Questão 4) Os dados do modelo de um transformador monofásico de 110 \mathrm{kVA}, 2200 / 110 \mathrm{~V} são: R_{1}=0,22 \Omega, X_{1}=2 \Omega, R_{2}=0,5 m \Omega, X_{2}=2 m \Omega, R_{c}=5500 \Omega e X_{M}=1100 \Omega. A partir desses dados calcule ( 3 pontos).
a) A regulação de tensão para uma carga com fator de potência atrasado de 0.85 ;
b) A eficiência desse transformador com essa mesma carga.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Calcular a regulação de tensão para uma carga com fator de potência atrasado de \,0{,}85.
  • (b) Calcular a eficiência do transformador com essa mesma carga.
Dados fornecidos (transcritos exatamente do enunciado):
\begin{aligned} &S_{\text{nom}}=110\\ \mathrm{kVA},\\\ &V_1=2200\\ \mathrm{V},\quad V_2=110\\ \mathrm{V},\\\ &R_1=0{,}22\\ \Omega,\quad X_1=2\\ \Omega,\\\ &R_2=0{,}5\\ \mathrm{m\Omega}=0{,}0005\\ \Omega,\quad X_2=2\\ \mathrm{m\Omega}=0{,}002\\ \Omega,\\\ &R_c=5500\\ \Omega,\quad X_M=1100\\ \Omega. \end{aligned}
Observações que vêm do enunciado:
  • Temos um transformador monofásico \,2200/110\\ \mathrm{V}.
  • Os valores de resistências e reatâncias estão dados por enrolamento e o ramo de magnetização ( R_c, X_M) também está informado.

Passo 2

Primeiro, calculemos a relação de transformação (razão de espiras) \,a e seu quadrado \,a^2.
a=\frac{V_1}{V_2}=\frac{2200}{110}=20.
a^2=20^2=400.
Isto é útil para referir impedâncias de um lado ao outro do transformador (por exemplo, para somar R_1 com R_2 devemos referi-las ao mesmo lado).

Passo 3

Referir as impedâncias do enrolamento 1 ao lado secundário (110 V). A impedância referida do primário ao secundário é \,Z_1'=\dfrac{Z_1}{a^2}.
R_1'=\frac{R_1}{a^2}=\frac{0{,}22}{400}=0{,}00055\\ \Omega,
X_1'=\frac{X_1}{a^2}=\frac{2}{400}=0{,}005\\ \Omega.
Os valores do enrolamento 2 já estão no lado secundário:
R_2=0{,}0005\\ \Omega,\quad X_2=0{,}002\\ \Omega.

Passo 4

Agora somamos as impedâncias série totais referidas ao secundário (essas são as que causam queda de tensão útil para o cálculo da regulação):
R_{\text{eq}}=R_1'+R_2=0{,}00055+0{,}0005=0{,}00105\\ \Omega,
X_{\text{eq}}=X_1'+X_2=0{,}005+0{,}002=0{,}007\\ \Omega.

Passo 5

Calcule a corrente nominal no secundário (corrente de carga plena) e o ângulo da carga:
I_2=\frac{S_{\text{nom}}}{V_2}=\frac{110000}{110}=1000\\ \mathrm{A}.
O fator de potência é \cos\varphi=0{,}85 (atrasado). Portanto
\varphi=\operatorname{arccos}(0{,}85)\quad\text{e}\quad \sin\varphi=\sqrt{1-(0{,}85)^2}.
Calculando \sin\varphi:
\sin\varphi=\sqrt{1-0{,}7225}=\sqrt{0{,}2775}\approx0{,}5268.

Passo 6

Explicar a fórmula da regulação e justificar aproximações:
  • Definição prática de regulação de tensão (aproximação usual): diferença percentual entre tensão em vazio e em carga plena na mesma extremidade (aqui no secundário).
  • Para transformadores com pequena corrente de magnetização, a queda de tensão devido à impedância série domina, e uma fórmula aproximada é
\Delta V \approx I_2\bigl(R_{\text{eq}}\cos\varphi + X_{\text{eq}}\sin\varphi\bigr),
onde \Delta V é a queda de tensão (em volts) quando a carga é conectada. A regulação percentual é
\text{Regulação (\%)}=\frac{\Delta V}{V_2}\times100\%.çã
  • Devemos checar se a corrente de magnetização (ramo R_c e X_M) é realmente desprezível em comparação à corrente de carga: supondo R_c e X_M dados no primário (valores típicos), referimos ao secundário:
R_c'=\frac{R_c}{a^2}=\frac{5500}{400}=13{,}75\\ \Omega,
X_M'=\frac{X_M}{a^2}=\frac{1100}{400}=2{,}75\\ \Omega.
A impedância do ramo de magnetização |Z_m|=\sqrt{(13{,}75)^2+(2{,}75)^2}\approx14{,}01\\ \Omega. Logo a corrente de magnetização no secundário é
I_0=\frac{V_2}{|Z_m|}=\frac{110}{14{,}01}\approx7{,}85\\ \mathrm{A},
ou seja, \approx0{,}785\% da corrente de carga ( 1000\\ \mathrm{A}). Portanto é perfeitamente razoável desprezar I_0 na fórmula da regulação (efeito pequeno). Assim usamos a fórmula aproximada acima.

Passo 7

Calculemos numericamente \Delta V:
Primeiro os termos dentro do parêntese:
R_{\text{eq}}\cos\varphi=0{,}00105\times0{,}85=0{,}0008925,
X_{\text{eq}}\sin\varphi=0{,}007\times0{,}5268\approx0{,}0036876.
Somando:
R_{\text{eq}}\cos\varphi+X_{\text{eq}}\sin\varphi\approx0{,}0008925+0{,}0036876=0{,}0045801.
Agora \Delta V:
\Delta V=I_2\times0{,}0045801=1000\times0{,}0045801=4{,}5801\\ \mathrm{V}.
Regulação percentual:
\text{Regulação (\%)}=\frac{4{,}5801}{110}\times100\%\approx4{,}1637\%\approx4{,}16\%.çã

Passo 8

Agora vamos calcular a eficiência do transformador com a carga dada. Primeiro, a potência útil de saída (potência ativa entregue à carga):
P_{\text{out}}=V_2 I_2\cos\varphi=110\times1000\times0{,}85=93\,500\\ \mathrm{W}.

Passo 9

Calcule as perdas:
  1. Perdas no núcleo (perdas magnéticas / iron loss). Se R_c está dado no primário, a perda no núcleo é aproximadamente
P_{\text{core}}=\frac{V_1^2}{R_c}=\frac{2200^2}{5500}.
Calcule:
2200^2=4\,840\,000,\quad \frac{4\,840\,000}{5500}=880\\ \mathrm{W}.
  1. Perdas por efeito Joule (cobre) nos dois enrolamentos. Para isso usamos as correntes em cada enrolamento:
I_1=\frac{I_2}{a}=\frac{1000}{20}=50\\ \mathrm{A}.
Perdas no enrolamento 1:
P_{Cu1}=I_1^2 R_1=50^2\times0{,}22=2500\times0{,}22=550\\ \mathrm{W}.
Perdas no enrolamento 2:
P_{Cu2}=I_2^2 R_2=1000^2\times0{,}0005=1\,000\,000\times0{,}0005=500\\ \mathrm{W}.
Perdas totais de cobre:
P_{Cu}=P_{Cu1}+P_{Cu2}=550+500=1050\\ \mathrm{W}.

Passo 10

Perdas totais do transformador:
P_{\text{loss}}=P_{\text{core}}+P_{Cu}=880+1050=1930\\ \mathrm{W}.
Eficiência:
\eta=\frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{out}}+P_{\text{loss}}}=\frac{93\,500}{93\,500+1\,930}=\frac{93\,500}{95\,430}\approx0{,}97975.
Convertendo para porcentagem:
\eta\approx97{,}98\%.

Passo 11

Resumo numérico (arredondado de forma prática para a prova):
  • Regulação de tensão para carga com \cos\varphi=0{,}85 (atrasado): \approx4{,}16\%.
  • Eficiência com essa carga: \approx97{,}98\%.

Resposta

4{,}16\%
97{,}98\%

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