Para cada sistema apresentado a seguir determine a constante de tempo e o ganho em estado estacionário. Faça um esboço da resposta ao degrau para cada um dos sistemas acima.
b) G(s)=\frac{4}{s+3}
b) G(s)=\frac{4}{s+3}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para o sistema dado:
- Determinar a constante de tempo.
- Determinar o ganho em estado estacionário (ganho DC) e fazer um esboço da resposta ao degrau.
Informações fornecidas:
Vou assumir que a entrada é um degrau unitário (isto é o habitual quando se pede “resposta ao degrau”).
Passo 2
Vamos entender o tipo de sistema e as fórmulas que vamos usar (passo-a-passo e com explicação pedagógica).
- Identificação do tipo de sistema:
é uma função de transferência de primeira ordem no formato padrão
onde
e
são constantes. Aqui temos
e
.
- Definição de constante de tempo
:
Para um sistema de primeira ordem na forma, a constante de tempo é
Intuição:
é o tempo característico em que a resposta a um degrau atinge aproximadamente
do valor final. É uma medida de quão rápido o sistema responde.
- Ganho em estado estacionário (ganho DC):
O ganho em regime permanente para entrada degrau unitário é o valor final da saída quando. Duas formas de obter esse valor:
- Usando a resposta temporal (veremos abaixo) que conduz a
. - Usando o Teorema do Valor Final em frequência:
Então
(o valor de
em
) é o ganho DC.
- Resposta ao degrau (fórmula geral e como obtê-la):
Para entrada degrau unitário,
Fazendo frações parciais:
Multiplicando por
:
Tomando
dá
. Tomando
dá
.
A transformada inversa de Laplace dá
A transformada inversa de Laplace dá
Nessa expressão: o termo
é o valor final e
descreve a aproximação exponencial com taxa
.
Passo 3
Aplicando as fórmulas ao nosso caso:
- Constante de tempo:
Em valor decimal aproximado:
segundos.
- Ganho em estado estacionário:
Usandoou :
Em decimal:
.
Passo 4
Detalhes numéricos e interpretação didática da resposta ao degrau:
- Função tempo da saída para degrau unitário (já obtida):
Explicando cada termo:
-
é o valor final (ganho DC). -
decai com constante de tempo porque . - Em
: — começa em zero (não há resposta instantânea além disso). - Em
: .
- Valores de referência (úteis para o esboço):
- Em
:
Isto mostra o ponto de
do valor final:
.
- Em
segundo:
que é cerca de
do valor final (regra prática: em
já estamos perto de
).
- Interpretação prática:
A constante de tempos indica que o sistema é relativamente rápido (responde em fração de segundo). Após cerca de (≈1 s) a saída já está muito próxima do valor final .
Passo 5
Esboço da resposta ao degrau (instruções para desenhar à mão — descrição detalhada para você reproduzir na prova):
- Desenhe eixos: eixo horizontal tempo
(em segundos) e eixo vertical saída . - Trace uma linha horizontal pontilhada em
(assim você marca o valor final). - No tempo
, a saída vale . A curva sobe de forma exponencial crescente e côncava para baixo (monótona, sem oscilações). - Marque o ponto
no eixo e no eixo vertical marque (esse é o ponto em que a curva atinge ≈63,2% do valor final). - Marque também
s (que é ) com (≈95% do final). - A curva tende assintoticamente para a linha
.
Esse esboço (curva exponencial crescente que começa em
, passa por
e aproxima-se de
) é o que o examinador espera.