( 25 pts) Considere o sinal retangular x(t)=1,|t| \leq 1 e 0 caso contrário. Calcule X(\omega).

Passo 1

O enunciado dá a função sinal x(t) definida por x(t)=1 para |t|\leq 1 e x(t)=0 para |t|>1. A pergunta é: calcular X(\omega), que é a transformada de Fourier de x(t).

Passo 2

Vou usar a definição padrão da transformada de Fourier no tempo contínuo (convenção usual em engenharia):
X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-j\omega t}\,dt,
onde j é a unidade imaginária ( j^2=-1) e \omega é a frequência angular. Essa definição transforma um sinal x(t) em função do tempo numa função X(\omega) no domínio da frequência.

Passo 3

Como x(t)=1 só no intervalo [-1,1] e é zero fora, a integral sobre todo o eixo reduz-se ao intervalo [-1,1]. Escrevo então:
X(\omega)=\int_{-1}^{1} 1\cdot e^{-j\omega t}\,dt=\int_{-1}^{1} e^{-j\omega t}\,dt.
Isto é simples: estamos integrando uma exponencial complexa sobre um intervalo finito.

Passo 4

Calculo a integral tratando primeiro o caso \omega\neq 0. A antiderivada de e^{-j\omega t} em relação a t é
\int e^{-j\omega t}\,dt=\frac{e^{-j\omega t}}{-j\omega},
pois ao derivar \frac{e^{-j\omega t}}{-j\omega} recuperamos e^{-j\omega t}. Assim,
X(\omega)=\left.\frac{e^{-j\omega t}}{-j\omega}\right|_{t=-1}^{t=1}=\frac{e^{-j\omega}-e^{j\omega}}{-j\omega}.

Passo 5

Agora simplifico a expressão usando a identidade de Euler para seno:
e^{j\theta}-e^{-j\theta}=2j\sin\theta.
Na nossa expressão temos e^{-j\omega}-e^{j\omega}=-\big(e^{j\omega}-e^{-j\omega}\big)=-2j\sin\omega. Substituindo em X(\omega) obtemos, para \omega\neq 0,
X(\omega)=\frac{-2j\sin\omega}{-j\omega}=2\frac{\sin\omega}{\omega}.
Repare que os j cancelam e fica uma função real.

Passo 6

Falta tratar o caso \omega=0, porque na expressão 2\frac{\sin\omega}{\omega} há uma forma indeterminada \tfrac{0}{0} em \omega=0. Calculo o limite:
\lim_{\omega\to 0}2\frac{\sin\omega}{\omega}=2\cdot \lim_{\omega\to 0}\frac{\sin\omega}{\omega}=2\cdot 1=2,
pois é um limite padrão que vale 1. Logo X(0)=2. Assim a expressão é contínua e pode ser entendida com valor 2 em \omega=0.

Passo 7

Comentário didático e útil para a prova: a transformada é uma função real e par (isto é, X(-\omega)=X(\omega)), com a forma de uma função sinc (oscila e decai como 1/|\omega|). Isso é esperado: um pulso retangular no tempo corresponde a uma função sinc na frequência. Para lembrar na prova: largura do pulso no tempo controla a largura do lóbulo principal na frequência (pulso mais largo → lóbulo principal mais estreito e vice-versa).

Resposta

X(\omega)=\begin{cases} 2\,\dfrac{\sin\omega}{\omega}, & \omega\neq 0\\[6pt] 2, & \omega=0 \end{cases}]

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