Questão 2.5 Considerando uma atmosfera adiabática, a pressão varia com o volume específico da seguinte maneira: \mathrm{p}\left(\mathrm{V}_{\mathrm{s}}\right)^{\mathrm{k}}= constante, onde p é a pressão, \mathrm{V}_{\mathrm{s}} o volume específico e k é a razão entre os calores específicos, \mathrm{k}=\mathrm{c}_{\mathrm{p}} / \mathrm{c}_{\mathrm{v}}. Desenvolver uma expressão para a pressão como função da elevação, para essa atmosfera, usando o chão como referência. Dicas: Considerar o ar como um gás ideal de massa molar \mathrm{Mm}_{\mathrm{ar}}. Ao nível do mar, temperatura e pressão valem, respect., \mathrm{T}_{0} e \mathrm{p}_{0}.
Passo 1
O enunciado pede: desenvolver uma expressão para a pressão como função da elevação z para uma atmosfera adiabática, tomando o chão (nível do mar) como referência. Informações dadas e condições iniciais:
Lei adiabática: p\left(V_{s}\right)^{k}= constante, onde p é a pressão, V_{s} o volume específico e k=\dfrac{c_{p}}{c_{v}}.
O ar deve ser tratado como gás ideal, de massa molar \mathrm{Mm}_{\mathrm{ar}}.
No nível do mar (referência z=0), a temperatura e a pressão valem, respectivamente, T_{0} e p_{0}.
Constante gravitacional local: g (aceleração da gravidade).
O objetivo final: encontrar p(z) em termos de p_{0}, T_{0}, g, \mathrm{Mm}_{\mathrm{ar}}, R e k.
Passo 2
Vou usar duas relações fundamentais que conectam pressão, temperatura e altitude. Primeiro, a equação do gás ideal por unidade de massa (forma com volume específico):
p\,V_{s}=R_{\text{espec}},
mas isso está incompleto; a forma correta é
p\,V_{s}=R_{\text{spec}}\,T,
onde R_{\text{spec}} é a constante dos gases para o ar por unidade de massa. Explicando os termos:
p é a pressão local.
V_{s} é o volume específico (volume por massa), ou seja V_{s}=1/\rho.
T é a temperatura local.
R_{\text{spec}} é a constante específica do gás dada por
onde R é a constante universal dos gases e \mathrm{Mm}_{\mathrm{ar}} é a massa molar do ar (mesmas unidades que tornam R_{\text{spec}} em J·kg{-1}·K{-1}).
Passo 3
Agora uso a relação adiabática p\left(V_{s}\right)^{k}= constante e substituo V_{s} pela expressão do gás ideal. Passos algébricos claros:
p \frac{(R_{\text{spec}})^{k} T^{k}}{p^{k}}=(R_{\text{spec}})^{k} p^{1-k} T^{k}=\text{const}.
Como (R_{\text{spec}})^{k} é apenas uma constante, podemos escrever a relação útil entre p e T como
p^{\,1-k} T^{\,k}=C,
onde C é uma constante que pode ser encontrada a partir das condições de referência (p_{0},T_{0}):
C = p_{0}^{\,1-k} T_{0}^{\,k}.
Isolando T em função de p:
T = T_{0}\left(\frac{p}{p_{0}}\right)^{\!\frac{k-1}{k}}.
Aqui expliquei: isso significa que, numa atmosfera adiabática, a temperatura é proporcional a uma potência da pressão.
Passo 4
A segunda relação que liga pressão e altitude é a condição de equilíbrio hidrostático:
\frac{dp}{dz} = -\rho\,g.
Como \rho=1/V_{s} e pela equação dos gases ideais \rho=\dfrac{p}{R_{\text{spec}}\,T}, obtemos
\frac{dp}{dz} = -\frac{p\,g}{R_{\text{spec}}\,T}.
Explico: essa equação diz que a variação vertical da pressão compensa o peso do fluido acima; é a base para perfis de pressão na atmosfera.
Passo 5
Substituo a expressão T=T_{0}\left(\dfrac{p}{p_{0}}\right)^{\frac{k-1}{k}} dentro da equação hidrostática para eliminar T e ficar com uma equação diferencial em p e z somente. Primeiro calculo p/T: