Questăo 5. Um canal de seção retangular, de declividade de fundo de
e coeficiente de rugosidade de Manning igual a 0,02 , foi dimensionado para uma vazão de projeto igual a
. Qual a sua profundidade a fim de que o canal seja de mínimo perímetro molhado? [
]
Passo 1
O enunciado pede a profundidade do canal retangular para que o canal apresente perímetro molhado mínimo, dadas as condições de projeto. Informações fornecidas:
(vazão de projeto).
Coeficiente de Manning .
Declividade do fundo: .
O canal é retangular (largura da base e profundidade
).
Pergunta: determinar tal que o perímetro molhado seja mínimo (e, implicitamente, a largura
correspondente).
Coeficiente de Manning
Declividade do fundo:
O canal é retangular (largura da base
Pergunta: determinar
Passo 2
Vou listar as grandezas geométricas do canal retangular e a fórmula de Manning (explicando cada termo):
Área da seção molhada: . Isso é a área útil por onde a água flui: a largura da base vezes a profundidade.
Perímetro molhado: . É a soma da largura da base mais as duas laterais submersas.
Raio hidráulico: . O raio hidráulico é uma medida de “eficiência” do canal: quanto maior
, em geral menor perda de energia relativa à área.
Fórmula de Manning (forma usada para canais a céu aberto):
Área da seção molhada:
Perímetro molhado:
Raio hidráulico:
Fórmula de Manning (forma usada para canais a céu aberto):
onde
é a vazão,
é o coeficiente de rugosidade de Manning,
é a área da seção molhada,
é o raio hidráulico e
é a declividade do fundo (adimensional).
Nosso objetivo é escolher e
tais que, com
dados, o perímetro
seja mínimo.
Nosso objetivo é escolher
Passo 3
Estratégia para resolver (sem resolver ainda): eliminar uma variável usando uma relação entre
e
obtida da condição de vazão fixa, e então minimizar
. Para simplificar a álgebra, é comum introduzir a razão adimensional
Assim
. Essa mudança transforma o problema em otimizar uma função de uma variável
, o que facilita encontrar a condição ótima (é uma técnica padrão e pouco trabalhosa em prova).
Passo 4
Expressar
,
e
em termos de
e
:
Substituindo na fórmula de Manning obtemos a relação entre
e
:
Agrupando potências de
e
temos
Essa equação é a restrição que liga
e
para a vazão dada.
Passo 5
Queremos minimizar
sob a restrição acima. Em vez de usar multiplicadores de Lagrange, é mais simples isolar
da restrição em função de
e substituir em
. Da equação do passo anterior:
Isolando
:
Logo
Substituímos em
para obter
só em função de
:
Simplificando as potências (fazendo um passo algébrico útil):
Calcule os expoentes:
e
. Assim
Para achar o mínimo de
estudamos a função logarítmica (é mais simples e evita manipular a constante):
Passo 6
Considere
. Como constante não afeta a posição do mínimo, escrevemos
Derivando em relação a
e igualando a zero para extremizar:
Podemos dividir por
para simplificar:
Multiplicando por
:
Portanto a razão ótima é
Essa é uma conclusão importante e que costuma aparecer direto em provas: para canal retangular de maior eficiência hidráulica (perímetro molhado mínimo para dada vazão com Manning) tem-se
.
Passo 7
Com
simplificamos as fórmulas e calculamos
. Primeiro escrevemos
,
e
usando
:
Substituindo na fórmula de Manning:
Calcule
. Assim
Isolando
:
Passo 8
Agora substituímos os números fornecidos. Primeiro convertemos a declividade:
é
por
, logo
Calcule
.
Substituindo ,
,
e
na expressão de
:
Substituindo
Observe que
, então
Portanto
Muito bom — a conta ficou exata:
.
Passo 9
Encontrada a profundidade, obtemos a largura da base pela relação ótima
: