a) Determine a taxa de variação de f no ponto P(1,-1) na direção do ponto Q(4,2).
b) Em que direção f tem a máxima taxa de variação no ponto P(1,-1) ? Qual é o valor máximo dessa máxima taxa de variação?
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x,y)=3x^{2}y-e^{y}
e os pontos P(1,-1) e Q(4,2). Pergunta-se:
(a) qual é a taxa de variação de f no ponto P na direção do ponto Q;
(b) em que direção f tem a máxima taxa de variação em P e qual é o valor dessa máxima taxa de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa "taxa de variação de f no ponto P na direção de Q". A taxa de variação direcionada na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é dada pelo produto escalar entre o gradiente de f em P e \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}.
Aqui:
\nabla f(P) é o vetor gradiente de f avaliado em P; ele reúne as derivadas parciais de f e aponta na direção de maior aumento de f.
\mathbf{u} deve ser um vetor unitário (isto é, com norma igual a 1) que indica a direção em que queremos medir a taxa de variação.
Explicando de forma bem prática: para calcular a taxa de variação na direção de Q partimos do vetor \overrightarrow{PQ}, normalizamos ele para ficar com comprimento 1 e então fazemos o produto escalar com o gradiente em P.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de f. Usamos regras básicas de derivação: regra do produto e derivada da função exponencial.
Interpretação rápida: esse valor é negativo, então ao mover-se de P na direção de Q a função f está diminuindo.
Passo 6
Agora a parte (b): em que direção f tem a máxima taxa de variação em P e qual é o valor máximo.
Usamos a identidade do produto escalar escrita em termos de ângulo \theta entre \nabla f(P) e \mathbf{u}:
Como \|\mathbf{u}\|=1, esse valor é maximizado quando \cos\theta=1, isto é, quando \mathbf{u} tem a mesma direção do gradiente \nabla f(P). Logo:
a direção de máxima taxa de variação em P é a direção do vetor \nabla f(1,-1)=\bigl(-6,\;3-e^{-1}\bigr). Normalizando, um vetor unitário nessa direção é