Considere o subespaço W=\{(a+c, b+c, a+b+2 c) ; a, b, c \in \mathbb{R}\} de \mathbb{R}^{3}. Encontre um conjunto de geradores e uma base para W.
Resp.: Comece assim:
(a+c, b+c, a+b+2 c)=a(1,0,1)+b(0,1,1)+c(1,1,2)
\operatorname{logo} \vec{v}_{1}=(1,0,1), \vec{v}_{2}=(0,1,1) e \vec{v}_{3}=(1,1,2) geram o subespaço. Deve-se verificar se é l.i ou não, para isso verifique
\alpha_{1} \vec{v}_{1}+\alpha_{2} \vec{v}_{2}+\alpha_{3} \vec{v}_{3}=0

Passo 1

O enunciado dá o subespaço
W=\{(a+c,\; b+c,\; a+b+2c)\; ;\; a,b,c\in\mathbb{R}\}
e pede dois objetos:
  • um conjunto de geradores de W;
  • uma base de W (ou seja, um subconjunto de geradores que seja linearmente independente).
Informações relevantes fornecidas:
  • os parâmetros a,b,c variam livremente em \mathbb{R};
  • foi sugerida a decomposição inicial
(a+c,\; b+c,\; a+b+2c)=a(1,0,1)+b(0,1,1)+c(1,1,2).

Passo 2

A partir da decomposição dada, defino os vetores
\vec{v}_1=(1,0,1),\qquad \vec{v}_2=(0,1,1),\qquad \vec{v}_3=(1,1,2).
Explicando a ideia: dizer que esses vetores geram W significa que qualquer elemento de W pode ser escrito como combinação linear desses vetores. A igualdade do enunciado já mostra exatamente isso:
(a+c,\; b+c,\; a+b+2c)=a\vec{v}_1+b\vec{v}_2+c\vec{v}_3.
Portanto \{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\} é um conjunto de geradores de W.

Passo 3

Agora precisamos verificar se \{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\} é linearmente independente ou não. Para isso, consideramos a combinação linear nula
\alpha_1\vec{v}_1+\alpha_2\vec{v}_2+\alpha_3\vec{v}_3=\vec{0}
e escrevemos componente a componente. Substituindo os vetores:
\alpha_1(1,0,1)+\alpha_2(0,1,1)+\alpha_3(1,1,2)=(0,0,0).
Isso dá o sistema (componentes correspondentes):
\begin{cases} \alpha_1+\alpha_3=0,\\[4pt] \alpha_2+\alpha_3=0,\\[4pt] \alpha_1+\alpha_2+2\alpha_3=0. \end{cases}]

Passo 4

Resolvendo o sistema: das duas primeiras equações obtemos
\alpha_1=-\alpha_3,\qquad \alpha_2=-\alpha_3.
Substituindo na terceira equação:
(-\alpha_3)+(-\alpha_3)+2\alpha_3=0,
ou seja 0=0, que é sempre verdade. Isso mostra que existe uma família infinita de soluções parametrizadas por \alpha_3. Em particular, tomando \alpha_3=1 obtemos \alpha_1=-1,\\ \alpha_2=-1, portanto
-1\cdot\vec{v}_1-1\cdot\vec{v}_2+1\cdot\vec{v}_3=\vec{0},
ou equivalentemente
\vec{v}_3=\vec{v}_1+\vec{v}_2.
Conclusão: \{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\} é linearmente dependente, pois há relação linear não trivial entre eles.

Passo 5

Como \vec{v}_3=\vec{v}_1+\vec{v}_2, qualquer combinação envolvendo \vec{v}_3 pode ser reescrita em termos de \vec{v}_1 e \vec{v}_2. Mostro que \vec{v}_1 e \vec{v}_2 são linearmente independentes: suponha
\beta_1\vec{v}_1+\beta_2\vec{v}_2=\vec{0}.
Escrevendo em componentes,
(\beta_1,\;\beta_2,\;\beta_1+\beta_2)=(0,0,0).
Das duas primeiras componentes segue \beta_1=0 e \beta_2=0. Portanto a única solução é trivial, logo \{\vec{v}_1,\vec{v}_2\} é l.i.

Passo 6

Mostro que \{\vec{v}_1,\vec{v}_2\} gera W. Seja um vetor arbitrário de W,
(a+c,\; b+c,\; a+b+2c)=a\vec{v}_1+b\vec{v}_2+c\vec{v}_3.
Usando \vec{v}_3=\vec{v}_1+\vec{v}_2,
a\vec{v}_1+b\vec{v}_2+c\vec{v}_3 = a\vec{v}_1+b\vec{v}_2+c(\vec{v}_1+\vec{v}_2) =(a+c)\vec{v}_1+(b+c)\vec{v}_2.
Portanto qualquer vetor de W é combinação linear de \vec{v}_1 e \vec{v}_2. Como já provamos que esses dois vetores são l.i., \{\vec{v}_1,\vec{v}_2\} é uma base de W.

Resposta

Geradores: \{(1,0,1),(0,1,1),(1,1,2)\}
Base: \{(1,0,1),(0,1,1)\}

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