Questão 1. Decida se cada um dos conjuntos
abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real
. Demonstre em caso afirmativo e indique o axioma que falha, caso não seja subespaço.
e
constante })
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial real
, isto é, o conjunto de todas as funções
com as operações usuais (adição e multiplicação escalar ponto a ponto). O subconjunto é
O que se pede: decidir se
é um subespaço vetorial de
. Se for, demonstrar; se não for, indicar qual axioma de subespaço falha.
Passos seguintes: vou mostrar formalmente o que significa “função constante”, lembrar o critério prático para verificar subespaço e checar cada condição com exemplos e contas detalhadas.
Passo 2
Primeiro, explicando bem o que é uma função constante: dizer que
significa que existe um número real
tal que
Vou usar a notação
para a função constante cujo valor é
, isto é,
para todo
.
Também lembro como são as operações em
(pois vamos usá-las): para
e
,
para todo
. Essas são as operações ponto a ponto.
Passo 3
Qual é o critério prático para verificar se um subconjunto
é subespaço? Uma forma simples e suficiente é verificar três coisas:
-
é não vazio (por exemplo, contém o vetor zero de ); -
é fechado sob adição: se então ; -
é fechado sob multiplicação escalar: se e então .
Se essas três condições valem,
herda todos os outros axiomas de
(associatividade, existência de inverso etc.) e, portanto, é subespaço. Vou checar cada uma detalhadamente.
Passo 4
Verificar que
é não vazio e contém o zero de
.
O vetor zero em
é a função
definida por
para todo
. Note que
é uma função constante (com constante
). Logo
. Portanto
não é vazio e contém o elemento neutro aditivo de
.
Comentário didático: sempre que puder, buscar o
é uma maneira rápida de mostrar não nulidade de um candidato a subespaço.
Passo 5
Verificar fechamento por adição.
Sejam
. Então existem
tais que, para todo
,
Agora calcule a soma ponto a ponto: para todo
,
Como
é um número real independente de
, a função
é a função constante
. Portanto
. Isso prova a fechamento por adição.
Dica prática para a prova: escreva sempre
e
e depois mostre a expressão para
; isso deixa claro que o valor não depende de
.
Passo 6
Verificar fechamento por multiplicação escalar (e, como consequência, existência de inverso aditivo).
Seja
e
. Como
é constante, existe
tal que
para todo
. Então, para todo
,
Logo
é a função constante
, portanto
.
Em particular, tomando
, obtém-se
, ou seja, o inverso aditivo de
pertence a
. Assim a existência de inversos aditivos em
também está garantida.
Passo 7
Conclusão lógica.
Verificamos que:
-
(não vazio e contém o neutro aditivo); -
é fechado sob adição; -
é fechado sob multiplicação por escalares.
Pelo critério de subespaço, essas propriedades são suficientes para concluir que
é um subespaço vetorial de
. Todos os demais axiomas de espaço vetorial (associatividade, comutatividade da adição, distributividade, etc.) são herdados de
porque
usa as mesmas operações restritas.
Resumo de quais axiomas foram verificados explicitamente: existência do elemento nulo em
, fechamento sob adição e fechamento sob multiplicação escalar. A existência de inverso aditivo em
segue do fechamento escalar com
.
Passo 8
Exemplo concreto e dica final (didática e motivação, para a prova).
Exemplo rápido: se
, então funções em
são aquelas do tipo
. Por exemplo
com
e
com
. Soma:
é
(valor
em ambos os pontos). Escalar:
é
. Isso ajuda a visualizar o porquê do fechamento.
Dica para a prova: diante de um subconjunto de funções, escreva sempre "se
e
para todo
" e calcule
e
. Se os resultados não dependerem de
, o subconjunto é de funções constantes e os fechamentos ficam óbvios.