Questão 3 - Dado um painel alimentado em 220 volts, sistema trifásico, com os seguintes componentes:
Potência
(CV)
Rendimento
(%)
Fator de Potência
(%)
Classe térmica
25 88 85 F
15 82 80 F
3 73 68 B
Determinar:
a) O fator de potência total do painel, a potência aparente e a corrente de linha requerida do transformador de força que alimenta esse painel;
b) Considerando os dados do motor de 25 cv , ligado em triângulo, determine a resistência ôhmica entre fases, referida a 20^{\circ} \mathrm{C}, para a ligação triângulo se as perdas no enrolamento estatórico representam 35 \% das perdas totais na temperatura de serviço de 115^{\circ} \mathrm{C};

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei todos da tabela do enunciado):
  • Tensão de alimentação (linha a linha): V_{LL}=220\\ \text{V} (sistema trifásico).
  • Conversão adotada: 1\\ \text{CV}=736\\ \text{W} (valor aproximado padrão).
  • Motores (cada linha: potência em CV, rendimento \eta, fator de potência \mathrm{pf}):
    • Motor 1: 25\\ \text{CV}, \eta=88\%, \mathrm{pf}=85\%.
    • Motor 2: 15\\ \text{CV}, \eta=82\%, \mathrm{pf}=80\%.
    • Motor 3: 3\\ \text{CV}, \eta=73\%, \mathrm{pf}=68\%.
O enunciado pede:
(a) o fator de potência total do painel, a potência aparente total e a corrente de linha requerida do transformador que alimenta esse painel;
(b) para o motor de 25\\ \text{CV} ligado em triângulo, a resistência ôhmica entre fases referida a 20^\circ\mathrm{C}, sabendo que as perdas no enrolamento estatórico representam 35\% das perdas totais à temperatura de serviço 115^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Transformar potências em CV para potência mecânica e calcular a potência elétrica de entrada (ativa) de cada motor.
Fórmula usada:
  • Potência mecânica de saída: P_{\text{out}}(\text{W}) = (\text{CV})\times736.
  • Potência elétrica de entrada (ativa): P_{\text{in}} = \dfrac{P_{\text{out}}}{\eta}, onde \eta é decimal ( 88\%\to0,88, etc.).
Cálculos:
\begin{aligned} P_{\text{out},1} &= 25\cdot736 = 18400\\ \text{W},\\\ P_{\text{in},1} &= \dfrac{18400}{0,88}=20909{,}0909\\ \text{W}\approx20{,}909\\ \text{kW}. \end{aligned}
\begin{aligned} P_{\text{out},2} &= 15\cdot736 = 11040\\ \text{W},\\\ P_{\text{in},2} &= \dfrac{11040}{0,82}=13463{,}4146\\ \text{W}\approx13{,}463\\ \text{kW}. \end{aligned}
\begin{aligned} P_{\text{out},3} &= 3\cdot736 = 2208\\ \text{W},\\\ P_{\text{in},3} &= \dfrac{2208}{0,73}=3024{,}6575\\ \text{W}\approx3{,}025\\ \text{kW}. \end{aligned}
Soma das potências ativas:
P_{\text{tot}}=P_{\text{in},1}+P_{\text{in},2}+P_{\text{in},3}=20909{,}09+13463{,}41+3024{,}66\approx37397{,}16\\ \text{W}.

Passo 3

Calcular as potências aparentes e reativas de cada motor (explicando as fórmulas).
Conceitos e fórmulas:
  • Fator de potência: \mathrm{pf}=\cos\varphi (ângulo entre tensão e corrente).
  • Potência aparente por motor: S=\dfrac{P}{\mathrm{pf}}.
  • Potência reativa por motor: Q=P\tan\varphi, com \tan\varphi=\sqrt{\dfrac{1}{\mathrm{pf}^2}-1}.
    Aqui P é a potência ativa de entrada P_{\text{in}}.
Cálculos por motor:
Motor 1 ( \mathrm{pf}_1=0,85):
S_1=\dfrac{20909{,}0909}{0,85}=24599{,}0\\ \text{VA}\approx24{,}599\\ \text{kVA}.
\tan\varphi_1=\sqrt{\dfrac{1}{0,85^{2}}-1}\approx0{,}6199,\qquad Q_1=P_{\text{in},1}\tan\varphi_1\approx20909{,}09\cdot0{,}6199\approx12967\\ \text{var}.
Motor 2 ( \mathrm{pf}_2=0,80):
S_2=\dfrac{13463{,}4146}{0,80}=16829{,}27\\ \text{VA}\approx16{,}829\\ \text{kVA}.
\tan\varphi_2=\sqrt{\dfrac{1}{0,80^{2}}-1}=\sqrt{1{,}5625-1}=0{,}75,\qquad Q_2=13463{,}41\cdot0{,}75\approx10097{,}56\\ \text{var}.
Motor 3 ( \mathrm{pf}_3=0,68):
S_3=\dfrac{3024{,}6575}{0,68}\approx4448{,}0\\ \text{VA}\approx4{,}448\\ \text{kVA}.
\tan\varphi_3=\sqrt{\dfrac{1}{0,68^{2}}-1}\approx1{,}0775,\qquad Q_3=3024{,}66\cdot1{,}0775\approx3259\\ \text{var}.

Passo 4

Somar as componentes ativas e reativas e obter o fator de potência total, a potência aparente total e a corrente de linha.
Somas:
P_{\text{tot}} \approx 37{,}397\\ \text{kW}\quad(\text{já calculado})á
Q_{\text{tot}}=Q_1+Q_2+Q_3\approx12{,}967+10{,}098+3{,}259\approx26{,}324\\ \text{kvar}.
Potência aparente total:
S_{\text{tot}}=\sqrt{P_{\text{tot}}^{2}+Q_{\text{tot}}^{2}}= \sqrt{(37{,}397)^{2}+(26{,}324)^{2}}\\ \text{kVA}\approx45{,}732\\ \text{kVA}.
Fator de potência total:
\mathrm{pf}_{\text{tot}}=\dfrac{P_{\text{tot}}}{S_{\text{tot}}}=\dfrac{37{,}397}{45{,}732}\approx0{,}818\quad(\text{ou }81{,}8\%).
Corrente de linha do transformador (sistema trifásico):
Fórmula: \;I_{\text{L}}=\dfrac{S_{\text{tot}}}{\sqrt{3}\,V_{LL}} com S_{\text{tot}} em VA e V_{LL} em V.
I_{\text{L}}=\dfrac{45{,}732\\ \text{kVA}}{\sqrt{3}\cdot220\\ \text{V}}=\dfrac{45{,}732}{\sqrt{3}\cdot0{,}22}\\ \text{A}
(atenção às unidades: 45{,}732\\ \text{kVA}=45732\\ \text{VA})
I_{\text{L}}=\dfrac{45732}{1{,}732\cdot220}\approx\dfrac{45732}{381{,}04}\approx120{,}0\\ \text{A}.

Passo 5

Parte (b): determinar a resistência ôhmica entre fases (ligação triângulo) referida a 20^\circ\mathrm{C} para o motor de 25\\ \text{CV}.
Primeiro identificar as perdas totais do motor e as perdas no enrolamento estatórico:
  • Para o motor de 25\\ \text{CV}: P_{\text{out}}=18400\\ \text{W},\qquad P_{\text{in}}=20909{,}09\\ \text{W}.Perdas totais: P_{\text{perdas,tot}}=P_{\text{in}}-P_{\text{out}}=20909{,}09-18400=2509{,}09\\ \text{W}.
  • Perdas no enrolamento estatórico (cobre estator), assumidas 35\% das perdas totais: P_{\text{cu}}=0{,}35\cdot P_{\text{perdas,tot}}=0{,}35\cdot2509{,}09\approx878{,}18\\ \text{W}.
Relação entre perdas no cobre, corrente de fase e resistência da espira:
  • Em ligação triângulo cada enrolamento (ramo) está entre duas fases; as perdas em todos os enrolamentos somam: P_{\text{cu}}=3\,I_{\varphi}^{2}\,R_{\varphi},onde I_{\varphi} é a corrente no enrolamento (corrente de fase da espira) e R_{\varphi} é a resistência ôhmica de cada ramo (resistência entre as duas fases através desse enrolamento) à temperatura de serviço ( 115^\circ\mathrm{C}).
  • Precisamos de I_{\varphi}. Para o motor, a potência aparente total do motor é S_1 (já calculada): S_1\approx24{,}599\\ \text{kVA}=24599\\ \text{VA}.Em triângulo, a tensão sobre cada enrolamento é V_{\varphi}=V_{LL}=220\\ \text{V} e a potência aparente por fase é S_{\varphi}=S_1/3. Assim I_{\varphi}=\dfrac{S_{\varphi}}{V_{\varphi}}=\dfrac{S_1/3}{220}=\dfrac{24599}{3\cdot220}\approx37{,}27\\ \text{A}.
Calcular R_{\varphi} à temperatura de serviço ( 115^\circ\mathrm{C}):
R_{\varphi}(115^\circ\mathrm{C})=\dfrac{P_{\text{cu}}}{3\,I_{\varphi}^{2}} =\dfrac{878{,}18}{3\cdot(37{,}27)^{2}}\approx0{,}2108\\ \Omega.

Passo 6

Referir essa resistência a 20^\circ\mathrm{C} (temperatura de referência).
Lei de variação com temperatura (cobre): \;R_{T}=R_{20}\bigl[1+\alpha(T-20)\bigr], portanto
R_{20}=\dfrac{R_{T}}{1+\alpha(T-20)}.
Usarei o coeficiente de temperatura típico para o cobre \alpha=0{,}004\\ /^\circ\mathrm{C} (valor padrão aproximado usado em engenharia).
Aqui T=115^\circ\mathrm{C}, logo T-20=95^\circ\mathrm{C} e
1+\alpha(T-20)=1+0{,}004\cdot95=1+0{,}38=1{,}38.
Assim
R_{20}=\dfrac{0{,}2108}{1{,}38}\approx0{,}1527\\ \Omega\approx0{,}153\\ \Omega.
Interpretação: para ligação triângulo, a resistência ôhmica entre fases (cada enrolamento, que está exatamente entre duas fases) referida a 20^\circ\mathrm{C} é aproximadamente 0{,}153\\ \Omega.

Resposta

(a) \mathrm{pf}_{\text{tot}}\approx0{,}818 (81,8%)
(a) S_{\text{tot}}\approx45{,}732\\ \text{kVA}
(a) I_{\text{L}}\approx120{,}0\\ \text{A}
(b) R_{\text{entre fases (triângulo)}\;@\;20^\circ\mathrm{C}}\approx0{,}153\\ \Omegaâ

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