Questão 4 (3 pts)
Dado
considere a equação diferencial
(1) Aplique o método de resolução por séries de potências para mostrar que existem valores de
para os quais há soluções polinomiais da equação. Quais são estes valores ?
(2) Exiba os valores de
tais que existem polinômios com graus diferentes menores ou iguais a 3 que são soluções das equaçõoes diferenciais
Dado
(2) Exiba os valores de
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com
, e pede duas coisas:
- Mostrar, por séries de potências, que existem valores de
para os quais a equação tem soluções que são polinômios e determinar quais são esses valores. - Especificar os valores de
tais que existam polinômios de grau diferente e menor ou igual a que sejam soluções dessa equação (isto é, dar os para graus e, se possível, os polinômios).
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a equação linear de segunda ordem com coeficientes polinomiais em
e parâmetro real
. O objetivo é usar método de séries de potências em torno de
.
Passo 2
Vamos assumir uma solução em série de potências centrada em
:
onde
são constantes a determinar. Explico por que esse ansatz é natural:
é um ponto ordinário porque o coeficiente de
é
que vale
em
(não se anula), logo soluções analíticas existem e podem ser procuradas por séries de potências. Calculamos as derivadas necessárias (tudo em séries centradas em
):
Passo 3
Substituímos as séries na equação
Primeiro escrevemos cada termo em série na mesma potência
.
Para
temos
Para
temos, após recolocar potência
,
E para
é simplesmente
Somando todos os termos e igualando coeficientes de
a zero, para cada
obtemos a condição
Passo 4
Simplificamos a combinação de termos em
. Note que
. Assim a relação se torna, para todo
,
ou isolando
,
Essa é a recorrência fundamental. Observe duas coisas importantes e didáticas:
- A recorrência liga coeficientes de mesma paridade:
gera (a solução par) e gera (a solução ímpar). Assim há duas séries independentes correspondendo a duas constantes de integração e . - Para termos um polinômio, uma dessas séries deve truncar: isto ocorre se em algum passo o numerador
for zero para algum , porque então e a recorrência continua produzindo zeros subsequentes na mesma subsequência, terminando a série naquela paridade.
Passo 5
Analisando a condição de truncamento: se houver um inteiro
tal que
então
, ou seja
. Portanto, quando
a sequência de coeficientes da mesma paridade de
termina e fornece uma solução polinomial de grau
. Em termos práticos e convencionais podemos tomar
com
(notando que
dá a mesma equação porque aparece
). Conclusão clara e concreta:
- Existem soluções polinomiais exatamente quando
para algum inteiro , isto é, quando com . Essas soluções são os polinômios de Chebyshev da primeira espécie (uma solução polinomial de grau aparece na paridade correta).
Passo 6
Agora respondendo a parte (2): listar os valores de
que dão polinômios de grau
e exibir polinômios correspondentes (graus
).
Pelo resultado anterior os graus possíveis aparecem para
(ou
, mas isto é redundante porque só
importa). Vamos exibir uma solução polinomial para cada caso (são, de fato, os polinômios de Chebyshev
).
- Grau
, . Uma solução polinomial é a constante
Verificação rápida:
e a equação torna-se
.
- Grau
, . Uma solução polinomial é
Verificação rápida:
; na equação temos
.
- Grau
, . Uma solução polinomial é
Verificação (rápida):
. Substituindo dá zero (padrão de
).
- Grau
, . Uma solução polinomial é
Verificação (rápida):
; substituindo também cancela e dá zero (padrão de
).
Esses polinômios são justamente os polinômios de Chebyshev da primeira espécie
, que satisfazem