Questão 08: Por meio de uma solução apropriada para as equações de Laplace e de Poisson, determine o potencial absoluto no centro de uma esfera de raio a, que contém uma carga volumétrica uniforme de densidade \rho_{0}. Considere a permissividade \varepsilon_{0} em todos os pontos.

Passo 1

O enunciado pede o potencial absoluto no centro de uma esfera de raio a que contém uma densidade volumétrica uniforme \rho_{0}. Informações dadas e condições que vamos assumir (todas explícitas no enunciado ou padrão físico razoável):
  • Raio da esfera: a.
  • Densidade volumétrica uniforme dentro da esfera: \rho(\mathbf{r})=\rho_{0} para r<a e \rho(\mathbf{r})=0 para r>a.
  • Permissividade do meio em todos os pontos: \varepsilon_{0}.
  • Queremos o potencial absoluto no centro: V(0). Por “absoluto” entendemos que a referência V(\infty)=0 (potencial tende a zero no infinito).
  • Condições físicas naturais que usaremos: V(r) finito em r=0 e V(r)\to0 quando r\to\infty.

Passo 2

Equações diferenciais que governam o problema (vamos explicá-las):
  • Poisson (em regiões com carga): \label{Poisson} \nabla^{2}V(\mathbf{r})=-\frac{\rho(\mathbf{r})}{\varepsilon_{0}}.
Aqui \nabla^{2} é o laplaciano (soma das segundas derivadas espaciais), V é o potencial elétrico e \rho é a densidade de carga volumétrica.
  • Laplace (em regiões sem carga): \label{Laplace} \nabla^{2}V(\mathbf{r})=0.
No nosso caso: dentro da esfera ( r<a) usamos Poisson com \rho=\rho_{0}; fora da esfera ( r>a) usamos Laplace com \rho=0.
Condições de contorno na superfície r=a:
  • Continuidade do potencial: V_{\text{in}}(a)=V_{\text{out}}(a).
  • Continuidade de \varepsilon\,\partial V/\partial n. Aqui \varepsilon é a mesma ( \varepsilon_{0}) em ambos os lados, então a derivada radial é contínua: \left.\dfrac{dV_{\text{in}}}{dr}\right|_{r=a}=\left.\dfrac{dV_{\text{out}}}{dr}\right|_{r=a}.
Além disso, simetria: a esfera e a densidade são esféricamente simétricas, então o potencial depende só da distância r ao centro: V=V(r). Isso simplifica muito as equações.

Passo 3

Expressão do laplaciano para uma função radial V(r) (importante para resolver as EDOs):
\nabla^{2}V(r)=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dV}{dr}\right).
Explicação: em coordenadas esféricas, o laplaciano tem termos angulares; para função puramente radial esses termos desaparecem e sobra a fórmula acima. As variáveis: r é a distância ao centro; dV/dr é a derivada radial.

Passo 4

Resolver Poisson dentro da esfera ( 0\le r<a). Escrevemos a equação com a forma radial:
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dV_{\text{in}}}{dr}\right)=-\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}.
Multiplicamos por r^{2}:
\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dV_{\text{in}}}{dr}\right)=-\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\,r^{2}.
Integramos em relação a r (primeira integração): à direita a integral de -\rho_{0}r^{2}/\varepsilon_{0} é -\rho_{0}r^{3}/(3\varepsilon_{0}), então
r^{2}\frac{dV_{\text{in}}}{dr}=-\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}\,r^{3}+C_{1},
onde C_{1} é constante de integração.
Agora isolamos dV_{\text{in}}/dr:
\frac{dV_{\text{in}}}{dr}=-\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}\,r+\frac{C_{1}}{r^{2}}.
Para que V_{\text{in}}(r) seja finito em r=0, o termo \dfrac{C_{1}}{r^{2}} não pode existir (é singular em r=0). Logo devemos ter C_{1}=0.
Com C_{1}=0 :
\frac{dV_{\text{in}}}{dr}=-\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}\,r.
Integramos novamente (segunda integração) para obter V_{\text{in}}(r):
V_{\text{in}}(r)=-\frac{\rho_{0}}{6\varepsilon_{0}}\,r^{2}+C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração (valor do potencial no centro, em princípio).

Passo 5

Resolver Laplace fora da esfera ( r>a). A equação radial é
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dV_{\text{out}}}{dr}\right)=0.
A solução geral (para dependência radial) é conhecida e pode ser obtida integrando duas vezes; o resultado é
V_{\text{out}}(r)=\frac{A}{r}+B,
com constantes A e B.
Como queremos V(r)\to 0 quando r\to\infty (referência absoluta), temos B=0. Portanto
V_{\text{out}}(r)=\frac{A}{r}.
Aqui A será determinado pelas condições na superfície r=a.

Passo 6

Impor continuidade da derivada radial em r=a. Calculamos as derivadas:
  • Derivada interna: \dfrac{dV_{\text{in}}}{dr}=-\dfrac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}\,r. Em r=a:
\left.\frac{dV_{\text{in}}}{dr}\right|_{r=a}=-\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}\,a.
  • Derivada externa: \dfrac{dV_{\text{out}}}{dr}=-\dfrac{A}{r^{2}}. Em r=a:
\left.\frac{dV_{\text{out}}}{dr}\right|_{r=a}=-\frac{A}{a^{2}}.
Igualando as duas (continuidade porque \varepsilon é a mesma dos dois lados):
-\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}\,a=-\frac{A}{a^{2}}.
Isolando A:
A=\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}\,a^{3}.
Observação de verificação rápida: a carga total é Q=\rho_{0}\,\tfrac{4}{3}\pi a^{3}. O potencial externo de uma carga pontual Q seria Q/(4\pi\varepsilon_{0}r). Substituindo Q obtém-se V_{\text{out}}(r)=\dfrac{\rho_{0}a^{3}}{3\varepsilon_{0}}\cdot\dfrac{1}{r}, que coincide com a forma \dfrac{A}{r} com A acima — portanto consistente.

Passo 7

Impor continuidade do potencial em r=a para determinar C_{2}. Temos:
V_{\text{in}}(a)=-\frac{\rho_{0}}{6\varepsilon_{0}}\,a^{2}+C_{2},
V_{\text{out}}(a)=\frac{A}{a}=\frac{1}{a}\cdot\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}\,a^{3}=\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}\,a^{2}.
Igualando V_{\text{in}}(a)=V_{\text{out}}(a):
-\frac{\rho_{0}}{6\varepsilon_{0}}\,a^{2}+C_{2}=\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}\,a^{2}.
Isolando C_{2}:
C_{2}=\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}\,a^{2}+\frac{\rho_{0}}{6\varepsilon_{0}}\,a^{2}=\frac{\rho_{0}}{2\varepsilon_{0}}\,a^{2}.

Passo 8

Agora o potencial no centro r=0 é simplesmente V_{\text{in}}(0)=C_{2} (pois o termo em r^{2} zera):
V(0)=V_{\text{in}}(0)=\frac{\rho_{0}}{2\varepsilon_{0}}\,a^{2}.
Interpretação rápida: o potencial no centro cresce com \rho_{0} e com o quadrado do raio da esfera; faz sentido físico que mais carga ou esfera maior aumentem o potencial no centro.

Resposta

V(0)=\frac{\rho_{0}\,a^{2}}{2\varepsilon_{0}}.

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