( 25 pts) Considere o sinal retangular x(t)=1,|t| \leq 1 e 0 caso contrário. Calcule X(\omega).
Passo 1
O enunciado dá a função sinal x(t) definida por x(t)=1 para |t|\leq 1 e x(t)=0 para |t|>1. A pergunta é: calcular X(\omega), que é a transformada de Fourier de x(t).
Passo 2
Vou usar a definição padrão da transformada de Fourier no tempo contínuo (convenção usual em engenharia):
onde j é a unidade imaginária (j^2=-1) e \omega é a frequência angular. Essa definição transforma um sinal x(t) em função do tempo numa função X(\omega) no domínio da frequência.
Passo 3
Como x(t)=1 só no intervalo [-1,1] e é zero fora, a integral sobre todo o eixo reduz-se ao intervalo [-1,1]. Escrevo então:
Agora simplifico a expressão usando a identidade de Euler para seno:
e^{j\theta}-e^{-j\theta}=2j\sin\theta.
Na nossa expressão temos e^{-j\omega}-e^{j\omega}=-\big(e^{j\omega}-e^{-j\omega}\big)=-2j\sin\omega. Substituindo em X(\omega) obtemos, para \omega\neq 0,
pois é um limite padrão que vale 1. Logo X(0)=2. Assim a expressão é contínua e pode ser entendida com valor 2 em \omega=0.
Passo 7
Comentário didático e útil para a prova: a transformada é uma função real e par (isto é, X(-\omega)=X(\omega)), com a forma de uma função sinc (oscila e decai como 1/|\omega|). Isso é esperado: um pulso retangular no tempo corresponde a uma função sinc na frequência. Para lembrar na prova: largura do pulso no tempo controla a largura do lóbulo principal na frequência (pulso mais largo → lóbulo principal mais estreito e vice-versa).