Exercício 1 - Um alternador trifásico alimenta por meio de uma linha equilibrada uma carga trifásica equilibrada. Conhecemos:
(1) a tensão de fase do gerador \left(V_{C N}=220<30^{\circ}[V]\right), a sequência de fase (inversa) e a frequência ( 60[\mathrm{~Hz}] );
(2) o tipo de ligação do alternador (Y);
(3) o número de fios da linha (3);
(4) a resistência (0,25[\Omega]) e a reatância indutiva (0,45[\Omega]) de cada fio da linha (salientando que deve-se desprezar as mútuas entre os fios da linha);
(5) a impedância da carga (8+j3 [ \Omega ]).
Pede-se:
(a) as tensões de fase e de linha do gerador;
(b) as correntes de fase e de linha fornecidas pelo gerador;
(c) as tensões de fase e de linha na carga;
(d) a queda de tensão na linha (valores de fase e de linha);
(e) o diagrama de fasores.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema trifásico equilibrado em ligação Y–Y, frequência de 60,[Hz] e sequência inversa. O gerador está ligado em Y e fornece, em cada fase, \;V_{CN}=220\angle 30^\circ,[V]. A linha tem três fios, cada um com impedância Z_{\text{linha}}=0,25 + j\,0,45,[Ω], e a carga é equilibrada em Y com Z_C=8 + j\,3,[Ω]. Vamos determinar:
a) tensões de fase e de linha no gerador;
b) correntes de fase e de linha do gerador;
c) tensões de fase e de linha na carga;
d) queda de tensão na linha (fase e linha);
e) diagrama de fasores.

Passo 2

Calcular as tensões de fase e de linha no gerador.
A tensão de fase é dada:
V_{CN}=220\angle 30^\circ\text{ V.}
Como a sequência é inversa, temos
V_{BN}=220\angle(30^\circ -120^\circ)=220\angle -90^\circ, \qquad V_{AN}=220\angle(30^\circ +120^\circ)=220\angle150^\circ.
A tensão de linha (por exemplo V_{AB}=V_{AN}-V_{BN}) tem magnitude
|V_{LL}|=\sqrt{3}\,220\approx381\text{ V.}
E, calculando V_{AB}=220\angle150^\circ - 220\angle(-90^\circ), obtém-se
V_{AB}=381\angle -60^\circ\text{ V,}
seguido de
V_{BC}=381\angle -180^\circ,\quad V_{CA}=381\angle 60^\circ.

Passo 3

Calcular as correntes de fase e de linha do gerador.
Cada fase “vê” impedância total
Z_{\text{tot}}=Z_{\text{linha}}+Z_C =(0,25+j\,0,45)+(8+j\,3) =8,25+j\,3,45\;\Omega.
Magnitude e ângulo de Z_{\text{tot}}:
|Z_{\text{tot}}|=\sqrt{8,25^2+3,45^2}=8,944\;\Omega, \quad \angle Z_{\text{tot}}=\arctan\!\bigl(\tfrac{3,45}{8,25}\bigr)=22,8^\circ.
A corrente de fase, por fase C (e igual nas demais), é
I_C=\frac{V_{CN}}{Z_{\text{tot}}} =\frac{220\angle 30^\circ}{8,944\angle 22,8^\circ} =24,6\angle(30^\circ-22,8^\circ) =24,6\angle7,2^\circ\text{ A.}
Como a ligação é Y e sem neutro, a corrente de linha em cada fio é igual à corrente de fase:
I_{\text{linha}}=24,6\angle7,2^\circ\text{ A.}

Passo 4

Calcular as tensões de fase e de linha na carga.
A tensão de fase na carga é
V_{CN}^{\rm carga}=I_C\;Z_C =24,6\angle7,2^\circ\;(8+j\,3)
|Z_C|=\sqrt{8^2+3^2}=8,544,\quad \angle Z_C=\arctan\!\bigl(\tfrac{3}{8}\bigr)=20,6^\circ,
V_{CN}^{\rm carga}=24,6\times8,544\;\angle(7,2^\circ+20,6^\circ) =210,3\angle27,8^\circ\text{ V.}
A tensão de linha na carga tem módulo \sqrt{3} vezes maior e fase defasada em -30^\circ (sequência inversa):
|V_{LL}^{\rm carga}|=210,3\sqrt{3}=364,3\text{ V,} \quad V_{AB}^{\rm carga}=364,3\angle(27,8^\circ-30^\circ) =364,3\angle -2,2^\circ\text{ V.}

Passo 5

Calcular a queda de tensão na linha (fase e linha).
Queda de fase na linha:
V_{\text{queda, fase}}=I_C\,Z_{\text{linha}} =24,6\angle7,2^\circ\;(0,25+j\,0,45).
|Z_{\text{linha}}|=\sqrt{0,25^2+0,45^2}=0,51\;\Omega, \quad \angle Z_{\text{linha}}=\arctan\!\bigl(\tfrac{0,45}{0,25}\bigr)=60,95^\circ,
V_{\text{queda, fase}}=24,6\times0,51\;\angle(7,2^\circ+60,95^\circ) =12,55\angle68,15^\circ\text{ V.}
Queda de linha:
|V_{\text{queda, linha}}|=12,55\sqrt{3}=21,75\text{ V,} \quad \angle V_{\text{queda, linha}}=68,15^\circ-30^\circ=38,15^\circ.

Passo 6

Desenhar o diagrama de fasores.
  1. Marcamos em um mesmo centro:
    • V_{CN}=220\angle30^\circ e seus dois pares V_{BN},V_{AN} com sequência inversa.
    • A corrente I_C=24,6\angle7,2^\circ.
  2. A partir de V_{CN}, traçamos o vetor de queda de linha V_{\text{queda, fase}}=12,55\angle68,15^\circ.
  3. O vetor resultante (subtração de V_{CN}-V_{\text{queda, fase}}) é V_{CN}^{\rm carga}=210,3\angle27,8^\circ.
  4. Para cada fase repetimos o mesmo, respeitando os 120^\circ na sequência inversa.

Resposta

(a) Tensões no gerador:
V_{\text{fase}}=220\angle30^\circ,V,
V_{\text{linha}}=381\angle -60^\circ,V (e as demais defasagens de -120^\circ em sequência inversa).
(b) Correntes do gerador:
I_{\text{fase}}=I_{\text{linha}}=24,6\angle7,2^\circ,A.
(c) Tensões na carga:
V_{\text{fase}}=210,3\angle27,8^\circ,V,
V_{\text{linha}}=364,3\angle -2,2^\circ,V.
(d) Queda de tensão na linha:
fase: 12,55\angle68,15^\circ,V;
linha: 21,75\angle38,15^\circ,V.
(e) Diagrama de fasores conforme descrito no passo 6.

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