Questão 2 Considere problema definido abaixo.
- Aplique o método de separação de variáveis nessa equação e encontre as EDOs associadas ao problema acima.
- Resolva o problema de autovalores encontrado no item anterior.
- Encontre a solução do problema dado.
Passo 1
O problema é a equação do calor unidimensional com difusividade
em
, sujeita a condições de Dirichlet nulas nas extremidades e condição inicial dada por
O método de separação de variáveis consiste em assumir uma forma
e reduzir a PDE a duas EDOs acopladas por uma constante de separação
.
Passo 2
Substituindo
na PDE e dividindo por
obtemos
Isto gera duas EDOs:
Passo 3
O problema de autovalores em
admite somente soluções não-triviais para
. Impor
e
leva a
Passo 4
Para cada
, a EDO temporal é
Passo 5
A solução geral é a série
Na condição inicial
deve coincidir com
. Note que
e
, ou seja só aparecem os modos
e
. Assim
Resposta
que, simplificando
e
, é