Questão 2.13 O efeito da compressibilidade da água do mar pode ficar importante se a pressão é observada em profundidades muito grandes. Sendo assim:
a) Admita que o módulo de compressibilidade
da água do mar é constante e obtenha uma relação entre a pressão e a profundidade que leve em conta a variação da massa específica do fluido com a profundidade.
b) Utilize o resultado da parte a. para determinar a pressão numa profundidade de 6 km . Admita que o módulo de compressibilidade da água do mar é
e que a massa específica da água na superfície é igual a
. Compare este resultado com o obtido se a água do mar for incompressível.
a) Admita que o módulo de compressibilidade
b) Utilize o resultado da parte a. para determinar a pressão numa profundidade de 6 km . Admita que o módulo de compressibilidade da água do mar é
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Derivar uma relação entre a pressão e a profundidade levando em conta que a massa específica da água do mar varia com a profundidade e que o módulo de compressibilidade
é constante. - (b) Usar essa relação para calcular a pressão a uma profundidade de
dada e . Comparar com o resultado assumindo água incompressível.
Informações e convenções que vamos usar (tiradas do enunciado ou necessárias para o cálculo):
- Módulo de compressibilidade:
. - Massa específica na superfície:
. - Profundidade procurada:
. - Aceleração da gravidade:
(valor padrão). - Pressão na superfície:
(vou manter simbólico e, ao numerar, usar se precisar do valor absoluto). - Definição do módulo de compressibilidade fornecida:
.
Passo 2
Entender o significado de
e transformar a definição em uma relação diferencial útil.
A definição dada é
Isto significa que pequenas mudanças relativas de densidade
estão relacionadas a variações de pressão
. Manipulando essa definição obtemos uma relação diferencial entre
e
. Escrevendo explicitamente:
Esta é uma equação diferencial simples entre
e
. Vou integrá‑la mais adiante para obter
. Antes, explico intuitivamente: se
é grande, para uma dada
a variação relativa
é pequena — água pouco compressível.
Passo 3
Escrever a equação de equilíbrio hidrostático (a base da variação de pressão com profundidade).
Para um fluido em repouso, a equação diferencial de equilíbrio vertical é
onde:
-
é a profundidade medida positivamente para baixo (ou seja, na superfície e na profundidade ); -
é a pressão a profundidade ; -
é a massa específica do fluido a profundidade ; -
é a aceleração da gravidade.
Explicação do sinal: como
aumenta para baixo, a pressão aumenta com
, então
é positivo e igual à massa por volume vezes
.
Passo 4
Relacionar
com
usando a definição de
e obter
.
Partimos da equação do Passo 2:
Integramos ambos os lados desde a superfície (onde
e
) até profundidade qualquer com pressão
e densidade
:
As integrais dão
Exponenciando,
Interpretação: a densidade cresce exponencialmente com o aumento da pressão, a razão do expoente sendo
. Como
é muito grande, o expoente é pequeno e a variação é fraca — isso faz sentido físico.
Passo 5
Substituir
na equação hidrostática e resolver para
.
A equação hidrostática é
. Substituindo a expressão obtida:
Esta é uma equação diferencial separável. Separamos as variáveis
e
. Colocando todos os termos em
do lado esquerdo:
Integramos de
(superfície,
) até
(profundidade
, pressão
):
Na integral à esquerda, mude a variável para
, assim
. A integral fica
A integral à direita é simplesmente
. Igualando as duas:
Isolando
:
Tomando logaritmo:
Portanto a relação solicitada (resposta da parte a) é
Observação sobre domínio: esta fórmula só é válida se
(caso contrário o log fica indefinido), condição que fisicamente exige que a pressão não cresça tanto a ponto de invalidar a hipótese de compressibilidade linear usada na definição de
. Para parâmetros reais do mar essa condição é satisfeita.
Passo 6
Aplicar a fórmula para
com os dados numéricos e comparar com o caso incompressível.
Primeiro calculamos a pressão adicional (sobre a pressão de superfície) no caso incompressível:
Com
,
,
,
Agora usamos a fórmula compressível:
Calculamos o argumento da função log:
Então
Aproximando
numericamente (ou usando calculadora),
portanto
Assim, a pressão adicional quando se leva em conta compressibilidade é aproximadamente
.
Comparando:
Diferença absoluta:
Diferença relativa (percentual):
Se quiser o valor absoluto da pressão incluindo a pressão atmosférica de superfície
, então
O termo
é pequeno diante da pressão hidrostática a 6 km.
Interpretação física curta: a compressibilidade aumenta ligeiramente a pressão (porque a densidade aumenta com a profundidade, gerando um acréscimo adicional de peso da coluna de água), mas o efeito é pequeno aqui — da ordem de 1 a 2% para 6 km.
Resposta
(a)
.\n
(b) Para ,
e
:\n
(pressão adicional levando em conta compressibilidade),\n
(água incompressível),\n
diferença (
maior no caso compressível).
(b) Para
diferença