Questão 2. Considere a função
definida por
(a) Use o Teste da Derivada Segunda para classificar os pontos críticos de
como pontos de sela ou máximo ou mínimo local.
(b) Determine os extremos absolutos de
na região triangular fechada e limitada pelas retas
e
no primeiro quadrante.
(b) Determine os extremos absolutos de
Passo 1
O enunciado dá a função
definida em
e pede duas coisas:
(a) Classificar os pontos críticos de
(se são pontos de sela, máximo local ou mínimo local) usando o Teste da Derivada Segunda.
(b) Determinar os extremos absolutos de
na região triangular fechada e limitada pelas retas
,
e
no primeiro quadrante.
Informações relevantes dadas pelo enunciado que vou usar depois:
- A expressão explícita de
(já escrita acima). - A região triangular está no primeiro quadrante e é limitada por
, e . Os vértices dessa região são obtidos pelas interseções dessas retas:
Passo 2
Encontrar os pontos críticos: calculo as derivadas parciais primeiras e ponho o gradiente igual a zero.
Derivadas parciais:
Igualando a zero (sistema do gradiente nulo):
Resolvo o sistema passo a passo:
- Da primeira equação
vem ou . - Se
, pela segunda equação segue . Logo um ponto crítico é . - Se
, então da segunda equação obtemos , ou seja . Logo os pontos críticos são e .
Portanto, os pontos críticos de
em
são:
Passo 3
Apresento o Teste da Derivada Segunda (didaticamente): para uma função
suficientemente suave, calcule as segundas derivadas no ponto crítico:
Forme o discriminante (determinante da Hessiana)
Interpretação do teste:
- Se
e no ponto crítico mínimo local. - Se
e no ponto crítico máximo local. - Se
ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Vou calcular as segundas derivadas para a nossa
.
Passo 4
Calculo das segundas derivadas para
:
Então o discriminante é
Agora avalio
e
em cada ponto crítico.
Passo 5
Avaliação em
:
Como
e
, pelo teste a conclusão é que
é um mínimo local.
Passo 6
Avaliação em
(o cálculo para
é análogo porque aparece
):
logo
Como
,
é um ponto de sela. Pelo mesmo raciocínio,
também tem
e é ponto de sela.
Portanto, classificação final dos pontos críticos:
Passo 7
Agora resolvo a parte (b): extremos absolutos na região triangular fechada com vértices
,
e
.
Estratégia (explicada): como a região é compacta e
é contínua,
atinge máximo e mínimo absolutos na região. Esses extremos podem ocorrer em pontos críticos no interior da região ou em pontos da fronteira. Portanto:
- Primeiro vejo se há pontos críticos no interior da região aberta. Dos pontos críticos encontrados em
, apenas está dentro ou na fronteira da região; os outros dois ( ) não estão no primeiro quadrante nem na região. Além disso é um vértice (pertence à fronteira), não um interior estrito. Concluo que não há pontos críticos no interior estrito do triângulo. - Assim preciso investigar a fronteira (três lados). Em cada lado reduzimos
a uma função de uma variável e procuramos extremos nesse intervalo fechad o.
Passo 8
Análise dos três lados da fronteira:
- Lado
, com . Substituo em :
É uma função de
. Em
tem derivada
, zero apenas em
. Valores nos extremos do intervalo:
Logo no segmento
o mínimo é
em
e o máximo é
em
.
- Lado
, com . Substituo :
É função de
em
. Derivada
, que é zero apenas em
. Valores nos extremos:
Logo neste lado o mínimo é
em
e o máximo é
em
.
- Lado
, com . Substituo :
Defino
em
. Derivada:
Solução de
em
é
(pois
para
). Então
é crescente em
(porque
para
). Valores nos extremos:
Assim, no lado
o mínimo é
em
e o máximo é
em
.
Passo 9
Reúno todos os candidatos aos extremos absolutos (pontos críticos no interior, pontos críticos na fronteira e extremos dos intervalos das arestas). Os valores relevantes já calculados:
Não há outro valor maior que
nem menor que
entre os valores que encontrei nos lados. Portanto:
- O menor valor de
na região triangular é , alcançado em . - O maior valor de
na região triangular é , alcançado em .
Resposta
(a)
é mínimo local;
e
são pontos de sela.
(b) Extremo absoluto mínimo:
em
.
Extremo absoluto máximo: em
.
Extremo absoluto máximo: