{1/2}=\sqrt{0{,}0004}=0{,}02.
Substituindo Q=8, n=0{,}02, S^{1/2}=0{,}02 e 2^{1/3}\approx 1{,}2599 na expressão de y:
y=\left(\dfrac{8\cdot 0{,}02}{2^{1/3}\cdot 0{,}02}\right)^{3/8} =\left(\dfrac{8\cdot 0{,}02}{0{,}02\cdot 2^{1/3}}\right)^{3/8} =\left(\dfrac{8}{2^{1/3}}\right)^{3/8}.
Observe que 8=2^3, então
\dfrac{8}{2^{1/3}}=2^{3-1/3}=2^{8/3}.
Portanto
y=\left(2^{8/3}\right)^{3/8}=2^{(8/3)\cdot(3/8)}=2^{1}=2\\ \mathrm{m}.
Muito bom — a conta ficou exata: y=2\\ \mathrm{m}.

Passo 9

Encontrada a profundidade, obtemos a largura da base pela relação ótima b=2y:
b=2\cdot 2=4\\ \mathrm{m}.

Resposta

b=4\\ \mathrm{m}
y=2\\ \mathrm{m}

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