Questão 07: Dois cilindros condutores coaxiais de raios 2 cm e 4 cm possuem um comprimento de 1 m . A região entre os cilindros contém uma camada de dielétrico de
até
. Calcule a capacitância se
Passo 1
O enunciado pede para calcular a capacitância entre dois cilindros condutores coaxiais de comprimento
e raios internos/externos dados, quando existe uma camada dielétrica parcial entre eles. Dados fornecidos:
Observação importante extraída do enunciado: a camada dielétrica vai de
até
. Como
, concluímos que a região entre
e
(ou seja entre
e
) contém o dielétrico com
; a região entre
e
(ou seja entre
e
) é preenchida pelo meio com permissividade
(ar/vácuo aproximado).
Passo 2
Vamos escrever a expressão do campo elétrico radial entre cilindros com simetria cilíndrica usando a Lei de Gauss e explicar cada símbolo.
Considere carga linear no condutor interno com densidade linear
(carga por unidade de comprimento). Para um cilindro gaussiano de raio
e comprimento
, a Lei de Gauss na forma integral para o fluxo do vetor deslocamento dielétrico
diz:
Com simetria cilíndrica
radial, a área lateral do cilindro gaussiano é
. Assim:
Como
, obtemos o campo elétrico radial em cada região (onde a permissividade
é constante):
Aqui:
-
é a carga por comprimento (C/m), -
é a permissividade do meio local ( no vazio; no dielétrico), -
é a coordenada radial.
Passo 3
A diferença de potencial entre os condutores é a integral do campo radial entre
e
:
Como temos duas regiões com permissividade diferente (de
até
com
, e de
até
com
), fazemos a integral em duas partes:
Capacitância por unidade de comprimento
é definida por
. Assim:
Uma interpretação útil: as duas camadas atuam como dois capacitores cilíndricos em série por unidade de comprimento, com
e
Aqui:
-
tem unidades F/m, - a capacitância total
para comprimento é .
Passo 4
Agora substituímos os valores numéricos dados. Primeiro as constantes:
Raios em metros:
Calculamos os logaritmos naturais:
Cálculo de
e
:
(Expliquei antes de calcular:
, daí os valores numéricos acima.)
Passo 5
Agora fazemos a combinação em série das capacitâncias por unidade de comprimento:
Substituindo números:
Calculando numericamente (mostrando os passos):
Logo
A capacitância total para
é
Convertendo para pF:
Passo 6
Resumo e interpretação final: a presença do dielétrico entre
e
aumenta localmente a permissividade naquela faixa, mas como há duas camadas em série radialmente, a capacitância total fica entre o valor que teríamos só com dielétrico homogêneo e o valor só com vácuo; calculamos explicitamente usando a soma dos potenciais em cada camada e a combinação em série das capacitâncias por unidade de comprimento.
Mantenha a calma — esse tipo de problema é sempre “soma de potenciais” em cada região. Na prova, memorize: para coaxial com camadas radiais em sequência, calcule
por Gauss em cada região e some os
para obter
. Depois
.