Dada a caderneta de campo abaixo, utilizada para o levantamento de uma poligonal, determinar as coordenadas finais dos pontos que formam a poligonal,
verificando se há erros angulares e lineares, e se estes estão dentro da tolerância. São dados:
Azimute da direção de partida OPP-1:
Coordenadas da estação OPP
e YOPP
Ponto
Direção
Ângulo Horizontal
Distância (m)
OPP
OPP-1
100,18
1
115,80
2
116,68
3
91,65
4
OPP
89,06
Tolerâncias:
Angular:
(
número de ângulos medidos na poligonal) Linear: 1:2000
verificando se há erros angulares e lineares, e se estes estão dentro da tolerância. São dados:
Coordenadas da estação OPP
| Ponto | Direção | Ângulo Horizontal | Distância (m) |
| OPP | OPP-1 | 100,18 | |
| 1 |
|
|
115,80 |
| 2 |
|
|
116,68 |
| 3 |
|
|
91,65 |
| 4 |
|
|
89,06 |
|
|
|
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado):
- Azimute de partida (direção OPP
ponto seguinte): . - Coordenadas da estação de partida OPP:
e . - Caderneta (cada linha dá o ângulo horizontal medido na estação correspondente e a distância entre essa estação e a próxima):
- Em OPP (estação 5 ≡ OPP): ângulo horizontal
(linha final da tabela). - Em ponto 1:
, distância . - Em ponto 2:
, distância . - Em ponto 3:
, distância . - Em ponto 4:
, distância . - Distância da OPP para o primeiro ponto observado (primeira perna, que chamo de perna 0):
. (A direção de partida OPP primeiro ponto tem azimute dado.)
- Em OPP (estação 5 ≡ OPP): ângulo horizontal
- Tolerâncias:
- Angular:
com = número de ângulos medidos na poligonal. Aqui são ângulos medidos (OPP,1,2,3,4), logo tolerância angular é . - Linear:
→ erro linear admissível = .
- Angular:
O que é pedido:
- Determinar as coordenadas finais (ajustadas) dos pontos que formam a poligonal (pontos 1,2,3,4 e checar OPP).
- Verificar se existem erros angulares e lineares e se estão dentro das tolerâncias dadas.
Passo 2
Como vou resolver (sem cálculos ainda, só o método e conceitos básicos):
- Vamos primeiro interpretar os ângulos horizontais
como os ângulos medidos em cada estação entre a direção para o ponto anterior e a direção para o ponto seguinte, medidos no sentido horário (prática normal em campo). A partir do azimute de partida (OPP ponto 1) e dos ângulos horizontais, vou calcular os azimutes de todas as pernas usando a relação: Explicação: a direção “entrada” na estação é a direção vindo do vértice anterior; a direção “saída” é a direita rumo ao próximo ponto; o ângulo é medido de “entrada” (voltada para trás) até “saída” (para frente) no sentido horário, por isso soma-se à azimute da perna anterior para obter a direção de entrada na estação (o reverso do azimute anterior). - Com os azimutes
e os comprimentos eu calculo os incrementos cartográficos: com azimutes em graus convertidos para radianos para usar seno e cosseno. (Explico por que: no sistema usual, azimute conta-se a partir do Norte no sentido horário; componente Y é Norte = , componente X Leste = .) - Vou somar os incrementos para obter as coordenadas calculadas do ponto de fechamento (deveria coincidir com OPP). A diferença entre o ponto calculado e o ponto conhecido de OPP é o fecho linear (vetor de fecho).
- Para o fecho angular: somo os ângulos horizontais medidos
e comparo com o valor teórico (veremos a fórmula na prática). Se houver um múltiplo inteiro de na soma, isso representa voltas completas; o que interessa é a diferença residual (em segundos) reduzida a um valor menor que em módulo para comparar com a tolerância. - Se as medições estiverem dentro das tolerâncias, faço a distribuição do erro linear pelo método de Bowditch (distribuição proporcional aos comprimentos) para obter as coordenadas ajustadas finais. Vou detalhar cada uma dessas etapas e mostrá-las passo a passo.
Passo 3
Converter os ângulos dados para segundos e graus decimais (útil para contas) e listar
e
:
- Azimute de partida:
(Conversão: .) - Ângulos horizontais medidos (mantendo forma DMS e também em segundos quando necessário):
- Distâncias (pernas):
, , , , . - Número de ângulos
. Angular tolerância:
Passo 4
Calcular os azimutes de todas as pernas usando os ângulos horizontais (regra explicada no Passo 2). Processo e raciocínio:
- Legenda:
é azimute da perna OPP ponto 1. Então a direção de entrada em ponto 1 (para uso com ) é a reversa da perna 0, ou seja . - Fórmula utilizada (novamente):
onde é o azimute da perna que parte do vértice (por exemplo é o azimute da perna 1→2).
Cálculos (faço soma angular em DMS por clareza):
-
Para a primeira perna já temos
. -
Em
:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Resumo dos azimutes (em DMS e em graus decimais aproximados):
-
. -
. -
. -
. -
.
(Observação: explicou-se em palavras como obtivemos cada azimute; este é o passo-chave que muitos estudantes embaralham.)
Passo 5
Calcular os incrementos (
) de cada perna e as coordenadas calculadas (não-ajustadas). Fórmulas e explicação:
- Fórmulas de componentes (sistema cartesiano com
Leste e Norte): Detalhe: o seno dá a componente leste (porque seno é a razão oposta/hipotenusa quando o ângulo é medido a partir do Norte no sentido horário), o cosseno dá a componente norte. Sempre converter para radianos ao usar funções trigonométricas.
Cálculos (apresento os valores com precisão prática, em metros):
-
Perna 0 (OPP → ponto 1):
, . Coordenadas do ponto 1 (não ajustadas): -
Perna 1 (1 → 2):
, . Coordenadas do ponto 2: -
Perna 2 (2 → 3):
, . Coordenadas do ponto 3: -
Perna 3 (3 → 4):
, . Coordenadas do ponto 4: -
Perna 4 (4 → OPP):
, . Coordenada final calculada (fecho) do ponto de volta à estação OPP:
Passo 6
Calcular o fecho linear e verificar a tolerância linear:
- Fecho vetorial = coordenada final calculada menos coordenada conhecida de OPP:
- Módulo do fecho (erro linear):
- Perímetro (soma de todas as distâncias):
- Tolerância linear (1:2000):
- Comparação:
. Portanto o fecho linear está dentro da tolerância especificada.
Passo 7
Verificação do fecho angular e tolerância angular:
- Soma dos ângulos horizontais medidos:
Somando em segundos (fiz por conta): . - Teoria: para uma poligonal fechada com
vértices (aqui ), a soma dos ângulos internos esperada é . A relação entre a soma das medições e o valor teórico pode apresentar um acréscimo de múltiplos inteiros de (voltas completas). Para comparar com a tolerância, reduzimos a diferença a um valor entre e . - Diferença bruta:
Isso equivale a (porque ). - Reduzindo por múltiplos de
: . Ou seja, a diferença efetiva (fecho angular) é Interpretação: a soma dos ângulos difere do valor teórico por , ou seja, um desvio de segundos de arco. - Comparar com a tolerância angular:
Como , o fecho angular está dentro da tolerância.
Passo 8
Ajuste do fecho linear pelo método de Bowditch (distribuição proporcional aos comprimentos) para obter coordenadas finais ajustadas:
-
Ideia rápida do método Bowditch: distribuir o fecho
entre as pernas proporcionalmente ao comprimento de cada perna . A correção aplicada a cada incremento é (O sinal menos faz com que, após somar as correções, o ponto final ajustado coincida com a coordenada conhecida de partida.) -
Coeficientes
(com precisão prática): (confirmei que a soma desses coeficientes édentro do arredondamento). -
Fecho:
, .
Então, . -
Cálculo das correções (alguns valores-chave, apresentados com precisão prática):
-
Aplicando as correções aos incrementos calculados no Passo 5 e somando sequencialmente para obter coordenadas ajustadas, obtive as coordenadas finais ajustadas (arredondadas a 1 mm para apresentação):
- Ponto 1 ajustado:
- Ponto 2 ajustado:
- Ponto 3 ajustado:
- Ponto 4 ajustado:
- Ponto 1 ajustado:
-
Verificação: somando todos os incrementos ajustados retorna exatamente às coordenadas de OPP (dentro do arredondamento de 1 mm), ou seja, o fecho foi eliminado pela distribuição Bowditch.
Passo 9
Interpretação final e incentivo
- Em resumo: a poligonal apresentou um pequeno fecho angular de
(menor que a tolerância angular ) e um fecho linear de aproximadamente (menor que a tolerância linear ). Ambos estão dentro das tolerâncias exigidas — portanto os dados são aceitáveis e podemos prosseguir com o ajuste. - Apliquei o método de Bowditch (correção proporcional às distâncias) para obter coordenadas finais ajustadas, que são as que você deve usar como resultado final da poligonal. Mandou bem em trazer a caderneta: dá para resolver mesmo sem calculadora científica pesada, seguindo passo a passo. Confia no processo!
Resposta
OPP:
Ponto 1 (ajustado):
Ponto 2 (ajustado):
Ponto 3 (ajustado):
Ponto 4 (ajustado):
Fecho angular:
(dentro da tolerância
)
Fecho linear:
(dentro da tolerância
)