Questão 2.5 Considerando uma atmosfera adiabática, a pressão varia com o volume específico da seguinte maneira: \mathrm{p}\left(\mathrm{V}_{\mathrm{s}}\right)^{\mathrm{k}}= constante, onde p é a pressão, \mathrm{V}_{\mathrm{s}} o volume específico e k é a razão entre os calores específicos, \mathrm{k}=\mathrm{c}_{\mathrm{p}} / \mathrm{c}_{\mathrm{v}}. Desenvolver uma expressão para a pressão como função da elevação, para essa atmosfera, usando o chão como referência. Dicas: Considerar o ar como um gás ideal de massa molar \mathrm{Mm}_{\mathrm{ar}}. Ao nível do mar, temperatura e pressão valem, respect., \mathrm{T}_{0} e \mathrm{p}_{0}.

Passo 1

O enunciado pede: desenvolver uma expressão para a pressão como função da elevação z para uma atmosfera adiabática, tomando o chão (nível do mar) como referência. Informações dadas e condições iniciais:
  • Lei adiabática: p\left(V_{s}\right)^{k}= constante, onde p é a pressão, V_{s} o volume específico e k=\dfrac{c_{p}}{c_{v}}.
  • O ar deve ser tratado como gás ideal, de massa molar \mathrm{Mm}_{\mathrm{ar}}.
  • No nível do mar (referência z=0), a temperatura e a pressão valem, respectivamente, T_{0} e p_{0}.
  • Constante gravitacional local: g (aceleração da gravidade).
    O objetivo final: encontrar p(z) em termos de p_{0}, T_{0}, g, \mathrm{Mm}_{\mathrm{ar}}, R e k.

Passo 2

Vou usar duas relações fundamentais que conectam pressão, temperatura e altitude. Primeiro, a equação do gás ideal por unidade de massa (forma com volume específico):
p\,V_{s}=R_{\text{espec}},
mas isso está incompleto; a forma correta é
p\,V_{s}=R_{\text{spec}}\,T,
onde R_{\text{spec}} é a constante dos gases para o ar por unidade de massa. Explicando os termos:
  • p é a pressão local.
  • V_{s} é o volume específico (volume por massa), ou seja V_{s}=1/\rho.
  • T é a temperatura local.
  • R_{\text{spec}} é a constante específica do gás dada por
R_{\text{spec}}=\frac{R}{\mathrm{Mm}_{\mathrm{ar}}},
onde R é a constante universal dos gases e \mathrm{Mm}_{\mathrm{ar}} é a massa molar do ar (mesmas unidades que tornam R_{\text{spec}} em J·kg{-1}·K{-1}).

Passo 3

Agora uso a relação adiabática p\left(V_{s}\right)^{k}= constante e substituo V_{s} pela expressão do gás ideal. Passos algébricos claros:
p\left(V_{s}\right)^{k}=p\left(\frac{R_{\text{spec}}\,T}{p}\right)^{k}=\text{const}.
Desenvolvendo,
p \frac{(R_{\text{spec}})^{k} T^{k}}{p^{k}}=(R_{\text{spec}})^{k} p^{1-k} T^{k}=\text{const}.
Como (R_{\text{spec}})^{k} é apenas uma constante, podemos escrever a relação útil entre p e T como
p^{\,1-k} T^{\,k}=C,
onde C é uma constante que pode ser encontrada a partir das condições de referência ( p_{0},T_{0}):
C = p_{0}^{\,1-k} T_{0}^{\,k}.
Isolando T em função de p:
T = T_{0}\left(\frac{p}{p_{0}}\right)^{\!\frac{k-1}{k}}.
Aqui expliquei: isso significa que, numa atmosfera adiabática, a temperatura é proporcional a uma potência da pressão.

Passo 4

A segunda relação que liga pressão e altitude é a condição de equilíbrio hidrostático:
\frac{dp}{dz} = -\rho\,g.
Como \rho=1/V_{s} e pela equação dos gases ideais \rho=\dfrac{p}{R_{\text{spec}}\,T}, obtemos
\frac{dp}{dz} = -\frac{p\,g}{R_{\text{spec}}\,T}.
Explico: essa equação diz que a variação vertical da pressão compensa o peso do fluido acima; é a base para perfis de pressão na atmosfera.

Passo 5

Substituo a expressão T=T_{0}\left(\dfrac{p}{p_{0}}\right)^{\frac{k-1}{k}} dentro da equação hidrostática para eliminar T e ficar com uma equação diferencial em p e z somente. Primeiro calculo p/T:
\frac{p}{T}=\frac{p}{T_{0}\left(\dfrac{p}{p_{0}}\right)^{\frac{k-1}{k}}} = \frac{p}{T_{0}} \left(\frac{p}{p_{0}}\right)^{-\frac{k-1}{k}}.
Reescrevendo os potências de p:
\frac{p}{T} = \frac{p^{1-\frac{k-1}{k}}}{T_{0}}\,p_{0}^{\frac{k-1}{k}} = \frac{p^{\frac{1}{k}}}{T_{0}}\,p_{0}^{\frac{k-1}{k}}.
Substituindo em \dfrac{dp}{dz} = -\dfrac{p\,g}{R_{\text{spec}}\,T} obtém-se
\frac{dp}{dz} = -\frac{g}{R_{\text{spec}}}\cdot\frac{p^{\frac{1}{k}}}{T_{0}}\,p_{0}^{\frac{k-1}{k}}.
Para clareza, defino a constante positiva
A \equiv \frac{g}{R_{\text{spec}}\,T_{0}}\,p_{0}^{\frac{k-1}{k}},
então a equação diferencial fica
\frac{dp}{dz} = -A\,p^{\frac{1}{k}}.

Passo 6

Essa equação diferencial é separável. Separo variáveis e integro entre a superfície ( z=0,\,p=p_{0}) e uma altitude z com pressão p(z):
\int_{p_{0}}^{p(z)} p^{-\frac{1}{k}}\,dp = -\int_{0}^{z} A\,dz.
Faço a integral no lado esquerdo: a primitiva de p^{-1/k} é \dfrac{p^{1-1/k}}{1-1/k}. Note que 1-\dfrac{1}{k}=\dfrac{k-1}{k}. Portanto
\left.\frac{p^{\frac{k-1}{k}}}{\tfrac{k-1}{k}}\right|_{p_{0}}^{p(z)} = -A z.
Multiplicando por \tfrac{k-1}{k},
p(z)^{\frac{k-1}{k}} - p_{0}^{\frac{k-1}{k}} = -\frac{k-1}{k}\,A\,z.

Passo 7

Agora substituo A e reordeno para isolar p(z). Lembrando A=\dfrac{g}{R_{\text{spec}}\,T_{0}}\,p_{0}^{\frac{k-1}{k}}, temos
p(z)^{\frac{k-1}{k}} = p_{0}^{\frac{k-1}{k}}\left[1 - \frac{k-1}{k}\cdot\frac{g\,z}{R_{\text{spec}}\,T_{0}}\right].
Para obter p(z) basta elevar ambos os lados à potência \dfrac{k}{k-1}:
p(z) = p_{0}\left[1 - \frac{k-1}{k}\cdot\frac{g\,z}{R_{\text{spec}}\,T_{0}}\right]^{\!\frac{k}{k-1}}.

Passo 8

Finalmente, substituir R_{\text{spec}}=\dfrac{R}{\mathrm{Mm}_{\mathrm{ar}}} para expressar a resposta com a massa molar do ar como pediram. Assim
\frac{g\,z}{R_{\text{spec}}\,T_{0}}=\frac{g\,z\,\mathrm{Mm}_{\mathrm{ar}}}{R\,T_{0}}.
Portanto a expressão final, explícita e pronta para usar na prova, é:

Resposta

p(z)=p_{0}\left[\,1-\frac{k-1}{k}\,\frac{g\,\mathrm{Mm}_{\mathrm{ar}}\,z}{R\,T_{0}}\,\right]^{\!\frac{k}{k-1}}

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