Questão 5: Considere o campo de velocidades \boldsymbol{v}=k x_{2}{ }^{2} \boldsymbol{e}_{1}, onde k é uma constante.
(a) Determine os tensores taxa de deformação ( \boldsymbol{D} ) e de rotação ( \boldsymbol{W} ).
(b) Encontre a taxa de alongamento de um elemento material d \boldsymbol{x}=d s \boldsymbol{n}, \operatorname{com} \boldsymbol{n}=\frac{\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}}{\sqrt{2}} no ponto \boldsymbol{x}=5 \boldsymbol{e}_{1}+3 \boldsymbol{e}_{2}.

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidades
\boldsymbol{v}=k\,x_{2}^{2}\,\boldsymbol{e}_{1},
com k constante. O problema pede:
(a) determinar os tensores taxa de deformação \boldsymbol{D} e de rotação \boldsymbol{W};
(b) encontrar a taxa de alongamento (taxa de variação relativa do comprimento) de um elemento material d\boldsymbol{x}=ds\,\boldsymbol{n}, com \boldsymbol{n}=\dfrac{\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}}{\sqrt{2}}, avaliado no ponto \boldsymbol{x}=5\boldsymbol{e}_{1}+3\boldsymbol{e}_{2}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Componentes da velocidade: \,v_{1}=k x_{2}^{2},\;v_{2}=0,\;v_{3}=0.
  • Unidade vetorial ortonormal \boldsymbol{n}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0).
  • Ponto de avaliação tem x_{2}=3.

Passo 2

Vamos calcular o gradiente do campo de velocidade \nabla\boldsymbol{v}. Lembrete prático: em coordenadas cartesianas a matriz do gradiente tem entradas (\nabla\boldsymbol{v})_{ij}=\dfrac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}, onde i é a linha (componente de v) e j é a coluna (derivada em relação a x_{j}).
Aqui temos as componentes:
v_{1}=k x_{2}^{2},\qquad v_{2}=0,\qquad v_{3}=0.
Então as derivadas relevantes são
\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}=0,\qquad \frac{\partial v_{1}}{\partial x_{2}}=2k x_{2},\qquad \frac{\partial v_{1}}{\partial x_{3}}=0,
e todas as derivadas de v_{2} e v_{3} são zero. Portanto a matriz \nabla\boldsymbol{v} é
\nabla\boldsymbol{v}= \begin{pmatrix} 0 & 2k x_{2} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Definição e interpretação de \boldsymbol{D}: o tensor taxa de deformação \boldsymbol{D} é a parte simétrica do gradiente de velocidade,
\boldsymbol{D}=\frac{1}{2}\big(\nabla\boldsymbol{v}+(\nabla\boldsymbol{v})^{T}\big).
Física rápida e simples: \boldsymbol{D} mede mudanças de forma e alongamentos (é responsável por deformação puramente extensional/alongamento), e é simétrico por construção.
Calculemos \boldsymbol{D}. Primeiro o transposto:
(\nabla\boldsymbol{v})^{T}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 2k x_{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Somando e dividindo por 2:
\boldsymbol{D}=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 2k x_{2} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 2k x_{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & k x_{2} & 0\\[4pt] k x_{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Definição e interpretação de \boldsymbol{W}: o tensor de rotação \boldsymbol{W} é a parte anti‑simétrica do gradiente de velocidade,
\boldsymbol{W}=\frac{1}{2}\big(\nabla\boldsymbol{v}-(\nabla\boldsymbol{v})^{T}\big).
Física rápida: \boldsymbol{W} mede a rotação instantânea rígida do fluido em volta do ponto (sem deformação).
Calculemos \boldsymbol{W}:
\boldsymbol{W}=\frac{1}{2} \left( \begin{pmatrix} 0 & 2k x_{2} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 2k x_{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 0 & k x_{2} & 0\\[4pt] - k x_{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora a taxa de alongamento de um elemento d\boldsymbol{x}=ds\,\boldsymbol{n}.
Fórmula-chave (muito usada em provas): a taxa relativa de variação do comprimento de um elemento unitário orientado por \boldsymbol{n} é
\frac{1}{ds}\frac{d(ds)}{dt}=\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{D}\,\boldsymbol{n}.
Breve justificativa: a decomposição da taxa de variação do vetor deslocamento na parte simétrica dá a contribuição de alongamento; ao projetar nas direções \boldsymbol{n} obtém-se a taxa escalar de alongamento nessa direção.
Aqui \boldsymbol{n}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0). Vamos calcular \boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{D}\,\boldsymbol{n} simbolicamente antes de inserir o ponto numérico:
\boldsymbol{D}= \begin{pmatrix} 0 & k x_{2} & 0\\[4pt] k x_{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\qquad \boldsymbol{n}=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Calcule \boldsymbol{D}\boldsymbol{n}:
\boldsymbol{D}\boldsymbol{n}= \begin{pmatrix} 0 & k x_{2} & 0\\[4pt] k x_{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} k x_{2}\\[4pt] k x_{2}\\[4pt] 0 \end{pmatrix}.
Agora
\boldsymbol{n}\cdot(\boldsymbol{D}\boldsymbol{n}) =\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} k x_{2}\\[4pt] k x_{2}\\[4pt] 0 \end{pmatrix} =\frac{1}{2}\big(k x_{2}+k x_{2}\big)=k x_{2}.
Portanto a taxa de alongamento para um elemento com direção \boldsymbol{n} no ponto com coordenada x_{2} vale k x_{2}.
No ponto dado \boldsymbol{x}=5\boldsymbol{e}_{1}+3\boldsymbol{e}_{2} tem x_{2}=3. Substituindo:
\frac{1}{ds}\frac{d(ds)}{dt}=k x_{2}=k\cdot 3=3k.
Interpretação rápida: se k>0 há alongamento (crescimento do comprimento) na direção \boldsymbol{n} com taxa 3k; se k<0 há encurtamento.]

Resposta

(a) \displaystyle \boldsymbol{D}=\begin{pmatrix}0 & k x_{2} & 0\\[4pt]k x_{2} & 0 & 0\\[4pt]0 & 0 & 0\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol{W}=\begin{pmatrix}0 & k x_{2} & 0\\[4pt]-k x_{2} & 0 & 0\\[4pt]0 & 0 & 0\end{pmatrix}
(b) \displaystyle \frac{1}{ds}\frac{d(ds)}{dt}\Big|_{\boldsymbol{x}=5\boldsymbol{e}_{1}+3\boldsymbol{e}_{2}}=3k]

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