Questão 2 Considere problema definido abaixo.
\begin{aligned} & u_{t}(x, t)=3 u_{x x}(x, t) \text { para }(x, t) \in(0,2) \times(0, \infty) \\\ & u(0, t)=0, \quad u(2, t)=0 \\\ & u(x, 0)=4 \operatorname{sen}(8 \pi x)+\operatorname{sen}(4 \pi x) \end{aligned}
  • Aplique o método de separação de variáveis nessa equação e encontre as EDOs associadas ao problema acima.
  • Resolva o problema de autovalores encontrado no item anterior.
  • Encontre a solução do problema dado.

Passo 1

O problema é a equação do calor unidimensional com difusividade 3 em (0,2)\times(0,\infty), sujeita a condições de Dirichlet nulas nas extremidades e condição inicial dada por
u_{t}=3\,u_{xx},\quad u(0,t)=u(2,t)=0,\quad u(x,0)=4\operatorname{sen}(8\pi x)+\operatorname{sen}(4\pi x).
O método de separação de variáveis consiste em assumir uma forma u(x,t)=X(x)\,T(t) e reduzir a PDE a duas EDOs acopladas por uma constante de separação \lambda.

Passo 2

Substituindo u(x,t)=X(x)\,T(t) na PDE e dividindo por 3\,X\,T obtemos
\frac{T'(t)}{3\,T(t)} \;=\;\frac{X''(x)}{X(x)} \;=\;-\,\lambda.
Isto gera duas EDOs:
X''(x)+\lambda\,X(x)=0,\quad X(0)=0,\;X(2)=0,
T'(t)+3\,\lambda\,T(t)=0.

Passo 3

O problema de autovalores em X admite somente soluções não-triviais para \lambda>0. Impor X(0)=0 e X(2)=0 leva a
\lambda_n=\Bigl(\tfrac{n\pi}{2}\Bigr)^{2},\quad X_n(x)=\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}x\bigr),\quad n=1,2,3,\dots

Passo 4

Para cada \lambda_n, a EDO temporal é
T_n'(t)+3\,\lambda_n\,T_n(t)=0 \quad\Longrightarrow\quad T_n(t)=C_n\,e^{-3\,\lambda_n\,t}.

Passo 5

A solução geral é a série
u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty A_n\,e^{-3\,\lambda_n\,t}\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}x\bigr).
Na condição inicial u(x,0)=\sum A_n\sin(\tfrac{n\pi}{2}x) deve coincidir com 4\operatorname{sen}(8\pi x)+\operatorname{sen}(4\pi x). Note que \sin(8\pi x)=\sin(\tfrac{16\pi}{2}x) e \sin(4\pi x)=\sin(\tfrac{8\pi}{2}x), ou seja só aparecem os modos n=16 e n=8. Assim
A_{16}=4,\quad A_{8}=1,\quad A_n=0\;(n\neq8,16).

Resposta

u(x,t) =4\,e^{-3\,\bigl(\tfrac{16\pi}{2}\bigr)^{2}t}\,\sin(8\pi x) \;+\; e^{-3\,\bigl(\tfrac{8\pi}{2}\bigr)^{2}t}\,\sin(4\pi x)
que, simplificando \lambda_{16}=(8\pi)^{2} e \lambda_{8}=(4\pi)^{2}, é
u(x,t) =4\,e^{-192\pi^{2}t}\,\sin(8\pi x) \;+\; e^{-48\pi^{2}t}\,\sin(4\pi x).

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