Questão 08: Por meio de uma solução apropriada para as equações de Laplace e de Poisson, determine o potencial absoluto no centro de uma esfera de raio a, que contém uma carga volumétrica uniforme de densidade \rho_{0}. Considere a permissividade \varepsilon_{0} em todos os pontos.
Passo 1
O enunciado pede o potencial absoluto no centro de uma esfera de raio a que contém uma densidade volumétrica uniforme \rho_{0}. Informações dadas e condições que vamos assumir (todas explícitas no enunciado ou padrão físico razoável):
Raio da esfera: a.
Densidade volumétrica uniforme dentro da esfera: \rho(\mathbf{r})=\rho_{0} para r<a e \rho(\mathbf{r})=0 para r>a.
Permissividade do meio em todos os pontos: \varepsilon_{0}.
Queremos o potencial absoluto no centro: V(0). Por “absoluto” entendemos que a referência V(\infty)=0 (potencial tende a zero no infinito).
Condições físicas naturais que usaremos: V(r) finito em r=0 e V(r)\to0 quando r\to\infty.
Passo 2
Equações diferenciais que governam o problema (vamos explicá-las):
Poisson (em regiões com carga): \label{Poisson} \nabla^{2}V(\mathbf{r})=-\frac{\rho(\mathbf{r})}{\varepsilon_{0}}.
Aqui \nabla^{2} é o laplaciano (soma das segundas derivadas espaciais), V é o potencial elétrico e \rho é a densidade de carga volumétrica.
Laplace (em regiões sem carga): \label{Laplace} \nabla^{2}V(\mathbf{r})=0.
No nosso caso: dentro da esfera (r<a) usamos Poisson com \rho=\rho_{0}; fora da esfera (r>a) usamos Laplace com \rho=0.
Condições de contorno na superfície r=a:
Continuidade do potencial: V_{\text{in}}(a)=V_{\text{out}}(a).
Continuidade de \varepsilon\,\partial V/\partial n. Aqui \varepsilon é a mesma (\varepsilon_{0}) em ambos os lados, então a derivada radial é contínua: \left.\dfrac{dV_{\text{in}}}{dr}\right|_{r=a}=\left.\dfrac{dV_{\text{out}}}{dr}\right|_{r=a}.
Além disso, simetria: a esfera e a densidade são esféricamente simétricas, então o potencial depende só da distância r ao centro: V=V(r). Isso simplifica muito as equações.
Passo 3
Expressão do laplaciano para uma função radial V(r) (importante para resolver as EDOs):
Explicação: em coordenadas esféricas, o laplaciano tem termos angulares; para função puramente radial esses termos desaparecem e sobra a fórmula acima. As variáveis: r é a distância ao centro; dV/dr é a derivada radial.
Passo 4
Resolver Poisson dentro da esfera (0\le r<a). Escrevemos a equação com a forma radial:
Observação de verificação rápida: a carga total é Q=\rho_{0}\,\tfrac{4}{3}\pi a^{3}. O potencial externo de uma carga pontual Q seria Q/(4\pi\varepsilon_{0}r). Substituindo Q obtém-se V_{\text{out}}(r)=\dfrac{\rho_{0}a^{3}}{3\varepsilon_{0}}\cdot\dfrac{1}{r}, que coincide com a forma \dfrac{A}{r} com A acima — portanto consistente.
Passo 7
Impor continuidade do potencial em r=a para determinar C_{2}. Temos:
Interpretação rápida: o potencial no centro cresce com \rho_{0} e com o quadrado do raio da esfera; faz sentido físico que mais carga ou esfera maior aumentem o potencial no centro.