Considere o subespaço W=\{(a+c, b+c, a+b+2 c) ; a, b, c \in \mathbb{R}\} de \mathbb{R}^{3}. Encontre um conjunto de geradores e uma base para W.
Resp.: Comece assim:
(a+c, b+c, a+b+2 c)=a(1,0,1)+b(0,1,1)+c(1,1,2)
\operatorname{logo} \vec{v}_{1}=(1,0,1), \vec{v}_{2}=(0,1,1) e \vec{v}_{3}=(1,1,2) geram o subespaço. Deve-se verificar se é l.i ou não, para isso verifique
Explicando a ideia: dizer que esses vetores geram W significa que qualquer elemento de W pode ser escrito como combinação linear desses vetores. A igualdade do enunciado já mostra exatamente isso:
Resolvendo o sistema: das duas primeiras equações obtemos
\alpha_1=-\alpha_3,\qquad \alpha_2=-\alpha_3.
Substituindo na terceira equação:
(-\alpha_3)+(-\alpha_3)+2\alpha_3=0,
ou seja 0=0, que é sempre verdade. Isso mostra que existe uma família infinita de soluções parametrizadas por \alpha_3. Em particular, tomando \alpha_3=1 obtemos \alpha_1=-1,\\ \alpha_2=-1, portanto
Conclusão: \{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\} é linearmente dependente, pois há relação linear não trivial entre eles.
Passo 5
Como \vec{v}_3=\vec{v}_1+\vec{v}_2, qualquer combinação envolvendo \vec{v}_3 pode ser reescrita em termos de \vec{v}_1 e \vec{v}_2. Mostro que \vec{v}_1 e \vec{v}_2 são linearmente independentes: suponha
\beta_1\vec{v}_1+\beta_2\vec{v}_2=\vec{0}.
Escrevendo em componentes,
(\beta_1,\;\beta_2,\;\beta_1+\beta_2)=(0,0,0).
Das duas primeiras componentes segue \beta_1=0 e \beta_2=0. Portanto a única solução é trivial, logo \{\vec{v}_1,\vec{v}_2\} é l.i.
Passo 6
Mostro que \{\vec{v}_1,\vec{v}_2\} gera W. Seja um vetor arbitrário de W,
Portanto qualquer vetor de W é combinação linear de \vec{v}_1 e \vec{v}_2. Como já provamos que esses dois vetores são l.i., \{\vec{v}_1,\vec{v}_2\} é uma base de W.