Achar o comprimento da circunferência:
\left\{\begin{array}{l} x=a \cos t \\\ y=a \operatorname{sen} t^{\prime} \end{array} \quad t \in[0,2 \pi]\right.
OBS: Usar s=\int_{t_{0}}^{t_{1}} \sqrt{\left[x^{\prime}(t)\right]^{2}+\left[y^{\prime}(t)\right]^{2}} d t

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva dada pelas equações paramétricas
x = a\cos t,\qquad y = a\operatorname{sen} t,
com t\in[0,2\pi]. Foi dado também o procedimento a usar:
s=\int_{t_{0}}^{t_{1}} \sqrt{\left[x^{\prime}(t)\right]^{2}+\left[y^{\prime}(t)\right]^{2}}\,dt.
Informações relevantes fornecidas:
  • As expressões paramétricas de x(t) e y(t) estão no intervalo t\in[0,2\pi].
  • A variável a é o parâmetro que aparece multiplicando seno e cosseno (na prática será o raio da circunferência se a>0).
  • Queremos calcular s, o comprimento da curva, usando a fórmula de comprimento paramétrico acima.

Passo 2

Vou explicar a fórmula que vamos usar, de forma bem didática. Se uma curva é dada por x=x(t) e y=y(t) para t entre t_0 e t_1, o comprimento da curva é
s=\int_{t_{0}}^{t_{1}} \sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\,dt.
O que isso significa:
  • x'(t) é a derivada de x em relação a t; mede a velocidade na direção x.
  • y'(t) é a derivada de y em relação a t; mede a velocidade na direção y.
  • Dentro da raiz, \bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2} é o quadrado da velocidade escalar da partícula que percorre a curva. A raiz dá a velocidade escalar, e integrar essa velocidade ao longo do tempo dá o comprimento total percorrido.
    Essa é a ideia física-matemática por trás da fórmula — útil para lembrar na hora da prova.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de x(t) e y(t). Dado
x(t)=a\cos t,\qquad y(t)=a\operatorname{sen} t,
as derivadas são (use a regra básica de derivação de seno e cosseno):
x'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(a\cos t\bigr) = -a\sin t,
y'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(a\operatorname{sen} t\bigr) = a\cos t.
Aqui eu usei que \frac{d}{dt}\cos t = -\sin t e \frac{d}{dt}\sin t = \cos t. Note que a é constante (parâmetro), então sai fatorado.

Passo 4

Substituímos essas derivadas dentro da raiz da fórmula de comprimento:
\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2} = (-a\sin t)^{2} + (a\cos t)^{2}.
Agora desenvolvemos os quadrados:
(-a\sin t)^{2} = a^{2}\sin^{2}t,\qquad (a\cos t)^{2}=a^{2}\cos^{2}t.
Somando:
a^{2}\sin^{2}t+a^{2}\cos^{2}t = a^{2}\bigl(\sin^{2}t+\cos^{2}t\bigr).
Usamos a identidade trigonométrica básica \sin^{2}t+\cos^{2}t=1 (essa identidade vale para todo t), então
\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2} = a^{2}\cdot 1 = a^{2}.

Passo 5

A raiz que aparece no integrando fica então
\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}=\sqrt{a^{2}} = |a|.
Explicação sobre o valor absoluto: \sqrt{a^{2}} é sempre não negativo e igual a |a|. Em problemas de comprimento a resposta tem que ser não negativa. Na prática, quando a>0 (caso usual em que a é o raio), |a|=a. Se a estiver negativo, o parâmetro apenas inverte a orientação da curva, mas o comprimento continua sendo 2\pi|a|.

Passo 6

Agora integramos no intervalo t\in[0,2\pi]:
s=\int_{0}^{2\pi} |a|\,dt = |a|\int_{0}^{2\pi} dt = |a|\bigl(2\pi-0\bigr)=2\pi|a|.
Se assumirmos a>0 (raio positivo), isso simplifica para s=2\pi a. Essa é a fórmula clássica do comprimento da circunferência de raio a.

Passo 7

Comentário final de prova (dica): sempre que tiver parametrização por \cos t,\sin t com coeficiente a, a soma dos quadrados das derivadas tende a dar a^{2} por causa da identidade pitagórica \sin^{2}+\cos^{2}=1 — isso torna a integral trivial. Também lembre-se do detalhe do sinal: tome \sqrt{a^{2}}=|a|.

Resposta

2\pi|a|

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