QUESTÃO 6 - Considere o ciclo seguinte envolvendo um mol de gás ideal inicialmente a
e 1,0atm de pressão:
etapa 1 - expansão isotérmica contra uma pressão nula até dobrar o volume;
etapa 2 - compressão reversível isotérmica de 0,5atm até 1,0atm.
Calcule: a) o valor de
; b)
S para a etapa 1 e c)
S para a etapa 2 . R.: a) 0; b)
; c)
.
etapa 1 - expansão isotérmica contra uma pressão nula até dobrar o volume;
etapa 2 - compressão reversível isotérmica de 0,5atm até 1,0atm.
Passo 1
O enunciado descreve um ciclo envolvendo
mol de gás ideal, com as seguintes informações e pedidos:
- Dados iniciais:
- quantidade de substância:
mol; - temperatura inicial:
, ou seja ; - pressão inicial:
.
- quantidade de substância:
- Etapa 1: expansão isotérmica contra pressão nula (expansão livre) até dobrar o volume.
- Etapa 2: compressão isotérmica reversível de
até .
Perguntas (conforme enunciado):
(a) o valor de para o ciclo completo;
(b) para a etapa 1;
(c) para a etapa 2.
(a) o valor de
(b)
(c)
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos, sem pular etapas):
- Entropia: para uma transformação infinitesimal reversível, a variação de entropia é dada por
onde
é o calor trocado de forma reversível e
é a temperatura absoluta naquele instante.
- Variação finita de entropia entre dois estados (usando um caminho reversível qualquer) é
Importante: entropia é função de estado. Isso quer dizer que
entre dois estados depende somente dos estados inicial e final, não do caminho real seguido. Portanto, se o processo real for irreversível, podemos calcular
do sistema imaginando um caminho reversível entre os mesmos estados.
- Para um gás ideal em transformação isotérmica reversível, o calor trocado é
porque o trabalho reversível é
e, para isoterma,
então
em sinal (mas aqui usamos o resultado padrão), levando a
Assim, a variação de entropia para uma isoterma (calculada por um caminho reversível) é
- Relação pressão-volume para gás ideal em isoterma:
constante, então . Isso é útil quando a variação de volume não é dada diretamente, mas as pressões são.
Passo 3
Cálculo de
para a etapa 1 (expansão isotérmica contra pressão nula até dobrar o volume).
- Estados inicial e final da etapa 1: como o volume dobra, temos
- Usando a fórmula da isoterma (vemos que mesmo sendo expansão livre — irreversível — podemos calcular
do sistema usando uma isoterma reversível entre os mesmos estados):
- Valores numéricos: use
e e .
Cálculo passo a passo:
Arredondando para duas casas decimais:
Comentário didático rápido: mesmo que a expansão seja contra pressão nula (expansão livre) e não haja troca de calor real (
), a entropia do sistema aumenta, porque a entropia é função de estado e o estado final tem maior volume — isso é perfeitamente calculável imaginando um caminho reversível entre os estados (é por isso que usamos
).
Passo 4
Cálculo de
para a etapa 2 (compressão isotérmica reversível de
para
).
- Primeiro, note que, após a etapa 1, a pressão do gás (em equilíbrio) é metade da pressão inicial, isto é
. A etapa 2 começa em e termina em . - Em isoterma para gás ideal:
- A variação de entropia na etapa 2 (processo reversível) é
Como
,
- Valores numéricos: com
,
arredondando,
Passo 5
Cálculo do
total do ciclo e conclusão física.
- Soma das variações de entropia das duas etapas (o ciclo tem só essas duas etapas):
- Interpretação física: a entropia é função de estado, e como o sistema retorna ao estado inicial ao final do ciclo, o
total do sistema é zero. Note que isso não contradiz a 2ª lei: a etapa 1 foi irreversível e aumentou a entropia do universo (sistema + vizinhança), mas a soma das etapas do sistema fechadas no ciclo deu zero.
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)