Achar o comprimento da circunferência:
OBS: Usar
Passo 1
O enunciado pede o comprimento da curva dada pelas equações paramétricas
com
. Foi dado também o procedimento a usar:
Informações relevantes fornecidas:
- As expressões paramétricas de
e estão no intervalo . - A variável
é o parâmetro que aparece multiplicando seno e cosseno (na prática será o raio da circunferência se ). - Queremos calcular
, o comprimento da curva, usando a fórmula de comprimento paramétrico acima.
Passo 2
Vou explicar a fórmula que vamos usar, de forma bem didática. Se uma curva é dada por
e
para
entre
e
, o comprimento da curva é
O que isso significa:
-
é a derivada de em relação a ; mede a velocidade na direção . -
é a derivada de em relação a ; mede a velocidade na direção . - Dentro da raiz,
é o quadrado da velocidade escalar da partícula que percorre a curva. A raiz dá a velocidade escalar, e integrar essa velocidade ao longo do tempo dá o comprimento total percorrido.
Essa é a ideia física-matemática por trás da fórmula — útil para lembrar na hora da prova.
Passo 3
Agora calculamos as derivadas de
e
. Dado
as derivadas são (use a regra básica de derivação de seno e cosseno):
Aqui eu usei que
e
. Note que
é constante (parâmetro), então sai fatorado.
Passo 4
Substituímos essas derivadas dentro da raiz da fórmula de comprimento:
Agora desenvolvemos os quadrados:
Somando:
Usamos a identidade trigonométrica básica
(essa identidade vale para todo
), então
Passo 5
A raiz que aparece no integrando fica então
Explicação sobre o valor absoluto:
é sempre não negativo e igual a
. Em problemas de comprimento a resposta tem que ser não negativa. Na prática, quando
(caso usual em que
é o raio),
. Se
estiver negativo, o parâmetro apenas inverte a orientação da curva, mas o comprimento continua sendo
.
Passo 6
Agora integramos no intervalo
:
Se assumirmos
(raio positivo), isso simplifica para
. Essa é a fórmula clássica do comprimento da circunferência de raio
.
Passo 7
Comentário final de prova (dica): sempre que tiver parametrização por
com coeficiente
, a soma dos quadrados das derivadas tende a dar
por causa da identidade pitagórica
— isso torna a integral trivial. Também lembre-se do detalhe do sinal: tome
.