Questão 07: Dois cilindros condutores coaxiais de raios 2 cm e 4 cm possuem um comprimento de 1 m . A região entre os cilindros contém uma camada de dielétrico de \rho=\mathrm{c} até \rho=\mathrm{d} \operatorname{com} \epsilon_{r}=4. Calcule a capacitância se
\mathrm{c}=2 \mathrm{~cm}, d=3 \mathrm{~cm}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a capacitância entre dois cilindros condutores coaxiais de comprimento 1\\ \mathrm{m} e raios internos/externos dados, quando existe uma camada dielétrica parcial entre eles. Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{raio do condutor interno: } a = 2\\ \mathrm{cm} = 0{,}02\\ \mathrm{m},\\\ &\text{raio do condutor externo: } b = 4\\ \mathrm{cm} = 0{,}04\\ \mathrm{m},\\\ &\text{há uma camada dielétrica entre } \rho=c \text{ e } \rho=d, \\\ &\text{foi dado } c = 2\\ \mathrm{cm},\\ d = 3\\ \mathrm{cm},\\ \epsilon_r = 4,\\\ &\text{comprimento dos cilindros: } L = 1\\ \mathrm{m}.\\\ \end{aligned}áé
Observação importante extraída do enunciado: a camada dielétrica vai de \rho=c=2\\ \mathrm{cm} até \rho=d=3\\ \mathrm{cm}. Como a=2\\ \mathrm{cm}, concluímos que a região entre a e d (ou seja entre 0{,}02\\ \mathrm{m} e 0{,}03\\ \mathrm{m}) contém o dielétrico com \epsilon_r=4; a região entre d e b (ou seja entre 0{,}03\\ \mathrm{m} e 0{,}04\\ \mathrm{m}) é preenchida pelo meio com permissividade \epsilon_0 (ar/vácuo aproximado).

Passo 2

Vamos escrever a expressão do campo elétrico radial entre cilindros com simetria cilíndrica usando a Lei de Gauss e explicar cada símbolo.
Considere carga linear no condutor interno com densidade linear \lambda (carga por unidade de comprimento). Para um cilindro gaussiano de raio \rho e comprimento L, a Lei de Gauss na forma integral para o fluxo do vetor deslocamento dielétrico \mathbf{D} diz:
\oint \mathbf{D}\cdot d\mathbf{S} = Q_{\text{enc}}.
Com simetria cilíndrica \mathbf{D}=\epsilon \mathbf{E} radial, a área lateral do cilindro gaussiano é 2\pi\rho L. Assim:
D_\rho( \rho ) \, (2\pi\rho L) = \lambda L \quad\Rightarrow\quad D_\rho(\rho)=\frac{\lambda}{2\pi\rho}.
Como D_\rho(\rho)=\epsilon E_\rho(\rho), obtemos o campo elétrico radial em cada região (onde a permissividade \epsilon é constante):
E_\rho(\rho)=\frac{\lambda}{2\pi \epsilon \rho}.
Aqui:
  • \lambda é a carga por comprimento (C/m),
  • \epsilon é a permissividade do meio local ( \epsilon=\epsilon_0 no vazio; \epsilon=\epsilon_r\epsilon_0 no dielétrico),
  • \rho é a coordenada radial.

Passo 3

A diferença de potencial entre os condutores é a integral do campo radial entre a e b:
V = -\int_a^b \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = \int_a^b E_\rho(\rho)\, d\rho.
Como temos duas regiões com permissividade diferente (de a até d com \epsilon_1=\epsilon_r\epsilon_0, e de d até b com \epsilon_2=\epsilon_0), fazemos a integral em duas partes:
\begin{aligned} V &= \int_a^d \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_1 \rho}\, d\rho \;+\; \int_d^b \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_2 \rho}\, d\rho \\\ &= \frac{\lambda}{2\pi}\Bigg(\frac{1}{\epsilon_1}\ln\!\frac{d}{a} \;+\; \frac{1}{\epsilon_2}\ln\!\frac{b}{d}\Bigg). \end{aligned}
Capacitância por unidade de comprimento C' é definida por C'=\lambda/V. Assim:
C'=\frac{2\pi}{\displaystyle \frac{1}{\epsilon_1}\ln\!\frac{d}{a} \;+\; \frac{1}{\epsilon_2}\ln\!\frac{b}{d}}.
Uma interpretação útil: as duas camadas atuam como dois capacitores cilíndricos em série por unidade de comprimento, com
C_1'=\frac{2\pi \epsilon_1}{\ln(d/a)},\qquad C_2'=\frac{2\pi \epsilon_2}{\ln(b/d)},
e
\frac{1}{C'}=\frac{1}{C_1'}+\frac{1}{C_2'}.
Aqui:
  • C' tem unidades F/m,
  • a capacitância total C para comprimento L é C=C' L.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos dados. Primeiro as constantes:
\epsilon_0 = 8{,}854187817\times 10^{-12}\\ \mathrm{F/m},\qquad \epsilon_1=\epsilon_r\epsilon_0=4\epsilon_0,\qquad \epsilon_2=\epsilon_0.
Raios em metros:
a=0{,}02\\ \mathrm{m},\quad d=0{,}03\\ \mathrm{m},\quad b=0{,}04\\ \mathrm{m}.
Calculamos os logaritmos naturais:
\ln\!\frac{d}{a}=\ln\!\frac{0{,}03}{0{,}02}=\ln(1{,}5)\approx 0{,}4054651081,
\ln\!\frac{b}{d}=\ln\!\frac{0{,}04}{0{,}03}=\ln\!\frac{4}{3}\approx 0{,}2876820725.
Cálculo de C_1' e C_2':
C_1'=\frac{2\pi\epsilon_1}{\ln(d/a)}=\frac{2\pi(4\epsilon_0)}{\ln(1{,}5)} =\frac{8\pi\epsilon_0}{0{,}4054651081}\approx 5{,}492185\times 10^{-10}\\ \mathrm{F/m},
C_2'=\frac{2\pi\epsilon_2}{\ln(b/d)}=\frac{2\pi\epsilon_0}{0{,}2876820725}\approx 1{,}936075\times 10^{-10}\\ \mathrm{F/m}.
(Expliquei antes de calcular: 2\pi\epsilon_0\approx 5{,}567764362\times 10^{-11}, daí os valores numéricos acima.)

Passo 5

Agora fazemos a combinação em série das capacitâncias por unidade de comprimento:
\frac{1}{C'}=\frac{1}{C_1'}+\frac{1}{C_2'}.
Substituindo números:
\frac{1}{C'}=\frac{1}{5{,}492185\times 10^{-10}}+\frac{1}{1{,}936075\times 10^{-10}}
Calculando numericamente (mostrando os passos):
\begin{aligned} &\frac{1}{5{,}492185\times 10^{-10}}\approx 1{,}81983\times 10^{9}\\ \mathrm{(m/F)},\\\ &\frac{1}{1{,}936075\times 10^{-10}}\approx 5{,}16538\times 10^{9}\\ \mathrm{(m/F)},\\\ &\frac{1}{C'}\approx 6{,}98521\times 10^{9}\\ \mathrm{(m/F)}. \end{aligned}
Logo
C'\approx \frac{1}{6{,}98521\times 10^{9}}\\ \mathrm{F/m}\approx 1{,}4307\times 10^{-10}\\ \mathrm{F/m}.
A capacitância total para L=1\\ \mathrm{m} é
C=C' L = 1{,}4307\times 10^{-10}\\ \mathrm{F}.
Convertendo para pF:
C\approx 143{,}07\\ \mathrm{pF}.

Passo 6

Resumo e interpretação final: a presença do dielétrico entre a e d aumenta localmente a permissividade naquela faixa, mas como há duas camadas em série radialmente, a capacitância total fica entre o valor que teríamos só com dielétrico homogêneo e o valor só com vácuo; calculamos explicitamente usando a soma dos potenciais em cada camada e a combinação em série das capacitâncias por unidade de comprimento.
Mantenha a calma — esse tipo de problema é sempre “soma de potenciais” em cada região. Na prova, memorize: para coaxial com camadas radiais em sequência, calcule E por Gauss em cada região e some os \int E\,d\rho para obter V. Depois C=\lambda/V.

Resposta

C \approx 1{,}4307\times 10^{-10}\\ \mathrm{F} \approx 143{,}07\\ \mathrm{pF}

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