QUESTÃO 4 (1,0 p.) - Considere a seguinte sequência causal:
x(n)=\left\{-2 .(2)^{0} ; 6 .(2)^{1} ;-10 .(2)^{2} ; 14 .(2)^{3} ; \ldots\right\}
Determine a transformada z, na forma racional, da sequência x(n).

Passo 1

O enunciado dá a sequência causal definida por
x(n)=\bigl\{-2\cdot2^{0},\;6\cdot2^{1},\;-10\cdot2^{2},\;14\cdot2^{3},\;\ldots\bigr\},\quad n\ge0,
e pede a transformada Z, na forma racional. O conteúdo necessário é a definição da transformada Z e as fórmulas conhecidas
\displaystyle Z\{a^{n}\}=\frac{1}{1-a\,z^{-1}} e
\displaystyle Z\{n\,a^{n}\}=\frac{a\,z^{-1}}{(1-a\,z^{-1})^{2}}.

Passo 2

Primeiro escrevemos x(n) em forma fechada. Observe os coeficientes \{-2,6,-10,14,\dots\}. Eles são
\alpha_{n}=(-1)^{n+1}\,(4n+2),
pois para n=0 \alpha_{0}=(-1)^{1}\cdot2=-2, para n=1 \alpha_{1}=(-1)^{2}\cdot6=6, etc. Logo
x(n)=\alpha_{n}\,2^{n} =(-1)^{n+1}(4n+2)\,2^{n},\quad n\ge0.
Reescrevendo como soma de duas partes:
x(n) =-(4n+2)\,(-2)^{n} =-4\,n\,(-2)^{n}\;-2\,(-2)^{n}.

Passo 3

Agora aplicamos a transformada Z a cada termo, lembrando que a região de convergência será \lvert z\rvert>2.
Para a=-2:
Z\{(-2)^{n}\} =\sum_{n=0}^{\infty}(-2)^{n}z^{-n} =\frac{1}{1-(-2)\,z^{-1}} =\frac{1}{1+2\,z^{-1}},
Z\{n\,(-2)^{n}\} =\frac{(-2)\,z^{-1}}{\bigl(1-(-2)\,z^{-1}\bigr)^{2}} =\frac{-2\,z^{-1}}{(1+2\,z^{-1})^{2}}.

Passo 4

Usando linearidade,
X(z) =-4\,Z\{n\,(-2)^{n}\}\;-2\,Z\{(-2)^{n}\} =-4\!\left(\frac{-2\,z^{-1}}{(1+2\,z^{-1})^{2}}\right) \;-2\!\left(\frac{1}{1+2\,z^{-1}}\right).
Simplificando cada fração multiplicando numerador e denominador por z^{2} e z respectivamente, obtemos
-4\left(\frac{-2\,z^{-1}}{(1+2\,z^{-1})^{2}}\right) =\frac{8\,z}{(z+2)^{2}}, \qquad -2\left(\frac{1}{1+2\,z^{-1}}\right) =\frac{-2\,z}{z+2}.
Colocando num denominador comum (z+2)^{2}:
X(z) =\frac{8\,z}{(z+2)^{2}} -\frac{2\,z\,(z+2)}{(z+2)^{2}} =\frac{8\,z-2\,z^{2}-4\,z}{(z+2)^{2}} =\frac{-2\,z^{2}+4\,z}{(z+2)^{2}}.

Resposta

X(z)=\frac{-2\,z^{2}+4\,z}{(z+2)^{2}}, \quad\text{com ROC }|z|>2.

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