Questão 1. Decida se cada um dos conjuntos W abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real V. Demonstre em caso afirmativo e indique o axioma que falha, caso não seja subespaço.
V=\mathbb{R}^{4} e W=\{(x, y, z, w) \mid x=y=z=w\}

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{4} e o subconjunto
W=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^{4}\mid x=y=z=w\}.
A pergunta é: decidir se W é subespaço de \mathbb{R}^{4}. Se for, demonstrar; se não for, indicar qual axioma de subespaço falha. Informações relevantes: um vetor de W tem todas as quatro coordenadas iguais.

Passo 2

Regra prática (teorema) que vamos usar: um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço vetorial se, e somente se,
  1. W não é vazio (equivalente a conter o vetor nulo),
  2. W é fechado sob soma: se u\in W e v\in W então u+v\in W,
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se u\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in W.
Explicando: esses três itens garantem que todas as propriedades relevantes (existência do zero, existência de soma e multiplicação por escalares que permanecem no conjunto) são satisfeitas — as demais propriedades dos axiomas de espaço vetorial (associatividade, comutatividade da soma, leis distributivas, etc.) já valem em V e passam para W porque W herda as operações.

Passo 3

Verificar que W não é vazio, mostrando que o vetor nulo está em W.
O vetor nulo de \mathbb{R}^{4} é (0,0,0,0). Como todas as suas coordenadas são iguais, tem 0=0=0=0, logo
(0,0,0,0)\in W.
Portanto W contém o vetor nulo e não é vazio (axioma 1 satisfeito).

Passo 4

Verificar fechamento por soma.
Tomemos vetores genéricos em W. Se u\in W e v\in W, então existem escalares a,b\in\mathbb{R} tais que
u=(a,a,a,a),\qquad v=(b,b,b,b).
Calculemos a soma:
u+v=(a,a,a,a)+(b,b,b,b)=(a+b,a+b,a+b,a+b).
Como todas as coordenadas de u+v são iguais (iguais a a+b), segue que u+v\in W. Assim W é fechado sob soma (axioma 2 satisfeito).

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação escalar.
Tomando u\in W com u=(a,a,a,a) e um escalar \lambda\in\mathbb{R}, temos
\lambda u=\lambda(a,a,a,a)=(\lambda a,\lambda a,\lambda a,\lambda a).
Novamente todas as coordenadas são iguais (iguais a \lambda a), logo \lambda u\in W. Portanto W é fechado sob multiplicação escalar (axioma 3 satisfeito).

Passo 6

Conclusão e observação extra.
Como W contém o vetor nulo e é fechado sob soma e multiplicação escalar, pelo critério do Passo 2 concluímos que W é subespaço de \mathbb{R}^{4}.
Uma forma alternativa e rápida de ver isso (útil na prova): todo vetor de W pode ser escrito como
(a,a,a,a)=a(1,1,1,1),
portanto
W=\text{span}\{(1,1,1,1)\},
isto é, W é a reta (subespaço unidimensional) gerada por (1,1,1,1). Logo \dim W=1.
Força aí — essa é daquelas questões que rendem pontuação fácil se você lembrar de checar as três propriedades direto!

Resposta

W é um subespaço de \mathbb{R}^{4}. W=\mathrm{span}\{(1,1,1,1)\} e \dim W=1.

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