Questão 1. Decida se cada um dos conjuntos
abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real
. Demonstre em caso afirmativo e indique o axioma que falha, caso não seja subespaço.
e
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
e o subconjunto
A pergunta é: decidir se
é subespaço de
. Se for, demonstrar; se não for, indicar qual axioma de subespaço falha. Informações relevantes: um vetor de
tem todas as quatro coordenadas iguais.
Passo 2
Regra prática (teorema) que vamos usar: um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço vetorial se, e somente se,
-
não é vazio (equivalente a conter o vetor nulo), -
é fechado sob soma: se e então , -
é fechado sob multiplicação escalar: se e então .
Explicando: esses três itens garantem que todas as propriedades relevantes (existência do zero, existência de soma e multiplicação por escalares que permanecem no conjunto) são satisfeitas — as demais propriedades dos axiomas de espaço vetorial (associatividade, comutatividade da soma, leis distributivas, etc.) já valem em
e passam para
porque
herda as operações.
Passo 3
Verificar que
não é vazio, mostrando que o vetor nulo está em
.
O vetor nulo de
é
. Como todas as suas coordenadas são iguais, tem
, logo
Portanto
contém o vetor nulo e não é vazio (axioma 1 satisfeito).
Passo 4
Verificar fechamento por soma.
Tomemos vetores genéricos em
. Se
e
, então existem escalares
tais que
Calculemos a soma:
Como todas as coordenadas de
são iguais (iguais a
), segue que
. Assim
é fechado sob soma (axioma 2 satisfeito).
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação escalar.
Tomando
com
e um escalar
, temos
Novamente todas as coordenadas são iguais (iguais a
), logo
. Portanto
é fechado sob multiplicação escalar (axioma 3 satisfeito).
Passo 6
Conclusão e observação extra.
Como
contém o vetor nulo e é fechado sob soma e multiplicação escalar, pelo critério do Passo 2 concluímos que
é subespaço de
.
Uma forma alternativa e rápida de ver isso (útil na prova): todo vetor de
pode ser escrito como
portanto
isto é,
é a reta (subespaço unidimensional) gerada por
. Logo
.
Força aí — essa é daquelas questões que rendem pontuação fácil se você lembrar de checar as três propriedades direto!