QUESTÃO 3 ( 4,0 p.) - Considere um circuito modelado pela seguinte FT:
Com relação a esse circuito, determine:
a) ( 1,0 p.) a equação diferencial ordinária (EDO) que relaciona o sinal de entrada
com o sinal de saída
.
b)
.
, em regime permanente, caso seja aplicado na entrada o sinal
.
c) ( 1,0 p.) a resposta completa
, caso seja aplicado na entrada o sinal
.
d) (
.) o seu ganho, em regime permanente, caso seja aplicado na entrada o sinal
.
a) ( 1,0 p.) a equação diferencial ordinária (EDO) que relaciona o sinal de entrada
b)
c) ( 1,0 p.) a resposta completa
d) (
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência
e pede:
a) a EDO entre e
,
b) a resposta em regime permanente a um degrau de amplitude ,
c) a resposta completa a um degrau de amplitude ,
d) o ganho em regime permanente a uma excitação senoidal de amplitude e frequência
.
Para isso vamos usar:
– a relação entre polos e zeros de e a EDO em tempo,
– o ganho em para o regime permanente a passo,
– frações parciais e tabelas de transformada inversa de Laplace para a resposta completa,
– análise fasorial para a resposta senoidal no regime permanente.
a) a EDO entre
b) a resposta em regime permanente a um degrau de amplitude
c) a resposta completa a um degrau de amplitude
d) o ganho em regime permanente a uma excitação senoidal de amplitude
Para isso vamos usar:
– a relação entre polos e zeros de
– o ganho em
– frações parciais e tabelas de transformada inversa de Laplace para a resposta completa,
– análise fasorial
Passo 2
Para obter a EDO basta escrever
e depois voltar ao domínio do tempo. Isso dá
Aplicando a transformada inversa de Laplace, lembrando que
e
, obtemos
Passo 3
Para regime permanente com entrada
(degrau de amplitude
) usamos o ganho DC,
:
Logo, como
, temos
Passo 4
Para a resposta completa com
, fazemos
Fração parcial:
Igualando numeradores obtém-se
,
,
. Escrevendo
, reagrupamos
Invertendo cada termo:
Passo 5
Para a entrada
, calculamos
Magnitude e fase:
Assim o ganho em regime permanente é
e o deslocamento de fase resultante
Resposta
a)
.
b) .
c)
d) Ganho e fase
.
b)
c)
d) Ganho