Questão: Considere no
(\mathbb{R}^{3}) o ponto P=(-2,1,4) e os vetores \overrightarrow{v_{1}}=(1,0,-2) e \overrightarrow{v_{2}}=(0,2,-1).
Determine equações paramétricas para a reta r que passa pelo ponto P e é paralela ao vetor \overrightarrow{v_{1}}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Ponto P = (-2,1,4).
  • Vetores \overrightarrow{v_{1}}=(1,0,-2) e \overrightarrow{v_{2}}=(0,2,-1).
    O que o exercício pede:
  • Determinar equações paramétricas para a reta r que passa por P e é paralela ao vetor \overrightarrow{v_{1}}.

Passo 2

Ideia chave (explicação didática): uma reta em \mathbb{R}^{3} pode ser representada na forma vetorial
\vec{r}(t)=\vec{r_{0}}+t\vec{v},
onde:
  • \vec{r}(t) é o vetor posição de um ponto genérico da reta, função do parâmetro t.
  • \vec{r_{0}} é o vetor posição de um ponto conhecido da reta (aqui, o ponto P).
  • \vec{v} é um vetor de direção da reta (qualquer vetor paralelo à reta; aqui usamos \overrightarrow{v_{1}}).
  • t\in\mathbb{R} é o parâmetro real que “varre” a reta: para cada valor de t obtemos um ponto da reta.
    Explicando com calma: somar \vec{r_{0}} com t\vec{v} desloca o ponto inicial ao longo da direção \vec{v}; t=0 dá o ponto P, t=1 P+\vec{v}, etc.

Passo 3

Escrever os vetores dados em forma de vetor posição. O vetor posição de P é
\vec{r_{0}} = (-2,1,4).
O vetor de direção escolhido (paralelo à reta) é \vec{v}=\overrightarrow{v_{1}}=(1,0,-2).
Então a equação vetorial da reta é
\vec{r}(t)=(-2,1,4)+t(1,0,-2).

Passo 4

Converter a equação vetorial em equações paramétricas por componentes:
a soma de vetores componente a componente dá
\vec{r}(t)=(-2+t,\;1+0\cdot t,\;4-2t).
Portanto as equações paramétricas são
x=-2+t,
y=1,
z=4-2t,
com t\in\mathbb{R}.

Passo 5

Interpretação prática e dica de prova: essas equações significam que a coordenada y é constante igual a 1 ao longo da reta (porque o vetor direção tem componente y nula). Se precisar testar, escolha valores de t: para t=0 obtém-se o ponto P=(-2,1,4) (verificação), para t=1 obtém-se (-1,1,2) que é P+\overrightarrow{v_{1}}. Outra forma equivalente (útil às vezes) é a forma simétrica: como a componente y da direção é zero, escreve-se
y=1,\qquad \frac{x+2}{1}=\frac{z-4}{-2},
ou simplesmente
y=1,\qquad x+2 = -\tfrac{1}{2}(z-4).

Resposta

x=-2+t
y=1
z=4-2t, com t\in\mathbb{R}

Exercícios relacionados