Questão 2.13 O efeito da compressibilidade da água do mar pode ficar importante se a pressão é observada em profundidades muito grandes. Sendo assim:
a) Admita que o módulo de compressibilidade [\mathrm{B}=\mathrm{dP} /(\mathrm{d} \rho / \rho)] da água do mar é constante e obtenha uma relação entre a pressão e a profundidade que leve em conta a variação da massa específica do fluido com a profundidade.
b) Utilize o resultado da parte a. para determinar a pressão numa profundidade de 6 km . Admita que o módulo de compressibilidade da água do mar é 2,3 \cdot 10^{9} \mathrm{~Pa} e que a massa específica da água na superfície é igual a 1030 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Compare este resultado com o obtido se a água do mar for incompressível.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Derivar uma relação entre a pressão e a profundidade levando em conta que a massa específica da água do mar varia com a profundidade e que o módulo de compressibilidade \mathrm{B} é constante.
  • (b) Usar essa relação para calcular a pressão a uma profundidade de 6\\ \mathrm{km} dada \mathrm{B}=2,3\cdot10^{9}\\ \mathrm{Pa} e \rho(0)=1030\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}. Comparar com o resultado assumindo água incompressível.
Informações e convenções que vamos usar (tiradas do enunciado ou necessárias para o cálculo):
  • Módulo de compressibilidade: \mathrm{B}=2,3\cdot10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
  • Massa específica na superfície: \rho(0)=\rho_{0}=1030\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
  • Profundidade procurada: H=6\\ \mathrm{km}=6000\\ \mathrm{m}.
  • Aceleração da gravidade: g=9,8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} (valor padrão).
  • Pressão na superfície: P(0)=P_{0} (vou manter P_{0} simbólico e, ao numerar, usar P_{0}\approx1,01\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} se precisar do valor absoluto).
  • Definição do módulo de compressibilidade fornecida: \mathrm{B}=\dfrac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}\rho/\rho}.

Passo 2

Entender o significado de \mathrm{B} e transformar a definição em uma relação diferencial útil.
A definição dada é
\mathrm{B}=\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}\rho/\rho}.
Isto significa que pequenas mudanças relativas de densidade \mathrm{d}\rho/\rho estão relacionadas a variações de pressão \mathrm{d}P. Manipulando essa definição obtemos uma relação diferencial entre \rho e P. Escrevendo explicitamente:
\frac{\mathrm{d}\rho}{\rho}=\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{B}}.
Esta é uma equação diferencial simples entre \rho e P. Vou integrá‑la mais adiante para obter \rho(P). Antes, explico intuitivamente: se \mathrm{B} é grande, para uma dada \mathrm{d}P a variação relativa \mathrm{d}\rho/\rho é pequena — água pouco compressível.

Passo 3

Escrever a equação de equilíbrio hidrostático (a base da variação de pressão com profundidade).
Para um fluido em repouso, a equação diferencial de equilíbrio vertical é
\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z}=\rho(z)\,g,
onde:
  • z é a profundidade medida positivamente para baixo (ou seja, z=0 na superfície e z=H na profundidade H);
  • P(z) é a pressão a profundidade z;
  • \rho(z) é a massa específica do fluido a profundidade z;
  • g é a aceleração da gravidade.
Explicação do sinal: como z aumenta para baixo, a pressão aumenta com z, então \mathrm{d}P/\mathrm{d}z é positivo e igual à massa por volume vezes g.

Passo 4

Relacionar \rho com P usando a definição de \mathrm{B} e obter \rho(P).
Partimos da equação do Passo 2:
\frac{\mathrm{d}\rho}{\rho}=\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{B}}.
Integramos ambos os lados desde a superfície (onde P=P_{0} e \rho=\rho_{0}) até profundidade qualquer com pressão P e densidade \rho:
\int_{\rho_{0}}^{\rho}\frac{\mathrm{d}\rho'}{\rho'}=\int_{P_{0}}^{P}\frac{\mathrm{d}P'}{\mathrm{B}}.
As integrais dão
\ln\!\left(\frac{\rho}{\rho_{0}}\right)=\frac{P-P_{0}}{\mathrm{B}}.
Exponenciando,
\rho(P)=\rho_{0}\,\exp\!\left(\frac{P-P_{0}}{\mathrm{B}}\right).
Interpretação: a densidade cresce exponencialmente com o aumento da pressão, a razão do expoente sendo 1/\mathrm{B}. Como \mathrm{B} é muito grande, o expoente é pequeno e a variação é fraca — isso faz sentido físico.

Passo 5

Substituir \rho(P) na equação hidrostática e resolver para P(z).
A equação hidrostática é \dfrac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z}=\rho(P)\,g. Substituindo a expressão obtida:
\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z}=\rho_{0}\,g\,\exp\!\left(\frac{P-P_{0}}{\mathrm{B}}\right).
Esta é uma equação diferencial separável. Separamos as variáveis P e z. Colocando todos os termos em P do lado esquerdo:
\exp\!\left(-\frac{P-P_{0}}{\mathrm{B}}\right)\mathrm{d}P=\rho_{0}\,g\,\mathrm{d}z.
Integramos de z=0 (superfície, P=P_{0}) até z=H (profundidade H, pressão P(H)):
\int_{P_{0}}^{P(H)}\exp\!\left(-\frac{P'-P_{0}}{\mathrm{B}}\right)\mathrm{d}P'=\int_{0}^{H}\rho_{0}\,g\,\mathrm{d}z'.
Na integral à esquerda, mude a variável para u=(P'-P_{0})/\mathrm{B}, assim \mathrm{d}P'=\mathrm{B}\,\mathrm{d}u. A integral fica
\mathrm{B}\int_{0}^{\frac{P(H)-P_{0}}{\mathrm{B}}}e^{-u}\,\mathrm{d}u =\mathrm{B}\left[1-e^{-\frac{P(H)-P_{0}}{\mathrm{B}}}\right].
A integral à direita é simplesmente \rho_{0}\,g\,H. Igualando as duas:
\mathrm{B}\left[1-\exp\!\left(-\frac{P(H)-P_{0}}{\mathrm{B}}\right)\right]=\rho_{0}\,g\,H.
Isolando P(H):
\exp\!\left(-\frac{P(H)-P_{0}}{\mathrm{B}}\right) =1-\frac{\rho_{0}\,g\,H}{\mathrm{B}}.
Tomando logaritmo:
-\frac{P(H)-P_{0}}{\mathrm{B}}=\ln\!\left(1-\frac{\rho_{0}\,g\,H}{\mathrm{B}}\right).
Portanto a relação solicitada (resposta da parte a) é
\boxed{\,P(H)=P_{0}-\mathrm{B}\,\ln\!\left(1-\frac{\rho_{0}\,g\,H}{\mathrm{B}}\right)\,}
Observação sobre domínio: esta fórmula só é válida se \dfrac{\rho_{0}\,g\,H}{\mathrm{B}}<1 (caso contrário o log fica indefinido), condição que fisicamente exige que a pressão não cresça tanto a ponto de invalidar a hipótese de compressibilidade linear usada na definição de \mathrm{B}. Para parâmetros reais do mar essa condição é satisfeita.

Passo 6

Aplicar a fórmula para H=6000\\ \mathrm{m} com os dados numéricos e comparar com o caso incompressível.
Primeiro calculamos a pressão adicional (sobre a pressão de superfície) no caso incompressível:
\Delta P_{\text{incomp}}=\rho_{0}\,g\,H.
Com \rho_{0}=1030\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}, g=9,8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}, H=6000\\ \mathrm{m},
\Delta P_{\text{incomp}}=1030\times9,8\times6000=60\,564\,000\\ \mathrm{Pa}=6,0564\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}.
Agora usamos a fórmula compressível:
P(H)-P_{0}=-\mathrm{B}\,\ln\!\left(1-\frac{\rho_{0}\,g\,H}{\mathrm{B}}\right).
Calculamos o argumento da função log:
\frac{\rho_{0}\,g\,H}{\mathrm{B}}=\frac{60\,564\,000}{2,3\times10^{9}}\approx0,02633.
Então
P(H)-P_{0}=-2{,}3\times10^{9}\times\ln(1-0{,}02633).
Aproximando \ln(1-x) numericamente (ou usando calculadora),
\ln(1-0{,}02633)\approx-0{,}02668,
portanto
P(H)-P_{0}\approx2{,}3\times10^{9}\times0{,}02668\approx6,14\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}.
Assim, a pressão adicional quando se leva em conta compressibilidade é aproximadamente \Delta P_{\text{comp}}\approx6,14\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}.
Comparando:
\Delta P_{\text{incomp}}=6,0564\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}, \qquad \Delta P_{\text{comp}}\approx6,14\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}.
Diferença absoluta:
\Delta P_{\text{comp}}-\Delta P_{\text{incomp}}\approx8,06\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}\\ ( \approx0{,}806\\ \mathrm{MPa}).
Diferença relativa (percentual):
\frac{\Delta P_{\text{comp}}-\Delta P_{\text{incomp}}}{\Delta P_{\text{incomp}}}\approx0{,}0133\approx1{,}33\%.
Se quiser o valor absoluto da pressão incluindo a pressão atmosférica de superfície P_{0}\approx1,01\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, então
P_{\text{comp}}(H)=P_{0}+\Delta P_{\text{comp}}\approx1,01\times10^{5}+6,14\times10^{7}\approx6,15\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}.
O termo P_{0} é pequeno diante da pressão hidrostática a 6 km.
Interpretação física curta: a compressibilidade aumenta ligeiramente a pressão (porque a densidade aumenta com a profundidade, gerando um acréscimo adicional de peso da coluna de água), mas o efeito é pequeno aqui — da ordem de 1 a 2% para 6 km.

Resposta

(a) P(H)=P_{0}-\mathrm{B}\,\ln\!\left(1-\dfrac{\rho_{0}\,g\,H}{\mathrm{B}}\right).\n
(b) Para H=6000\\ \mathrm{m}, \mathrm{B}=2,3\cdot10^{9}\\ \mathrm{Pa} e \rho_{0}=1030\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}:\n
\Delta P_{\text{comp}}=P(H)-P_{0}\approx6,14\times10^{7}\\ \mathrm{Pa} (pressão adicional levando em conta compressibilidade),\n
\Delta P_{\text{incomp}}=\rho_{0}gH\approx6,0564\times10^{7}\\ \mathrm{Pa} (água incompressível),\n
diferença \approx8,06\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} ( \approx1{,}33\% maior no caso compressível).

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