Questão 2. Considere a função f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} definida por
f(x, y)=x^{2}+y^{2}+x^{2} y+4 .
(a) Use o Teste da Derivada Segunda para classificar os pontos críticos de f como pontos de sela ou máximo ou mínimo local.
(b) Determine os extremos absolutos de f na região triangular fechada e limitada pelas retas x=0, y=2 e y=2 x no primeiro quadrante.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{2}+y^{2}+x^{2}y+4
definida em \mathbb{R}^2 e pede duas coisas:
(a) Classificar os pontos críticos de f (se são pontos de sela, máximo local ou mínimo local) usando o Teste da Derivada Segunda.
(b) Determinar os extremos absolutos de f na região triangular fechada e limitada pelas retas x=0, y=2 e y=2x no primeiro quadrante.
Informações relevantes dadas pelo enunciado que vou usar depois:
  • A expressão explícita de f(x,y) (já escrita acima).
  • A região triangular está no primeiro quadrante e é limitada por x=0, y=2 e y=2x. Os vértices dessa região são obtidos pelas interseções dessas retas: (x=0)\cap(y=2x) \Rightarrow (0,0),
(x=0)\cap(y=2)\Rightarrow (0,2),
(y=2)\cap(y=2x)\Rightarrow 2=2x\Rightarrow x=1 \Rightarrow (1,2).

Passo 2

Encontrar os pontos críticos: calculo as derivadas parciais primeiras e ponho o gradiente igual a zero.
Derivadas parciais:
f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=2x+2xy=2x(1+y),
f_y=\frac{\partial f}{\partial y}=\;2y+x^{2}.
Igualando a zero (sistema do gradiente nulo):
2x(1+y)=0,
2y+x^{2}=0.
Resolvo o sistema passo a passo:
  • Da primeira equação 2x(1+y)=0 vem x=0 ou y=-1.
  • Se x=0, pela segunda equação 2y+0=0 segue y=0. Logo um ponto crítico é (0,0).
  • Se y=-1, então da segunda equação 2(-1)+x^{2}=0 obtemos x^{2}=2, ou seja x=\pm\sqrt{2}. Logo os pontos críticos são (\sqrt{2},-1) e (-\sqrt{2},-1).
Portanto, os pontos críticos de f em \mathbb{R}^2 são:
(0,0),\quad (\sqrt{2},-1),\quad (-\sqrt{2},-1).

Passo 3

Apresento o Teste da Derivada Segunda (didaticamente): para uma função f(x,y) suficientemente suave, calcule as segundas derivadas no ponto crítico:
f_{xx}=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2},\qquad f_{yy}=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2},\qquad f_{xy}=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}.
Forme o discriminante (determinante da Hessiana)
D(x,y)=f_{xx}f_{yy}-\bigl(f_{xy}\bigr)^{2}.
Interpretação do teste:
  • Se D>0 e f_{xx}>0 no ponto crítico \Rightarrow mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 no ponto crítico \Rightarrow máximo local.
  • Se D<0 \Rightarrow ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Vou calcular as segundas derivadas para a nossa f.

Passo 4

Calculo das segundas derivadas para f:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(2x+2xy)=2+2y,
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(2y+x^{2})=2,
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(2x+2xy)=2x.
Então o discriminante é
D(x,y)=(2+2y)\cdot 2 - (2x)^{2}=4+4y-4x^{2}=4\bigl(1+y-x^{2}\bigr).
Agora avalio D e f_{xx} em cada ponto crítico.

Passo 5

Avaliação em (0,0):
D(0,0)=4\bigl(1+0-0\bigr)=4>0,
f_{xx}(0,0)=2+2\cdot 0=2>0.
Como D>0 e f_{xx}>0, pelo teste a conclusão é que (0,0) é um mínimo local.

Passo 6

Avaliação em (\sqrt{2},-1) (o cálculo para (-\sqrt{2},-1) é análogo porque aparece x^{2}):
1+y-x^{2}=1+(-1)-(\sqrt{2})^{2}=0-2=-2,
logo
D(\sqrt{2},-1)=4(-2)=-8<0.
Como D<0, (\sqrt{2},-1) é um ponto de sela. Pelo mesmo raciocínio, (-\sqrt{2},-1) também tem D<0 e é ponto de sela.
Portanto, classificação final dos pontos críticos:
(0,0)\\ \text{mínimo local},\qquad (\pm\sqrt{2},-1)\\ \text{pontos de sela}.í

Passo 7

Agora resolvo a parte (b): extremos absolutos na região triangular fechada com vértices (0,0), (0,2) e (1,2).
Estratégia (explicada): como a região é compacta e f é contínua, f atinge máximo e mínimo absolutos na região. Esses extremos podem ocorrer em pontos críticos no interior da região ou em pontos da fronteira. Portanto:
  • Primeiro vejo se há pontos críticos no interior da região aberta. Dos pontos críticos encontrados em \mathbb{R}^2, apenas (0,0) está dentro ou na fronteira da região; os outros dois ( (\pm\sqrt{2},-1)) não estão no primeiro quadrante nem na região. Além disso (0,0) é um vértice (pertence à fronteira), não um interior estrito. Concluo que não há pontos críticos no interior estrito do triângulo.
  • Assim preciso investigar a fronteira (três lados). Em cada lado reduzimos f a uma função de uma variável e procuramos extremos nesse intervalo fechad o.

Passo 8

Análise dos três lados da fronteira:
  1. Lado x=0, com y\in[0,2]. Substituo x=0 em f:
f(0,y)=0^{2}+y^{2}+0^{2}\cdot y+4=y^{2}+4.
É uma função de y. Em [0,2] tem derivada 2y, zero apenas em y=0. Valores nos extremos do intervalo:
f(0,0)=0+4=4,\qquad f(0,2)=4+4=8.
Logo no segmento x=0 o mínimo é 4 em (0,0) e o máximo é 8 em (0,2).
  1. Lado y=2, com x\in[0,1]. Substituo y=2:
f(x,2)=x^{2}+2^{2}+x^{2}\cdot 2+4= x^{2}+4+2x^{2}+4=3x^{2}+8.
É função de x em [0,1]. Derivada (3x^{2}+8)' = 6x, que é zero apenas em x=0. Valores nos extremos:
f(0,2)=8\quad(\text{já calculado}),\qquad f(1,2)=3\cdot 1^{2}+8=11.á
Logo neste lado o mínimo é 8 em (0,2) e o máximo é 11 em (1,2).
  1. Lado y=2x, com x\in[0,1]. Substituo y=2x:
f(x,2x)=x^{2}+(2x)^{2}+x^{2}\cdot(2x)+4= x^{2}+4x^{2}+2x^{3}+4=5x^{2}+2x^{3}+4.
Defino g(x)=5x^{2}+2x^{3}+4 em [0,1]. Derivada:
g'(x)=10x+6x^{2}=2x(5+3x).
Solução de g'(x)=0 em [0,1] é x=0 (pois 5+3x>0 para x\ge 0). Então g é crescente em (0,1] (porque g'(x)>0 para x>0). Valores nos extremos:
g(0)=4,\qquad g(1)=5+2+4=11.
Assim, no lado y=2x o mínimo é 4 em (0,0) e o máximo é 11 em (1,2).

Passo 9

Reúno todos os candidatos aos extremos absolutos (pontos críticos no interior, pontos críticos na fronteira e extremos dos intervalos das arestas). Os valores relevantes já calculados:
f(0,0)=4,\quad f(0,2)=8,\quad f(1,2)=11.
Não há outro valor maior que 11 nem menor que 4 entre os valores que encontrei nos lados. Portanto:
  • O menor valor de f na região triangular é 4, alcançado em (0,0).
  • O maior valor de f na região triangular é 11, alcançado em (1,2).

Resposta

(a) (0,0) é mínimo local; (\sqrt{2},-1) e (-\sqrt{2},-1) são pontos de sela.
(b) Extremo absoluto mínimo: \min f=4 em (0,0).
Extremo absoluto máximo: \max f=11 em (1,2).

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