Questão 9 - Converta 0110 (código Gray) ao número binário equivalente.

Passo 1

O enunciado pede: converter o código Gray 0110 para o número binário equivalente.
Informações dadas (vou numerar os bits do mais significativo para o menos significativo):
  • Código Gray: g_3 g_2 g_1 g_0 = 0\\\ 1\\\ 1\\\ 0.
    A tarefa é encontrar os bits binários b_3 b_2 b_1 b_0 correspondentes.

Passo 2

Qual regra usamos para converter Gray → binário? Vou dar a regra prática e explicar por que ela funciona, devagarinho.
Regra prática (forma direta):
  • O bit mais significativo do binário é igual ao bit mais significativo do Gray: b_3 = g_3.
  • Cada bit binário seguinte é o XOR (ou exclusivo) entre o bit binário imediatamente à esquerda e o bit Gray correspondente: b_i = b_{i+1} \oplus g_i\quad\text{para }i=2,1,0,onde \oplus é a operação XOR.
Intuição rápida (sem mergulhar em teoria pesada): o código Gray é construído de forma que cada bit do Gray informa se há mudança entre dois bits adjacentes do binário; por isso recuperamos o binário fazendo XOR cumulativo dos bits do Gray a partir do MSB.

Passo 3

Explicando o XOR (operador \oplus) de um jeito bem simples: XOR retorna 1 quando os dois bits são diferentes e 0 quando são iguais. Tabela verdade:
\begin{array}{c c | c} x & y & x \oplus y\\hline 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 0 \end{array}

Passo 4

Agora aplicamos a regra passo a passo ao Gray g_3 g_2 g_1 g_0 = 0\\\ 1\\\ 1\\\ 0.
  1. Começa pelo MSB:
b_3 = g_3 = 0.
  1. Próximo bit:
b_2 = b_3 \oplus g_2 = 0 \oplus 1 = 1.
  1. Próximo:
b_1 = b_2 \oplus g_1 = 1 \oplus 1 = 0.
  1. Último (LSB):
b_0 = b_1 \oplus g_0 = 0 \oplus 0 = 0.

Passo 5

Juntando os bits binários obtidos:
b_3 b_2 b_1 b_0 = 0\\\ 1\\\ 0\\\ 0.
Como checagem rápida (opcional): 0100_2 em decimal é 4_{10}, então o valor é consistente com a conversão.

Passo 6

(Método alternativo — mesma coisa, só outra visão) Também dá para ver que cada bit binário é o XOR cumulativo dos bits Gray desde o MSB até aquele bit:
b_3 = g_3,\quad b_2 = g_3\oplus g_2,\quad b_1 = g_3\oplus g_2\oplus g_1,\quad b_0 = g_3\oplus g_2\oplus g_1\oplus g_0.
Aplicando aqui:
b_2 = 0\oplus1=1,\quad b_1 = 0\oplus1\oplus1=0,\quad b_0=0\oplus1\oplus1\oplus0=0,
confirma 0100.

Resposta

0100

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