Questão 4.6
Conjunto \mathbf{S}=\mathbf{v}_{\mathbf{1}}=(\mathbf{1 , 0 , 1 , 1}), \mathbf{v}_{\mathbf{2}}=(\mathbf{0 , 2 , 1 , 0}), \mathbf{v}_{\mathbf{3}}=(\mathbf{1 , 1 , 0 , 2}), \mathbf{v}_{\mathbf{4}}=(\mathbf{2 , 1 , 1 , 3}) \subset \mathbb{R}^{\mathbf{4}} é o subespaços vetorial \mathrm{W}=\mathrm{L}(\mathrm{S}).
a) Defina base e dimensão de um espaço vetorial.
b) Determine uma base e a dimensão de W .
c) Determine se \mathrm{v}=(0,1,2,1) \in \mathrm{W}.
d) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal de W .

Passo 1

O enunciado dá o conjunto S=\{ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4\}\subset\mathbb{R}^4 com
\mathbf{v}_1=(1,0,1,1),\qquad \mathbf{v}_2=(0,2,1,0),\qquad \mathbf{v}_3=(1,1,0,2),\qquad \mathbf{v}_4=(2,1,1,3),
e define o subespaço vetorial W=\mathrm{L}(S) (o subespaço gerado por S). As perguntas são:
a) Definir base e dimensão de um espaço vetorial.
b) Determinar uma base e a dimensão de W.
c) Verificar se \mathbf{v}=(0,1,2,1)\in W.
d) Usar o método de Gram–Schmidt para determinar uma base ortogonal de W.

Passo 2

Resposta à (a): definições com explicação passo a passo.
  • Definição de base: Uma família de vetores \{\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_k\} de um espaço vetorial V é uma base de V se satisfaz duas condições:
    1. É geradora: todo vetor \mathbf{v}\in V pode ser escrito como combinação linear \mathbf{v}=c_1\mathbf{b}_1+\cdots+c_k\mathbf{b}_k para alguns escalares c_i.
    2. É linearmente independente: a única solução do sistema c_1\mathbf{b}_1+\cdots+c_k\mathbf{b}_k=\mathbf{0} é c_1=\cdots=c_k=0.
  • Explicação curta: a base é um conjunto mínimo (sem redundância) que gera o espaço — cada vetor do espaço é combinação linear dos vetores da base, e nenhum vetor da base é combinação linear dos outros.
  • Definição de dimensão: A dimensão de V, denotada \dim V, é o número de vetores em qualquer base de V. Teorema importante: todas as bases de um espaço vetorial têm o mesmo número de vetores, logo a dimensão é bem definida.
  • Exemplo rápido e concreto: em \mathbb{R}^2, a base usual é \{(1,0),(0,1)\} e \dim\mathbb{R}^2=2.

Passo 3

Determinar uma base e a dimensão de W (parte b) — método: reduzir por linhas a matriz cujas colunas são \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4. Isso mostra quais colunas são linearmente independentes (colunas-pivô) e o posto (rank) da matriz será \dim W.
Formo a matriz A com as colunas dadas:
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 2 & 3 \end{pmatrix},
onde a coluna j é \mathbf{v}_j.
Aplicamos eliminação gaussiana (vou mostrar cada operação para ficar didático):
  1. Usamos R_1 como pivô e zeramos as entradas embaixo dele nas colunas:
    R_3\leftarrow R_3-R_1, R_4\leftarrow R_4-R_1. Resultado:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
  1. Troco R_2 com R_3 (para ter pivô 1 na segunda linha) e zero as entradas da coluna 2 abaixo do pivô:
    R_2\leftrightarrow R_3, depois R_3\leftarrow R_3-2R_2. Resultado:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 3 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
  1. Troco R_3 com R_4 para obter pivô 1 na terceira linha e então elimino acima/abaixo dessa coluna:
    R_3\leftrightarrow R_4. Depois uso R_3 para zerar a coluna 3 em R_1,R_2,R_4:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Observações sobre o resultado: há pivôs nas colunas 1,2,3 (as três primeiras colunas são colunas-pivô) e a quarta linha é zero, logo o posto (rank) é 3.]

Passo 4

Conclusões da eliminação (continuação do item b):
  • O posto de A é 3. Portanto \dim W = 3.
  • As colunas-pivô são as colunas 1,2,3, ou seja, \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 são linearmente independentes e geram W. Logo uma base de W é \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}=\{(1,0,1,1),(0,2,1,0),(1,1,0,2)\}.
  • A coluna 4 não é pivô; a eliminação mostra a relação entre as colunas. Da forma reduzida lemos que a quarta coluna é combinação das primeiras: a coluna 4 transformada ficou (1,0,1,0)^\top na forma reduzida, o que corresponde à combinação \mathbf{v}_4=\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_3.Confirmação direta: \mathbf{v}_1+\mathbf{v}_3=(1+1,0+1,1+0,1+2)=(2,1,1,3)=\mathbf{v}_4.

Passo 5

Parte (c): verificar se [\mathbf{v}=(0,1,2,1)\in W).
Como já sabemos que W=\mathrm{span}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}, precisamos ver se existem escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha\mathbf{v}_1+\beta\mathbf{v}_2+\gamma\mathbf{v}_3=(0,1,2,1).
Escrevo o sistema por componentes:
\begin{cases} \alpha + \gamma = 0,\\[4pt] 2\beta + \gamma = 1,\\[4pt] \alpha + \beta = 2,\\[4pt] \alpha + 2\gamma = 1. \end{cases}
Resolvo passo a passo:
  • Da primeira equação \alpha=-\gamma\]. - Substituindo em \(\alpha+\beta=2 -\gamma+\beta=2\Rightarrow \beta=2+\gamma.
    - Substituindo em 2\beta+\gamma=1 2(2+\gamma)+\gamma=1\Rightarrow 4+3\gamma=1\Rightarrow 3\gamma=-3\Rightarrow \gamma=-1.
    - Então \alpha=-\gamma=1 e \beta=2+\gamma=1.
Agora verifico a última equação \alpha+2\gamma\stackrel{?}{=}1: com os valores obtidos 1+2(-1)=1-2=-1\neq 1. Há inconsistência: o sistema não tem solução.
Portanto \mathbf{v}=(0,1,2,1)\notin W.]

Passo 6

Parte (d): aplicar Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal de W.
Primeiro explico a fórmula de Gram–Schmidt (passo didático):
  • Dado um conjunto linearmente independente \{\mathbf{y}_1,\dots,\mathbf{y}_k\}, construímos vetores ortogonais \{\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_k\} por \mathbf{u}_1=\mathbf{y}_1,\qquad \mathbf{u}_j=\mathbf{y}_j-\sum_{i=1}^{j-1}\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_i}(\mathbf{y}_j),onde a projeção é \operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{y})=\frac{\langle \mathbf{y},\mathbf{u}\rangle}{\langle \mathbf{u},\mathbf{u}\rangle}\mathbf{u},e \langle \mathbf{a},\mathbf{b}\rangle é o produto interno usual (produto escalar euclidiano) \sum a_i b_i.
Vou aplicar Gram–Schmidt ao conjunto gerador/básico que escolhemos: \mathbf{y}_1=\mathbf{v}_1,\\ \mathbf{y}_2=\mathbf{v}_2,\\ \mathbf{y}_3=\mathbf{v}_3.
Passo 1 do GS:
\mathbf{u}_1=\mathbf{v}_1=(1,0,1,1).
Calculo \langle \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_1\rangle=1^2+0^2+1^2+1^2=3.
Passo 2 do GS:
  • Calculo \langle \mathbf{v}_2,\mathbf{u}_1\rangle = (0,2,1,0)\cdot(1,0,1,1)=0+0+1+0=1.
  • Então \operatorname{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{v}_2)=\dfrac{1}{3}\mathbf{u}_1=\dfrac{1}{3}(1,0,1,1).
  • Logo
\mathbf{u}_2=\mathbf{v}_2-\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{v}_2) =(0,2,1,0)-\dfrac{1}{3}(1,0,1,1) =\Big(-\tfrac{1}{3},\,2,\,\tfrac{2}{3},\,-\tfrac{1}{3}\Big).
Para evitar frações, posso multiplicar por 3 (isto não altera a ortogonalidade, só escala): defino
\mathbf{w}_2=3\mathbf{u}_2=(-1,6,2,-1).
Verificação rápida: \langle \mathbf{u}_1,\mathbf{w}_2\rangle= (1,0,1,1)\cdot(-1,6,2,-1)=-1+0+2-1=0, portanto \mathbf{w}_2 é ortogonal a \mathbf{u}_1.
Passo 3 do GS:
  • Calculo \langle \mathbf{v}_3,\mathbf{u}_1\rangle=(1,1,0,2)\cdot(1,0,1,1)=1+0+0+2=3. Então \operatorname{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{v}_3)=\dfrac{3}{3}\mathbf{u}_1=\mathbf{u}_1.
  • Calculo \langle \mathbf{v}_3,\mathbf{u}_2\rangle. Uso \mathbf{u}_2=\big(-\tfrac{1}{3},2,\tfrac{2}{3},-\tfrac{1}{3}\big): \langle \mathbf{v}_3,\mathbf{u}_2\rangle =1\cdot\Big(-\tfrac{1}{3}\Big)+1\cdot 2 +0\cdot\Big(\tfrac{2}{3}\Big)+2\cdot\Big(-\tfrac{1}{3}\Big) =-\tfrac{1}{3}+2+0-\tfrac{2}{3}=1.
  • Calculo \langle \mathbf{u}_2,\mathbf{u}_2\rangle: \langle \mathbf{u}_2,\mathbf{u}_2\rangle=\Big(-\tfrac{1}{3}\Big)^2+2^2+\Big(\tfrac{2}{3}\Big)^2+\Big(-\tfrac{1}{3}\Big)^2 =\tfrac{1}{9}+4+\tfrac{4}{9}+\tfrac{1}{9}=4+\tfrac{6}{9}=4+\tfrac{2}{3}=\tfrac{14}{3}.
  • Assim \operatorname{proj}_{\mathbf{u}_2}(\mathbf{v}_3)=\dfrac{\langle \mathbf{v}_3,\mathbf{u}_2\rangle}{\langle \mathbf{u}_2,\mathbf{u}_2\rangle}\mathbf{u}_2=\dfrac{1}{14/3}\mathbf{u}_2=\dfrac{3}{14}\mathbf{u}_2.
Agora construo \mathbf{u}_3:
\mathbf{u}_3=\mathbf{v}_3-\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{v}_3)-\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_2}(\mathbf{v}_3) =\mathbf{v}_3-\mathbf{u}_1-\dfrac{3}{14}\mathbf{u}_2.
Calculo intermediário \mathbf{v}_3-\mathbf{u}_1=(1,1,0,2)-(1,0,1,1)=(0,1,-1,1). Subtraindo \dfrac{3}{14}\mathbf{u}_2 (lembre \mathbf{u}_2=(-\tfrac{1}{3},2,\tfrac{2}{3},-\tfrac{1}{3})) obtenho:
\frac{3}{14}\mathbf{u}_2=\Big(-\tfrac{1}{14},\,\tfrac{3}{7},\,\tfrac{1}{7},\,-\tfrac{1}{14}\Big).
Logo
\mathbf{u}_3=(0,1,-1,1)-\Big(-\tfrac{1}{14},\tfrac{3}{7},\tfrac{1}{7},-\tfrac{1}{14}\Big) =\Big(\tfrac{1}{14},\,\tfrac{4}{7},\,-\tfrac{8}{7},\,\tfrac{15}{14}\Big).
Para limpar denominadores multiplico por 14 e defino
\mathbf{w}_3=14\mathbf{u}_3=(1,8,-16,15).
Verificações de ortogonalidade rápidas (confere cálculos):
\langle \mathbf{u}_1,\mathbf{w}_3\rangle=(1,0,1,1)\cdot(1,8,-16,15)=1+0-16+15=0,
\langle \mathbf{w}_2,\mathbf{w}_3\rangle=(-1,6,2,-1)\cdot(1,8,-16,15)=-1+48-32-15=0.
Portanto \{\mathbf{u}_1,\mathbf{w}_2,\mathbf{w}_3\} é um conjunto de vetores mutuamente ortogonais que gera W. (Podemos também usar \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3\} sem as multiplicações por escalares; a ortogonalidade é preservada por escala não nula.)

Passo 7

Resumo final e observações rápidas (motivação/encorajamento):
  • Encontramos que \dim W=3 e uma base simples é \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}.
  • A verificação de pertencimento mostrou que \mathbf{v}=(0,1,2,1)\notin W.
  • Uma base ortogonal de W (obtida por Gram–Schmidt e com vetores sem frações) é \{\,\mathbf{u}_1,\mathbf{w}_2,\mathbf{w}_3\,\} =\{(1,0,1,1),\;(-1,6,2,-1),\;(1,8,-16,15)\}.
Se quiser, dá pra normalizar esses vetores para obter uma base ortonormal — me avisa que eu mostro!

Resposta

(a) Base: um conjunto \{\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_k\} que gera o espaço e é linearmente independente. Dimensão: \dim V é o número de vetores em qualquer base de V.
(b) Uma base de W é \{(1,0,1,1),(0,2,1,0),(1,1,0,2)\} e \dim W=3.
(c) \mathbf{v}=(0,1,2,1)\notin W.
(d) Uma base ortogonal de W é \{(1,0,1,1),\;(-1,6,2,-1),\;(1,8,-16,15)\}.

Exercícios relacionados