Questão 1 Considere f(x)=x-1 definida apenas no intervalo (0,2). Encontre uma série de Fourier contendo apenas funções \cos \left(\frac{n \pi x}{2}\right), n \in\{0,1,2, \ldots\} de forma que essa série convirja para f no intervalo dado.

Passo 1

O enunciado pede a expansão de meio-intervalo em cossenos (série de Fourier em cossenos) para
f(x)=x-1,\quad 0<x<2,
usando apenas termos \cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr). Para isso, lembramos que em um intervalo (0,L) com L=2 a fórmula geral é
f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr),
com
a_0=\frac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,dx, \quad a_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr)\,dx.

Passo 2

Calculemos primeiro
a_0=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}(x-1)\,dx.
\int_{0}^{2}(x-1)\,dx =\bigl[\tfrac{x^2}{2}-x\bigr]_0^2 =(2-2)-0=0,
logo
a_0=0.

Passo 3

Agora
a_n =\frac{2}{2}\int_{0}^{2}(x-1)\cos\Bigl(\frac{n\pi x}{2}\Bigr)\,dx =\int_{0}^{2}(x-1)\cos(\alpha x)\,dx,
onde definimos \alpha=\tfrac{n\pi}{2}.

Passo 4

Separemos em duas integrais:
\int_{0}^{2}(x-1)\cos(\alpha x)\,dx =\int_{0}^{2}x\cos(\alpha x)\,dx -\int_{0}^{2}\cos(\alpha x)\,dx.
Usando integração por partes em \displaystyle\int_0^2 x\cos(\alpha x)\,dx e sabendo que
\int_{0}^{2}\cos(\alpha x)\,dx =\frac{\sin(2\alpha)}{\alpha},
chega-se ao resultado fechado
\int_{0}^{2}(x-1)\cos(\alpha x)\,dx =\frac{\sin(2\alpha)}{\alpha} +\frac{\cos(2\alpha)-1}{\alpha^2}.
Como 2\alpha=n\pi, temos \sin(n\pi)=0 e \cos(n\pi)=(-1)^n, então
a_n =\frac{(-1)^n-1}{\alpha^2} =\frac{(-1)^n-1}{\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)^2} =\frac{4\bigl((-1)^n-1\bigr)}{n^2\pi^2}.

Passo 5

Observamos que para n\) par temos \((-1)^n-1=0\), e para \(n\) ímpar \((-1)^n-1=-2\). Assim \[a_n=\begin{cases} 0,&n\\ \text{par},\\[6pt] -\displaystyle\frac{8}{n^2\pi^2},&n\\ \text{ímpar}. \end{cases}
Logo a série de Fourier em cossenos fica apenas com (n] ímpares:]

Resposta

\boxed{ f(x)=x-1 =-\frac{8}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2} \cos\!\Bigl(\tfrac{(2k+1)\pi x}{2}\Bigr), \quad 0<x<2. }

Exercícios relacionados