Questão 4 (3 pts)
Dado p \in \mathbb{R} considere a equação diferencial
\left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+p^{2} y=0
(1) Aplique o método de resolução por séries de potências para mostrar que existem valores de p para os quais há soluções polinomiais da equação. Quais são estes valores ?
(2) Exiba os valores de p tais que existem polinômios com graus diferentes menores ou iguais a 3 que são soluções das equaçõoes diferenciais
\left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+p^{2} y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(1-x^{2}\right)y''-x y'+p^{2}y=0,
com p\in\mathbb{R}, e pede duas coisas:
  1. Mostrar, por séries de potências, que existem valores de p para os quais a equação tem soluções que são polinômios e determinar quais são esses valores.
  2. Especificar os valores de p tais que existam polinômios de grau diferente e menor ou igual a 3 que sejam soluções dessa equação (isto é, dar os p para graus 0,1,2,3 e, se possível, os polinômios).
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a equação linear de segunda ordem com coeficientes polinomiais em x e parâmetro real p. O objetivo é usar método de séries de potências em torno de x=0.

Passo 2

Vamos assumir uma solução em série de potências centrada em x=0:
y(x)=\sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k,
onde a_0,a_1,\dots são constantes a determinar. Explico por que esse ansatz é natural: x=0 é um ponto ordinário porque o coeficiente de y'' é 1-x^2 que vale 1 em x=0 (não se anula), logo soluções analíticas existem e podem ser procuradas por séries de potências. Calculamos as derivadas necessárias (tudo em séries centradas em 0):
y'(x)=\sum_{k=1}^{\infty} k a_k x^{k-1}=\sum_{k=0}^{\infty} (k+1)a_{k+1}x^{k},
y''(x)=\sum_{k=2}^{\infty} k(k-1)a_k x^{k-2}=\sum_{k=0}^{\infty} (k+2)(k+1)a_{k+2}x^{k}.

Passo 3

Substituímos as séries na equação
(1-x^2)y''-x y'+p^2 y=0.
Primeiro escrevemos cada termo em série na mesma potência x^k.
Para (1-x^2)y'' temos
(1-x^2)y''=\sum_{k=0}^{\infty}(k+2)(k+1)a_{k+2}x^{k} -\sum_{k=2}^{\infty}k(k-1)a_k x^{k}.
Para -x y' temos, após recolocar potência x^k,
- x y' = -\sum_{k=1}^{\infty} k a_k x^{k}.
E para p^2 y é simplesmente
p^2 y = \sum_{k=0}^{\infty} p^2 a_k x^k.
Somando todos os termos e igualando coeficientes de x^k a zero, para cada k\ge 0 obtemos a condição
(k+2)(k+1)a_{k+2} - k(k-1)a_k - k a_k + p^2 a_k = 0.

Passo 4

Simplificamos a combinação de termos em a_k. Note que -k(k-1)-k=-k^2. Assim a relação se torna, para todo k\ge 0,
(k+2)(k+1)a_{k+2} +(-k^2 + p^2)a_k = 0,
ou isolando a_{k+2},
\boxed{a_{k+2}=\frac{k^2-p^2}{(k+2)(k+1)}\,a_k.}
Essa é a recorrência fundamental. Observe duas coisas importantes e didáticas:
  • A recorrência liga coeficientes de mesma paridade: a_{0} gera a_2,a_4,\dots (a solução par) e a_{1} gera a_3,a_5,\dots (a solução ímpar). Assim há duas séries independentes correspondendo a duas constantes de integração a_0 e a_1.
  • Para termos um polinômio, uma dessas séries deve truncar: isto ocorre se em algum passo o numerador k^2-p^2 for zero para algum k=n, porque então a_{n+2}=0 e a recorrência continua produzindo zeros subsequentes na mesma subsequência, terminando a série naquela paridade.

Passo 5

Analisando a condição de truncamento: se houver um inteiro n\ge 0 tal que
k=n \quad\text{e}\quad n^2-p^2=0,
então p^2=n^2, ou seja p=\pm n. Portanto, quando p^2=n^2 a sequência de coeficientes da mesma paridade de n termina e fornece uma solução polinomial de grau n. Em termos práticos e convencionais podemos tomar p=n com n\in\{0,1,2,\dots\} (notando que p=-n dá a mesma equação porque aparece p^2). Conclusão clara e concreta:
  • Existem soluções polinomiais exatamente quando p^2=n^2 para algum inteiro n\ge 0, isto é, quando p=\pm n com n\in\mathbb{N}_0. Essas soluções são os polinômios de Chebyshev da primeira espécie T_n(x) (uma solução polinomial de grau n aparece na paridade correta).

Passo 6

Agora respondendo a parte (2): listar os valores de p que dão polinômios de grau \le 3 e exibir polinômios correspondentes (graus 0,1,2,3).
Pelo resultado anterior os graus possíveis aparecem para p=0,1,2,3 (ou p=-0,-1,-2,-3, mas isto é redundante porque só p^2 importa). Vamos exibir uma solução polinomial para cada caso (são, de fato, os polinômios de Chebyshev T_n).
  • Grau 0, p=0. Uma solução polinomial é a constante
y(x)=1.
Verificação rápida: y'=0, y''=0 e a equação torna-se 0-0+0=0.
  • Grau 1, p=1. Uma solução polinomial é
y(x)=x.
Verificação rápida: y'=1, y''=0; na equação temos (1-x^2)\cdot 0 - x\cdot 1 +1^2\cdot x = -x + x =0.
  • Grau 2, p=2. Uma solução polinomial é
y(x)=2x^{2}-1.
Verificação (rápida): y'=4x, y''=4. Substituindo dá zero (padrão de T_2).
  • Grau 3, p=3. Uma solução polinomial é
y(x)=4x^{3}-3x.
Verificação (rápida): y'=12x^{2}-3, y''=24x; substituindo também cancela e dá zero (padrão de T_3).
Esses polinômios são justamente os polinômios de Chebyshev da primeira espécie T_n(x), que satisfazem
(1-x^2)T_n''-x T_n' + n^2 T_n = 0.

Resposta

p=\pm n com n\in\{0,1,2,\dots\} (ou seja, p^2=n^2).
p=0: y(x)=1.
p=1: y(x)=x.
p=2: y(x)=2x^{2}-1.
p=3: y(x)=4x^{3}-3x.

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