a) Obtenha o sistema linearizado considerando que u_{e q}=2;
b) Calcule a Função de Transferência do sistema G(s)=\frac{\Delta Y(s)}{\Delta U(s)};
c) Calcule os polos dos sistema (use 3 algarismos significativos). Com base nos polos o sistema é não amortecido, subamortecido, criticamente amortecido ou sobreamortecido? Justifique.
d) Calcule a resposta do sistema a uma entrada de degrau unitário (U(s)=1 / s), usando frações parciais.
(b) A função de transferência G(s)=\dfrac{\Delta Y(s)}{\Delta U(s)} do sistema linearizado (pequenas variações \Delta).
(c) Os polos do sistema (usar 3 algarismos significativos) e, a partir deles, classificar se o sistema é não amortecido, subamortecido, criticamente amortecido ou sobreamortecido, com justificativa.
(d) A resposta do sistema à entrada degrau unitário U(s)=1/s, usando frações parciais.
Informações relevantes fornecidas:
A EDO completa acima.
O ponto de equilíbrio do atuador é u_{eq}=2.
Vamos trabalhar com variações pequenas em torno do ponto de equilíbrio (linearização clássica).
Passo 2
Primeiro encontramos o ponto de equilíbrio correspondente a u_{eq}=2. Num equilíbrio todas as derivadas temporais são zero, então substituímos y''=0 e y'=0 na EDO:
0 - (1-y_{eq}^{2})\cdot 0 + y_{eq} = u_{eq}^{2}.
Isso simplifica para
y_{eq} = u_{eq}^{2}.
Com u_{eq}=2 obtemos
y_{eq}=2^{2}=4.
Portanto o ponto de operação é (y_{eq},y'_{eq})=(4,0) com u_{eq}=2.
Passo 3
Agora escrevemos o sistema não-linear em forma de espaço de estados, escolhendo as variáveis de estado
Explico rapidamente o método de linearização (aula rápida): para pequenas variações em torno do ponto de equilíbrio (x_{eq},u_{eq}) escrevemos x=x_{eq}+\Delta x e u=u_{eq}+\Delta u e aprox. por Taylor em primeira ordem:
(Os valores entre parênteses estão arredondados a três algarismos significativos.)
Classificação do amortecimento — interpretação e justificativa:
A natureza do amortecimento (não amortecido / subamortecido / criticamente amortecido / sobreamortecido) depende da forma das raízes do polinômio característico:
se as raízes são complexas conjugadas (com parte real negativa) → subamortecido;
se são reais e iguais → criticamente amortecido;
se são reais e distintas → sobreamortecido;
se são puramente imaginárias → não amortecido.
Aqui as raízes são reais e distintas (discriminante >0), então, do ponto de vista da forma das raízes, o sistema é sobreamortecido (real e distinto).
Observação importante: um dos polos é positivo (s_{1}\approx 0{,}0664>0), portanto o sistema linearizado é instável (a resposta cresce exponencialmente). Mesmo sendo “sobreamortecido” na forma (raízes reais distintas), a presença de polo com sinal positivo implica instabilidade do sistema linearizado.
Passo 8
Agora calculamos a resposta ao degrau unitário. Para entrada degrau unitário consideramos \Delta U(s)=1/s. Então
Portanto a resposta no tempo (variação \Delta y(t)) é
\Delta y(t)=A + B e^{r_{1}t} + C e^{r_{2}t} = -4 + 3{,}98245\,e^{0{,}066373\,t} + 0{,}017543\,e^{-15{,}066373\,t}.
Observações finais sobre a resposta:
Como existe um termo com e^{0{,}066373 t} (expoente positivo), a resposta cresce exponencialmente e o sistema é instável.
O termo com e^{-15{,}066373 t} decai muito rapidamente; o comportamento de longo prazo é dominado pelo termo crescente e^{0{,}066373 t}, que faz a saída divergir.
(c) Polos: \displaystyle s_{1}=\frac{-15+\sqrt{229}}{2}\approx 0{,}0664,\quad s_{2}=\frac{-15-\sqrt{229}}{2}\approx -15{,}1. Classificação: sobreamortecido (raízes reais e distintas). Observação: há um polo positivo (s_{1}>0), portanto o sistema linearizado é instável.