Questão 2

Considere a função
f(x, y)=3 x^{2} y-e^{y}
a) Determine a taxa de variação de f no ponto P(1,-1) na direção do ponto Q(4,2).
b) Em que direção f tem a máxima taxa de variação no ponto P(1,-1) ? Qual é o valor máximo dessa máxima taxa de variação?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=3x^{2}y-e^{y}
e os pontos P(1,-1) e Q(4,2). Pergunta-se:
(a) qual é a taxa de variação de f no ponto P na direção do ponto Q;
(b) em que direção f tem a máxima taxa de variação em P e qual é o valor dessa máxima taxa de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa "taxa de variação de f no ponto P na direção de Q". A taxa de variação direcionada na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é dada pelo produto escalar entre o gradiente de f em P e \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}.
Aqui:
  • \nabla f(P) é o vetor gradiente de f avaliado em P; ele reúne as derivadas parciais de f e aponta na direção de maior aumento de f.
  • \mathbf{u} deve ser um vetor unitário (isto é, com norma igual a 1) que indica a direção em que queremos medir a taxa de variação.
    Explicando de forma bem prática: para calcular a taxa de variação na direção de Q partimos do vetor \overrightarrow{PQ}, normalizamos ele para ficar com comprimento 1 e então fazemos o produto escalar com o gradiente em P.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de f. Usamos regras básicas de derivação: regra do produto e derivada da função exponencial.
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=6xy,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=3x^{2}-e^{y}.
Agora avaliamos essas derivadas no ponto P(1,-1):
\frac{\partial f}{\partial x}(1,-1)=6\cdot 1\cdot(-1)=-6,
\frac{\partial f}{\partial y}(1,-1)=3\cdot 1^{2}-e^{-1}=3-e^{-1}.
Portanto o gradiente em P é
\nabla f(1,-1)=\bigl(-6,\;3-e^{-1}\bigr).

Passo 4

Agora encontramos a direção de P para Q. O vetor que vai de P a Q é
\overrightarrow{PQ}=(4-1,\;2-(-1))=(3,3).
Precisamos do vetor unitário nessa direção. A norma de \overrightarrow{PQ} é
\|\overrightarrow{PQ}\|=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}.
Então o vetor unitário na direção de Q é
\mathbf{u}=\frac{\overrightarrow{PQ}}{\|\overrightarrow{PQ}\|}=\left(\frac{3}{3\sqrt{2}},\frac{3}{3\sqrt{2}}\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right).

Passo 5

Calculemos a taxa de variação de f em P na direção de Q usando o produto escalar:
D_{\mathbf{u}}f(1,-1)=\nabla f(1,-1)\cdot\mathbf{u}.
Substituindo os vetores:
D_{\mathbf{u}}f(1,-1)=\bigl(-6,\;3-e^{-1}\bigr)\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Fazendo o produto escalar (cada componente multiplicada e somada):
D_{\mathbf{u}}f(1,-1)=\frac{-6}{\sqrt{2}}+\frac{3-e^{-1}}{\sqrt{2}}=\frac{-6+3-e^{-1}}{\sqrt{2}}=\frac{-3-e^{-1}}{\sqrt{2}}.
Interpretação rápida: esse valor é negativo, então ao mover-se de P na direção de Q a função f está diminuindo.

Passo 6

Agora a parte (b): em que direção f tem a máxima taxa de variação em P e qual é o valor máximo.
Usamos a identidade do produto escalar escrita em termos de ângulo \theta entre \nabla f(P) e \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}=\|\nabla f(P)\|\,\|\mathbf{u}\|\,\cos\theta.
Como \|\mathbf{u}\|=1, esse valor é maximizado quando \cos\theta=1, isto é, quando \mathbf{u} tem a mesma direção do gradiente \nabla f(P). Logo:
  • a direção de máxima taxa de variação em P é a direção do vetor \nabla f(1,-1)=\bigl(-6,\;3-e^{-1}\bigr). Normalizando, um vetor unitário nessa direção é
\mathbf{u}_{\text{máx}}=\frac{\nabla f(1,-1)}{\|\nabla f(1,-1)\|}=\frac{1}{\sqrt{(-6)^{2}+(3-e^{-1})^{2}}}\bigl(-6,\;3-e^{-1}\bigr).á
  • o valor máximo da taxa de variação é a norma do gradiente em P:
\|\nabla f(1,-1)\|=\sqrt{(-6)^{2}+(3-e^{-1})^{2}}=\sqrt{36+(3-e^{-1})^{2}}.
Se você quiser expandir o quadrado:
(3-e^{-1})^{2}=9-6e^{-1}+e^{-2},
portanto
\|\nabla f(1,-1)\|=\sqrt{36+9-6e^{-1}+e^{-2}}=\sqrt{45-6e^{-1}+e^{-2}}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{-3-e^{-1}}{\sqrt{2}}
(b) direção de máxima variação: \displaystyle \nabla f(1,-1)=\bigl(-6,\;3-e^{-1}\bigr) (vetor unitário \displaystyle \frac{1}{\sqrt{36+(3-e^{-1})^{2}}}\bigl(-6,\;3-e^{-1}\bigr)); valor máximo: \displaystyle \sqrt{36+(3-e^{-1})^{2}}.

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