Questão 5) Considerando o problema de transferência de calor por condução ao longo da espessura de uma parede, responda: a) Quais hipóteses permitem o uso do método da resistência térmica para o cálculo da taxa de transferência de calor? [1,0] Desenvolva uma expressão para calcular a espessura de revestimento
, de condutividade
conhecida, para obter um dado fluxo de calor,
, constante através de uma parede (
conhecidos). Considere que ocorre convecção em ambas as extremidades e que as constantes e temperaturas dos ambientes são todas conhecidas (
). [2,0]
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
a) listar as hipóteses que permitem usar o método das resistências térmicas para calcular a taxa de transferência de calor;
b) desenvolver uma expressão para encontrar a espessura do revestimento (condutividade
conhecida) que garanta um dado fluxo de calor superficial
constante através da parede composta. São dados conhecidos:
(condutividade da parede principal),
(área),
(espessura da parede principal),
(condutividade do revestimento),
(fluxo de calor superficial desejado), e há convecção em ambas as faces com coeficientes e temperaturas conhecidas
.
a) listar as hipóteses que permitem usar o método das resistências térmicas para calcular a taxa de transferência de calor;
b) desenvolver uma expressão para encontrar a espessura do revestimento
Passo 2
Conceito e ideia do método (aula rápida, sem pular etapas).
- Pensamento físico: para transferência de calor em regime permanente, unidimensional (apenas na direção da espessura), sem geração interna e com propriedades constantes, as quedas térmicas por convecção e condução se comportam como “resistências térmicas” em série. A temperatura “cai” passando por cada resistência, análogo a uma queda de tensão numa cadeia de resistores.
- Definição de resistência térmica por condução (para uma camada plana, homogênea, espessura
, área e condutividade ):
Significado: quanto maior
ou menor
-> maior resistência -> menor fluxo para uma mesma diferença de temperatura.
- Definição de resistência térmica por convecção (para superfície de área
e coeficiente ):
- Observação prática: é comum trabalhar com resistências por unidade de área (resistência superficial), para eliminar
das equações. Chamamos essas resistências por área de . Assim:
Unidades de
:
(mas o mais importante é que somam diretamente).
Passo 3
Escrever a resistência térmica total (por unidade de área) da cadeia: convecção na face quente
condução na parede principal
condução no revestimento
convecção na face fria. Somando resistências por unidade de área:
Expliquei cada termo:
é a resistência convectiva do ambiente 1 até a superfície externa quente;
é a resistência da parede;
é a resistência do revestimento (essa é a incógnita via
);
é a resistência convectiva do lado 2.
Passo 4
Relação entre fluxo de calor superficial e diferença de temperatura (lei de Ohm térmica). Para regime permanente e unidimensional, o fluxo superficial
(unidade
) é dado por:
Como chegamos nisso: a diferença de temperatura entre os dois fluidos
é a “queda” que se distribui nas resistências em série; o fluxo é a razão entre a queda total e a resistência total.
Passo 5
Isolar
a partir da equação anterior. Substituindo
:
Invertendo ambos os lados e isolando o termo com
:
Multiplicando por
e isolando
:
Finalmente, multiplicando por
:
Essa é a expressão que relaciona a espessura do revestimento
com os dados conhecidos. Observe que usamos resistências por unidade de área, por isso
desapareceu da fórmula; se preferir trabalhar com resistências absolutas, tudo é equivalente incluindo os termos divididos por
.
Passo 6
Condições de validade e checagens práticas da expressão:
- Para que exista solução física (espessura não-negativa), é necessário que o termo entre colchetes seja não-negativo. Ou seja, o fluxo pedido
não pode exigir uma queda de temperatura total menor que a soma das outras resistências; matematicamente:
Se o lado esquerdo for menor, a quantidade de revestimento necessária seria negativa — fisicamente impossível — indicando que o fluxo desejado é maior do que o possível com qualquer revestimento de condutividade
(ou seja, precisaria aumentar
ou alterar
, etc.).
- As hipóteses para validar a abordagem (resumidas aqui e detalhadas no passo 7) são fundamentais para usar a fórmula com segurança.
Passo 7
Resumo didático rápido das hipóteses (prévia do passo 1, mas explicando por que são necessárias): para poder modelar o sistema como resistências em série e usar a equação obtida precisamos que:
- o regime seja estacionário (estado estacionário), sem dependência temporal;
- o transporte de calor seja unidimensional (variação de temperatura só na direção da espessura);
- as condutividades térmicas
e e os coeficientes de convecção sejam constantes (independentes de temperatura e posição) ou razoavelmente constantes na faixa de interesse; - não haja geração interna de calor nas camadas;
- as superfícies de contato entre camadas sejam perfeitas (sem resistência de contato adicional);
- os coeficientes de convecção
representam corretamente as condições de troca com os fluidos (fluidos bem misturados, temperaturas uniformes).
Essas hipóteses garantem que as quedas de temperatura se comportam linearmente e que as resistências podem ser somadas.
Resposta
a) Hipóteses: regime estacionário; transferência unidimensional; propriedades constantes (
); sem geração interna; contatos perfeitos entre camadas; fluidos com temperaturas de referência homogêneas (
).
b)