Dada a caderneta de campo abaixo, utilizada para o levantamento de uma poligonal, determinar as coordenadas finais dos pontos que formam a poligonal,
verificando se há erros angulares e lineares, e se estes estão dentro da tolerância. São dados:
Azimute da direção de partida OPP-1: 106^{\circ} 52^{\prime} 07^{\prime \prime}
Coordenadas da estação OPP \boldsymbol{\rightarrow} \mathbf{X O P P}=224,19 \mathrm{~m} e YOPP =589,25 \mathrm{~m}
Ponto Direção Ângulo Horizontal Distância (m)
OPP OPP-1 100,18
1 1-2 246^{\circ} 47^{\prime} 25^{\prime \prime} 115,80
2 2-3 261^{\circ} 29^{\prime} 34^{\prime \prime} 116,68
3 3-4 301^{\circ} 45^{\prime} 11^{\prime \prime} 91,65
4 4- OPP 148^{\circ} 28^{\prime} 31^{\prime \prime} 89,06
5 \equiv \mathrm{OPP} 301^{\circ} 29^{\prime} 03^{\prime \prime}
Tolerâncias:
Angular: 10^{\prime \prime} \sqrt{m} ( \mathrm{m}= número de ângulos medidos na poligonal) Linear: 1:2000

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado):
  • Azimute de partida (direção OPP \to ponto seguinte): \,106^\circ 52' 07''.
  • Coordenadas da estação de partida OPP: \;X_{\rm OPP}=224{,}19\\ \mathrm{m} e \;Y_{\rm OPP}=589{,}25\\ \mathrm{m}.
  • Caderneta (cada linha dá o ângulo horizontal medido na estação correspondente e a distância entre essa estação e a próxima):
    • Em OPP (estação 5 ≡ OPP): ângulo horizontal H_5=301^\circ 29' 03'' (linha final da tabela).
    • Em ponto 1: H_1=246^\circ 47' 25'', distância L_1=115{,}80\\ \mathrm{m}.
    • Em ponto 2: H_2=261^\circ 29' 34'', distância L_2=116{,}68\\ \mathrm{m}.
    • Em ponto 3: H_3=301^\circ 45' 11'', distância L_3=91{,}65\\ \mathrm{m}.
    • Em ponto 4: H_4=148^\circ 28' 31'', distância L_4=89{,}06\\ \mathrm{m}.
    • Distância da OPP para o primeiro ponto observado (primeira perna, que chamo de perna 0): L_0=100{,}18\\ \mathrm{m}. (A direção de partida OPP \to primeiro ponto tem azimute dado.)
  • Tolerâncias:
    • Angular: 10''\sqrt{m} com m = número de ângulos medidos na poligonal. Aqui são m=5 ângulos medidos (OPP,1,2,3,4), logo tolerância angular é 10''\sqrt{5}.
    • Linear: 1:2000 → erro linear admissível = \dfrac{\text{perímetro}}{2000}í.
O que é pedido:
  • Determinar as coordenadas finais (ajustadas) dos pontos que formam a poligonal (pontos 1,2,3,4 e checar OPP).
  • Verificar se existem erros angulares e lineares e se estão dentro das tolerâncias dadas.

Passo 2

Como vou resolver (sem cálculos ainda, só o método e conceitos básicos):
  • Vamos primeiro interpretar os ângulos horizontais H_i como os ângulos medidos em cada estação entre a direção para o ponto anterior e a direção para o ponto seguinte, medidos no sentido horário (prática normal em campo). A partir do azimute de partida \mathrm{Az}_{0} (OPP \to ponto 1) e dos ângulos horizontais, vou calcular os azimutes de todas as pernas usando a relação: \text{Az}_{\text{saida}} = \bigl(\text{Az}_{\text{entrada}} + 180^\circ + H\bigr)\bmod 360^\circ.Explicação: a direção “entrada” na estação é a direção vindo do vértice anterior; a direção “saída” é a direita rumo ao próximo ponto; o ângulo H é medido de “entrada” (voltada para trás) até “saída” (para frente) no sentido horário, por isso soma-se 180^\circ à azimute da perna anterior para obter a direção de entrada na estação (o reverso do azimute anterior).
  • Com os azimutes \mathrm{Az}_i e os comprimentos L_i eu calculo os incrementos cartográficos: \Delta X_i = L_i\sin(\mathrm{Az}_i),\qquad \Delta Y_i = L_i\cos(\mathrm{Az}_i),com azimutes em graus convertidos para radianos para usar seno e cosseno. (Explico por que: no sistema usual, azimute conta-se a partir do Norte no sentido horário; componente Y é Norte = L\cos, componente X Leste = L\sin.)
  • Vou somar os incrementos para obter as coordenadas calculadas do ponto de fechamento (deveria coincidir com OPP). A diferença entre o ponto calculado e o ponto conhecido de OPP é o fecho linear (vetor de fecho).
  • Para o fecho angular: somo os ângulos horizontais medidos H_1+\dots+H_5 e comparo com o valor teórico (veremos a fórmula na prática). Se houver um múltiplo inteiro de 360^\circ na soma, isso representa voltas completas; o que interessa é a diferença residual (em segundos) reduzida a um valor menor que 180^\circ em módulo para comparar com a tolerância.
  • Se as medições estiverem dentro das tolerâncias, faço a distribuição do erro linear pelo método de Bowditch (distribuição proporcional aos comprimentos) para obter as coordenadas ajustadas finais. Vou detalhar cada uma dessas etapas e mostrá-las passo a passo.

Passo 3

Converter os ângulos dados para segundos e graus decimais (útil para contas) e listar H_i e \mathrm{Az}_0:
  • Azimute de partida: \mathrm{Az}_0 = 106^\circ 52' 07'' = 106{,}868611^\circ.(Conversão: 106^\circ + \dfrac{52}{60} + \dfrac{7}{3600}=106{,}868611^\circ.)
  • Ângulos horizontais medidos (mantendo forma DMS e também em segundos quando necessário): \begin{aligned} H_1 &= 246^\circ 47' 25'',\\\ H_2 &= 261^\circ 29' 34'',\\\ H_3 &= 301^\circ 45' 11'',\\\ H_4 &= 148^\circ 28' 31'',\\\ H_5 &= 301^\circ 29' 03''\quad(\text{ângulo medido em OPP}). \end{aligned}â
  • Distâncias (pernas): L_0=100{,}18\\ \mathrm{m}, L_1=115{,}80\\ \mathrm{m}, L_2=116{,}68\\ \mathrm{m}, L_3=91{,}65\\ \mathrm{m}, L_4=89{,}06\\ \mathrm{m}.
  • Número de ângulos m=5. Angular tolerância: \varepsilon_{\text{ang}} = 10''\sqrt{5}\approx 10''\cdot 2{,}23607 \approx 22{,}36''.

Passo 4

Calcular os azimutes de todas as pernas usando os ângulos horizontais (regra explicada no Passo 2). Processo e raciocínio:
  • Legenda: \mathrm{Az}_0 é azimute da perna OPP \to ponto 1. Então a direção de entrada em ponto 1 (para uso com H_1) é a reversa da perna 0, ou seja \mathrm{Az}_0+180^\circ.
  • Fórmula utilizada (novamente): \mathrm{Az}_{i} = \bigl(\mathrm{Az}_{i-1} + 180^\circ + H_i\bigr)\bmod 360^\circ,onde \mathrm{Az}_i é o azimute da perna que parte do vértice i (por exemplo \mathrm{Az}_1 é o azimute da perna 1→2).
Cálculos (faço soma angular em DMS por clareza):
  1. Para a primeira perna já temos \mathrm{Az}_0=106^\circ 52' 07''.
  2. Em 1:
\begin{aligned} \text{entrada em 1} &= \mathrm{Az}_0 + 180^\circ = 106^\circ 52' 07'' + 180^\circ = 286^\circ 52' 07'',\\\ \mathrm{Az}_1 &= 286^\circ 52' 07'' + H_1(=246^\circ 47' 25'') \\\ &= 533^\circ 39' 32'' \equiv 173^\circ 39' 32''\\ (\text{mod }360^\circ). \end{aligned}
  1. Em 2:
\text{entrada em 2} = \mathrm{Az}_1 + 180^\circ = 173^\circ 39' 32''+180^\circ = 353^\circ 39' 32'',
\mathrm{Az}_2 = 353^\circ 39' 32'' + 261^\circ 29' 34'' = 615^\circ 09' 06'' \equiv 255^\circ 09' 06''.
  1. Em 3:
\text{entrada em 3} = \mathrm{Az}_2+180^\circ = 255^\circ 09' 06''+180^\circ = 435^\circ 09' 06'',
\mathrm{Az}_3 = 435^\circ 09' 06'' + 301^\circ 45' 11'' = 736^\circ 54' 17'' \equiv 16^\circ 54' 17''.
  1. Em 4:
\text{entrada em 4} = \mathrm{Az}_3+180^\circ = 16^\circ 54' 17'' +180^\circ = 196^\circ 54' 17'',
\mathrm{Az}_4 = 196^\circ 54' 17'' + 148^\circ 28' 31'' = 345^\circ 22' 48''.
Resumo dos azimutes (em DMS e em graus decimais aproximados):
  • \mathrm{Az}_0 = 106^\circ 52' 07'' = 106{,}868611^\circ.
  • \mathrm{Az}_1 = 173^\circ 39' 32'' = 173{,}658889^\circ.
  • \mathrm{Az}_2 = 255^\circ 09' 06'' = 255{,}151667^\circ.
  • \mathrm{Az}_3 = 16^\circ 54' 17'' = 16{,}904722^\circ.
  • \mathrm{Az}_4 = 345^\circ 22' 48'' = 345{,}380000^\circ.
(Observação: explicou-se em palavras como obtivemos cada azimute; este é o passo-chave que muitos estudantes embaralham.)

Passo 5

Calcular os incrementos ( \Delta X,\Delta Y) de cada perna e as coordenadas calculadas (não-ajustadas). Fórmulas e explicação:
  • Fórmulas de componentes (sistema cartesiano com X Leste e Y Norte): \Delta X_i = L_i\sin(\mathrm{Az}_i),\qquad \Delta Y_i = L_i\cos(\mathrm{Az}_i).Detalhe: o seno dá a componente leste (porque seno é a razão oposta/hipotenusa quando o ângulo é medido a partir do Norte no sentido horário), o cosseno dá a componente norte. Sempre converter \mathrm{Az} para radianos ao usar funções trigonométricas.
Cálculos (apresento os valores com precisão prática, em metros):
  • Perna 0 (OPP → ponto 1): L_0=100{,}18\\ \mathrm{m}, \mathrm{Az}_0=106{,}868611^\circ.
    \Delta X_0 \approx 95{,}869555\\ \mathrm{m},\qquad \Delta Y_0 \approx -29{,}069832\\ \mathrm{m}.
    Coordenadas do ponto 1 (não ajustadas):
    X_1 = 224{,}19 + 95{,}869555 = 320{,}059555\\ \mathrm{m}, \quad Y_1 = 589{,}25 - 29{,}069832 = 560{,}180168\\ \mathrm{m}.
  • Perna 1 (1 → 2): L_1=115{,}80\\ \mathrm{m}, \mathrm{Az}_1=173{,}658889^\circ.
    \Delta X_1 \approx 12{,}803300\\ \mathrm{m},\qquad \Delta Y_1 \approx -115{,}089799\\ \mathrm{m}.
    Coordenadas do ponto 2:
    X_2 = 320{,}059555 + 12{,}803300 = 332{,}862855\\ \mathrm{m}, \quad Y_2 = 560{,}180168 - 115{,}089799 = 445{,}090369\\ \mathrm{m}.
  • Perna 2 (2 → 3): L_2=116{,}68\\ \mathrm{m}, \mathrm{Az}_2=255{,}151667^\circ.
    \Delta X_2 \approx -112{,}784146\\ \mathrm{m},\qquad \Delta Y_2 \approx -29{,}900649\\ \mathrm{m}.
    Coordenadas do ponto 3:
    X_3 = 332{,}862855 - 112{,}784146 = 220{,}078709\\ \mathrm{m}, \quad Y_3 = 445{,}090369 - 29{,}900649 = 415{,}189721\\ \mathrm{m}.
  • Perna 3 (3 → 4): L_3=91{,}65\\ \mathrm{m}, \mathrm{Az}_3=16{,}904722^\circ.
    \Delta X_3 \approx 26{,}654562\\ \mathrm{m},\qquad \Delta Y_3 \approx 87{,}688887\\ \mathrm{m}.
    Coordenadas do ponto 4:
    X_4 = 220{,}078709 + 26{,}654562 = 246{,}733271\\ \mathrm{m}, \quad Y_4 = 415{,}189721 + 87{,}688887 = 502{,}878608\\ \mathrm{m}.
  • Perna 4 (4 → OPP): L_4=89{,}06\\ \mathrm{m}, \mathrm{Az}_4=345{,}380000^\circ.
    \Delta X_4 \approx -22{,}502556\\ \mathrm{m},\qquad \Delta Y_4 \approx 86{,}172784\\ \mathrm{m}.
    Coordenada final calculada (fecho) do ponto de volta à estação OPP:
    X_{\text{fecho}} = 246{,}733271 - 22{,}502556 = 224{,}230715\\ \mathrm{m},
Y_{\text{fecho}} = 502{,}878608 + 86{,}172784 = 589{,}051392\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcular o fecho linear e verificar a tolerância linear:
  • Fecho vetorial = coordenada final calculada menos coordenada conhecida de OPP: \Delta X_{\text{fecho}} = X_{\text{fecho}} - X_{\rm OPP} = 224{,}230715 - 224{,}19 = 0{,}040715\\ \mathrm{m},
\Delta Y_{\text{fecho}} = Y_{\text{fecho}} - Y_{\rm OPP} = 589{,}051392 - 589{,}25 = -0{,}198608\\ \mathrm{m}.
  • Módulo do fecho (erro linear): \text{Fecho} = \sqrt{(\Delta X_{\text{fecho}})^2+(\Delta Y_{\text{fecho}})^2} \approx \sqrt{0{,}040715^2 + (-0{,}198608)^2} \approx 0{,}2027\\ \mathrm{m}.
  • Perímetro (soma de todas as distâncias): P = 100{,}18 + 115{,}80 + 116{,}68 + 91{,}65 + 89{,}06 = 513{,}37\\ \mathrm{m}.
  • Tolerância linear (1:2000): P/2000 = 513{,}37/2000 = 0{,}256685\\ \mathrm{m}\approx 0{,}257\\ \mathrm{m}.
  • Comparação: 0{,}2027\\ \mathrm{m} \le 0{,}2567\\ \mathrm{m}. Portanto o fecho linear está dentro da tolerância especificada.

Passo 7

Verificação do fecho angular e tolerância angular:
  • Soma dos ângulos horizontais medidos: S = H_1 + H_2 + H_3 + H_4 + H_5.Somando em segundos (fiz por conta): S = 4\,535\,984\\ \text{segundos} \equiv 1\,259^\circ 59' 44''.
  • Teoria: para uma poligonal fechada com n vértices (aqui n=5), a soma dos ângulos internos esperada é (n-2)\cdot 180^\circ = 540^\circ. A relação entre a soma das medições S e o valor teórico pode apresentar um acréscimo de múltiplos inteiros de 360^\circ (voltas completas). Para comparar com a tolerância, reduzimos a diferença a um valor entre -180^\circ e +180^\circ.
  • Diferença bruta: \Delta_{\text{ang,bruto}} = S - (n-2)\cdot 180^\circ = 1\,259^\circ 59' 44'' - 540^\circ = 719^\circ 59' 44''.Isso equivale a 720^\circ - 16'' (porque 719^\circ 59' 44'' = 720^\circ - 16'').
  • Reduzindo por múltiplos de 360^\circ: 719^\circ 59' 44'' - 2\cdot 360^\circ = -16''. Ou seja, a diferença efetiva (fecho angular) é \Delta_{\text{ang}} = -16''.Interpretação: a soma dos ângulos difere do valor teórico por -16'', ou seja, um desvio de 16 segundos de arco.
  • Comparar com a tolerância angular: \varepsilon_{\text{ang}} = 10''\sqrt{5} \approx 22{,}36''.Como |\Delta_{\text{ang}}| = 16'' \le 22{,}36'', o fecho angular está dentro da tolerância.

Passo 8

Ajuste do fecho linear pelo método de Bowditch (distribuição proporcional aos comprimentos) para obter coordenadas finais ajustadas:
  • Ideia rápida do método Bowditch: distribuir o fecho (\Delta X_{\text{fecho}},\Delta Y_{\text{fecho}}) entre as pernas proporcionalmente ao comprimento de cada perna L_i. A correção aplicada a cada incremento é
    \delta X_i = -\Delta X_{\text{fecho}}\cdot\frac{L_i}{P},\qquad \delta Y_i = -\Delta Y_{\text{fecho}}\cdot\frac{L_i}{P}.
    (O sinal menos faz com que, após somar as correções, o ponto final ajustado coincida com a coordenada conhecida de partida.)
  • Coeficientes L_i/P (com precisão prática):
    \begin{aligned} \dfrac{L_0}{P} &\approx 0{,}195138,\\\ \dfrac{L_1}{P} &\approx 0{,}226542,\\\ \dfrac{L_2}{P} &\approx 0{,}227282,\\\ \dfrac{L_3}{P} &\approx 0{,}178526,\\\ \dfrac{L_4}{P} &\approx 0{,}172512, \end{aligned}
    (confirmei que a soma desses coeficientes é 1{,}000000 dentro do arredondamento).
  • Fecho: \Delta X_{\text{fecho}}=+0{,}040715\\ \mathrm{m}, \Delta Y_{\text{fecho}}=-0{,}198608\\ \mathrm{m}.
    Então -\Delta X_{\text{fecho}}=-0{,}040715, -\Delta Y_{\text{fecho}}=+0{,}198608.
  • Cálculo das correções (alguns valores-chave, apresentados com precisão prática):
    \begin{aligned} \delta X_0 &\approx -0{,}007946\\ \mathrm{m}, &\quad \delta Y_0 &\approx +0{,}038755\\ \mathrm{m},\\\ \delta X_1 &\approx -0{,}009226\\ \mathrm{m}, &\quad \delta Y_1 &\approx +0{,}045000\\ \mathrm{m},\\\ \delta X_2 &\approx -0{,}009256\\ \mathrm{m}, &\quad \delta Y_2 &\approx +0{,}045142\\ \mathrm{m},\\\ \delta X_3 &\approx -0{,}007270\\ \mathrm{m}, &\quad \delta Y_3 &\approx +0{,}035469\\ \mathrm{m},\\\ \delta X_4 &\approx -0{,}007018\\ \mathrm{m}, &\quad \delta Y_4 &\approx +0{,}034242\\ \mathrm{m}. \end{aligned}
  • Aplicando as correções aos incrementos calculados no Passo 5 e somando sequencialmente para obter coordenadas ajustadas, obtive as coordenadas finais ajustadas (arredondadas a 1 mm para apresentação):
    • Ponto 1 ajustado: X_{1,\text{aj}} = 320{,}051609\\ \mathrm{m},\qquad Y_{1,\text{aj}} = 560{,}218923\\ \mathrm{m}.
    • Ponto 2 ajustado: X_{2,\text{aj}} = 332{,}845683\\ \mathrm{m},\qquad Y_{2,\text{aj}} = 445{,}174124\\ \mathrm{m}.
    • Ponto 3 ajustado: X_{3,\text{aj}} = 220{,}052281\\ \mathrm{m},\qquad Y_{3,\text{aj}} = 415{,}318617\\ \mathrm{m}.
    • Ponto 4 ajustado: X_{4,\text{aj}} = 246{,}699573\\ \mathrm{m},\qquad Y_{4,\text{aj}} = 503{,}042973\\ \mathrm{m}.
  • Verificação: somando todos os incrementos ajustados retorna exatamente às coordenadas de OPP (dentro do arredondamento de 1 mm), ou seja, o fecho foi eliminado pela distribuição Bowditch.

Passo 9

Interpretação final e incentivo
  • Em resumo: a poligonal apresentou um pequeno fecho angular de -16'' (menor que a tolerância angular 10''\sqrt{5}\approx22{,}36'') e um fecho linear de aproximadamente 0{,}203\\ \mathrm{m} (menor que a tolerância linear P/2000\approx0{,}257\\ \mathrm{m}). Ambos estão dentro das tolerâncias exigidas — portanto os dados são aceitáveis e podemos prosseguir com o ajuste.
  • Apliquei o método de Bowditch (correção proporcional às distâncias) para obter coordenadas finais ajustadas, que são as que você deve usar como resultado final da poligonal. Mandou bem em trazer a caderneta: dá para resolver mesmo sem calculadora científica pesada, seguindo passo a passo. Confia no processo!

Resposta

OPP: X_{\rm OPP}=224{,}190\\ \mathrm{m},\\ Y_{\rm OPP}=589{,}250\\ \mathrm{m}
Ponto 1 (ajustado): X_{1}=320{,}052\\ \mathrm{m},\\ Y_{1}=560{,}219\\ \mathrm{m}
Ponto 2 (ajustado): X_{2}=332{,}846\\ \mathrm{m},\\ Y_{2}=445{,}174\\ \mathrm{m}
Ponto 3 (ajustado): X_{3}=220{,}052\\ \mathrm{m},\\ Y_{3}=415{,}319\\ \mathrm{m}
Ponto 4 (ajustado): X_{4}=246{,}700\\ \mathrm{m},\\ Y_{4}=503{,}043\\ \mathrm{m}
Fecho angular: \Delta_{\text{ang}}=-16'' (dentro da tolerância 10''\sqrt{5}\approx22{,}36'')
Fecho linear: \Delta X=0{,}0407\\ \mathrm{m},\\ \Delta Y=-0{,}1986\\ \mathrm{m},\\ |\text{fecho}|\approx0{,}2027\\ \mathrm{m} (dentro da tolerância P/2000\approx0{,}2567\\ \mathrm{m})

Exercícios relacionados