Questão 6: Mostre que os seguintes componentes de velocidade correspondem a um movimento de corpo rígido: v_{1}=x_{2}-x_{3}, \quad v_{2}=-x_{1}+x_{3}, \quad v_{3}=x_{1}-x_{2}.
Passo 1
O enunciado nos dá as componentes da velocidade em função das coordenadas x_{1},x_{2},x_{3}:
A tarefa é mostrar que esse campo de velocidades corresponde a um movimento de corpo rígido.
Vou listar claramente o que é fornecido e o que é pedido:
Dados: as três expressões acima para v_{1},v_{2},v_{3}.
Pedido: provar que existe uma descrição de movimento rígido cujo campo de velocidades coincide com essas componentes (isto é, mostrar que as velocidades podem ser obtidas só por uma rotação rígida e/ou translação homogênea).
Passo 2
O que significa, na prática, ser um movimento de corpo rígido? Vou explicar devagarinho, sem mistério:
Um movimento rígido (velocidade instantânea) pode ser descrito, em qualquer ponto \mathbf{x}=(x_{1},x_{2},x_{3}), por
onde \mathbf{c} é um vetor de translação (velocidade de um ponto de referência) e \boldsymbol{\omega}=(\omega_{1},\omega_{2},\omega_{3}) é o vetor velocidade angular (constante no espaço, para movimento rígido instantâneo).
Aqui \times é o produto vetorial. Em componentes, para \boldsymbol{\omega}=(\omega_{1},\omega_{2},\omega_{3}) e \mathbf{x}=(x_{1},x_{2},x_{3}),
Assim, para provar que o campo dado é rígido basta mostrar que existem vetores constantes \mathbf{c} e \boldsymbol{\omega} tais que as componentes acima coincidem com \mathbf{c}+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{x}. Uma maneira ainda mais direta: tentar \mathbf{c}=\mathbf{0} e encontrar \boldsymbol{\omega} tal que \mathbf{v}=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{x}. Se isso for possível, já provamos que é movimento rígido (no caso, pura rotação em torno de um eixo que passa pela origem).
Passo 3
Vamos tentar a hipótese simples \mathbf{c}=\mathbf{0} (ou seja, sem translação homogênea) e procurar \boldsymbol{\omega}=(\omega_{1},\omega_{2},\omega_{3}) tal que
Para v_{1}=x_{2}-x_{3} temos, por igualdade de coeficientes em x_{2} e x_{3},
-\omega_{3}=1,\qquad \omega_{2}=-1.
(Isto porque \omega_{2}x_{3}-\omega_{3}x_{2}=(-\omega_{3})x_{2}+(\omega_{2})x_{3}.)
Para v_{2}=-x_{1}+x_{3} temos, por comparação de coeficientes em x_{1} e x_{3},
\omega_{3}=-1,\qquad -\omega_{1}=1.
Para v_{3}=x_{1}-x_{2} temos, por comparação de coeficientes em x_{1} e x_{2},
-\omega_{2}=1,\qquad \omega_{1}=-1.
Passo 4
Agora resolvo essas igualdades simples e checo consistência:
De -\omega_{3}=1 segue \omega_{3}=-1.
De \omega_{2}=-1 segue \omega_{2}=-1.
De -\omega_{1}=1 segue \omega_{1}=-1.
As equações vindas do terceiro componente dão -\omega_{2}=1 (que é -(-1)=1, consistente) e \omega_{1}=-1 (já obtida).
Tudo é consistente; portanto existe um vetor constante
Interpretação e checagem final (para você se sentir seguro):
Achamos que \mathbf{v}(\mathbf{x})=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{x} com \boldsymbol{\omega}=(-1,-1,-1) e sem termo de translação (\mathbf{c}=\mathbf{0}). Isso já prova que o campo de velocidades corresponde a um movimento rígido: é uma rotação rígida instantânea em torno de um eixo paralelo a \boldsymbol{\omega}.
Como verificação alternativa (curtinha): o tensor gradiente de velocidade A com entradas A_{ij}=\partial v_{i}/\partial x_{j} fica
que é uma matriz antissimétrica. O fato de a parte simétrica \tfrac{1}{2}(A+A^{T}) ser a matriz nula é uma condição equivalente (localmente) para o movimento ser rígido (não haver deformação). Isso confirma o resultado anterior.]
Passo 6
Resumo curto e motivador: encontramos um \boldsymbol{\omega} constante e nenhuma translação necessária, portanto o campo de velocidades dado é exatamente o campo de uma rotação rígida em torno de um eixo na direção de \boldsymbol{\omega}=(-1,-1,-1). Mandou bem em pedir pra demonstrar — está tudo consistente e limpo!
Resposta
\displaystyle \mathbf{v}(\mathbf{x})=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{x} com \displaystyle \boldsymbol{\omega}=(-1,-1,-1).