Para cada sistema apresentado a seguir determine a constante de tempo e o ganho em estado estacionário. Faça um esboço da resposta ao degrau para cada um dos sistemas acima.
b) G(s)=\frac{4}{s+3}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para o sistema dado:
  • Determinar a constante de tempo.
  • Determinar o ganho em estado estacionário (ganho DC) e fazer um esboço da resposta ao degrau.
Informações fornecidas:
G(s)=\frac{4}{s+3}.
Vou assumir que a entrada é um degrau unitário (isto é o habitual quando se pede “resposta ao degrau”).

Passo 2

Vamos entender o tipo de sistema e as fórmulas que vamos usar (passo-a-passo e com explicação pedagógica).
  1. Identificação do tipo de sistema:
G(s)=\frac{4}{s+3}
é uma função de transferência de primeira ordem no formato padrão
\frac{K}{s+a},
onde K e a são constantes. Aqui temos K=4 e a=3.
  1. Definição de constante de tempo \tau:
    Para um sistema de primeira ordem na forma \dfrac{K}{s+a}, a constante de tempo é
\tau = \frac{1}{a}.
Intuição: \tau é o tempo característico em que a resposta a um degrau atinge aproximadamente 63{,}2\% do valor final. É uma medida de quão rápido o sistema responde.
  1. Ganho em estado estacionário (ganho DC):
    O ganho em regime permanente para entrada degrau unitário é o valor final da saída quando t\to\infty. Duas formas de obter esse valor:
  • Usando a resposta temporal (veremos abaixo) que conduz a \displaystyle c(\infty)=\frac{K}{a}.
  • Usando o Teorema do Valor Final em frequência:
\lim_{t\to\infty} c(t)=\lim_{s\to 0} sC(s)=\lim_{s\to 0} s\left(G(s)\cdot\frac{1}{s}\right)=\lim_{s\to 0} G(s)=G(0).
Então G(0) (o valor de G(s) em s=0) é o ganho DC.
  1. Resposta ao degrau (fórmula geral e como obtê-la):
    Para entrada degrau unitário R(s)=1/s,
C(s)=G(s)\cdot\frac{1}{s}=\frac{4}{s(s+3)}.
Fazendo frações parciais:
\frac{4}{s(s+3)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+3}.
Multiplicando por s(s+3):
4 = A(s+3)+Bs.
Tomando s=0 4=3A\Rightarrow A=\frac{4}{3}. Tomando s=-3 4=-3B\Rightarrow B=-\frac{4}{3}.
A transformada inversa de Laplace dá
c(t)=A + B e^{-3t}=\frac{4}{3}\left(1-e^{-3t}\right),\qquad t\ge 0.
Nessa expressão: o termo \dfrac{4}{3} é o valor final e e^{-3t} descreve a aproximação exponencial com taxa 3.

Passo 3

Aplicando as fórmulas ao nosso caso:
  1. Constante de tempo:
\tau=\frac{1}{a}=\frac{1}{3}.
Em valor decimal aproximado: \tau\approx 0,333 segundos.
  1. Ganho em estado estacionário:
    Usando \dfrac{K}{a} ou G(0):
K_{\text{ss}}=\frac{K}{a}=\frac{4}{3}.
Em decimal: K_{\text{ss}}\approx 1,333.

Passo 4

Detalhes numéricos e interpretação didática da resposta ao degrau:
  1. Função tempo da saída para degrau unitário (já obtida):
c(t)=\frac{4}{3}\left(1-e^{-3t}\right).
Explicando cada termo:
  • \dfrac{4}{3} é o valor final (ganho DC).
  • e^{-3t} decai com constante de tempo \tau=1/3 porque e^{-3t}=e^{-t/\tau}.
  • Em t=0: c(0)=\dfrac{4}{3}(1-1)=0 — começa em zero (não há resposta instantânea além disso).
  • Em t\to\infty: c(\infty)=\dfrac{4}{3}.
  1. Valores de referência (úteis para o esboço):
  • Em t=\tau=\dfrac{1}{3}:
c\!\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{4}{3}\left(1-e^{-1}\right)=\frac{4}{3}\cdot 0{,}6321\approx 0{,}8428.
Isto mostra o ponto de 63{,}2\% do valor final: \dfrac{4}{3}\cdot 0{,}6321.
  • Em t=3\tau=1 segundo:
c(1)=\frac{4}{3}\left(1-e^{-3}\right)\approx\frac{4}{3}\cdot 0{,}9502\approx 1{,}267,
que é cerca de 95\% do valor final (regra prática: em 3\tau já estamos perto de 95\%).
  1. Interpretação prática:
    A constante de tempo \tau=0{,}333 s indica que o sistema é relativamente rápido (responde em fração de segundo). Após cerca de 3\tau (≈1 s) a saída já está muito próxima do valor final \dfrac{4}{3}.

Passo 5

Esboço da resposta ao degrau (instruções para desenhar à mão — descrição detalhada para você reproduzir na prova):
  • Desenhe eixos: eixo horizontal tempo t (em segundos) e eixo vertical saída c(t).
  • Trace uma linha horizontal pontilhada em c=\dfrac{4}{3} (assim você marca o valor final).
  • No tempo t=0, a saída vale 0. A curva sobe de forma exponencial crescente e côncava para baixo (monótona, sem oscilações).
  • Marque o ponto t=\tau=\dfrac{1}{3} no eixo t e no eixo vertical marque c\!\left(\dfrac{1}{3}\right)\approx 0{,}843 (esse é o ponto em que a curva atinge ≈63,2% do valor final).
  • Marque também t=1 s (que é 3\tau) com c(1)\approx 1{,}267 (≈95% do final).
  • A curva tende assintoticamente para a linha c=\dfrac{4}{3}.
Esse esboço (curva exponencial crescente que começa em 0, passa por (\tau,0{,}843) e aproxima-se de 4/3) é o que o examinador espera.

Resposta

\tau=\dfrac{1}{3}\\ \text{s}
K_{\text{ss}}=\dfrac{4}{3}

Exercícios relacionados