Questão 5: Considere o campo de velocidades \boldsymbol{v}=k x_{2}{ }^{2} \boldsymbol{e}_{1}, onde k é uma constante.
(a) Determine os tensores taxa de deformação ( \boldsymbol{D} ) e de rotação ( \boldsymbol{W} ).
(b) Encontre a taxa de alongamento de um elemento material d \boldsymbol{x}=d s \boldsymbol{n}, \operatorname{com} \boldsymbol{n}=\frac{\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}}{\sqrt{2}} no ponto \boldsymbol{x}=5 \boldsymbol{e}_{1}+3 \boldsymbol{e}_{2}.
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidades
\boldsymbol{v}=k\,x_{2}^{2}\,\boldsymbol{e}_{1},
com k constante. O problema pede:
(a) determinar os tensores taxa de deformação \boldsymbol{D} e de rotação \boldsymbol{W};
(b) encontrar a taxa de alongamento (taxa de variação relativa do comprimento) de um elemento material d\boldsymbol{x}=ds\,\boldsymbol{n}, com \boldsymbol{n}=\dfrac{\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}}{\sqrt{2}}, avaliado no ponto \boldsymbol{x}=5\boldsymbol{e}_{1}+3\boldsymbol{e}_{2}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Componentes da velocidade: \,v_{1}=k x_{2}^{2},\;v_{2}=0,\;v_{3}=0.
Vamos calcular o gradiente do campo de velocidade \nabla\boldsymbol{v}. Lembrete prático: em coordenadas cartesianas a matriz do gradiente tem entradas (\nabla\boldsymbol{v})_{ij}=\dfrac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}, onde i é a linha (componente de v) e j é a coluna (derivada em relação a x_{j}).
Física rápida e simples: \boldsymbol{D} mede mudanças de forma e alongamentos (é responsável por deformação puramente extensional/alongamento), e é simétrico por construção.
Breve justificativa: a decomposição da taxa de variação do vetor deslocamento na parte simétrica dá a contribuição de alongamento; ao projetar nas direções \boldsymbol{n} obtém-se a taxa escalar de alongamento nessa direção.
Aqui \boldsymbol{n}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0). Vamos calcular \boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{D}\,\boldsymbol{n} simbolicamente antes de inserir o ponto numérico: