Questão 1. Decida se cada um dos conjuntos W abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real V. Demonstre em caso afirmativo e indique o axioma que falha, caso não seja subespaço.
V=\mathcal{F}(X, \mathbb{R}) e W=\{f: X \rightarrow \mathbb{R} \mid f constante })

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial real V=\mathcal{F}(X,\mathbb{R}), isto é, o conjunto de todas as funções f:X\to\mathbb{R} com as operações usuais (adição e multiplicação escalar ponto a ponto). O subconjunto é
W=\{f:X\to\mathbb{R}\mid f\\ \text{é constante}\}.é
O que se pede: decidir se W é um subespaço vetorial de V. Se for, demonstrar; se não for, indicar qual axioma de subespaço falha.
Passos seguintes: vou mostrar formalmente o que significa “função constante”, lembrar o critério prático para verificar subespaço e checar cada condição com exemplos e contas detalhadas.

Passo 2

Primeiro, explicando bem o que é uma função constante: dizer que f\in W significa que existe um número real c tal que
f(x)=c\quad\text{para todo }x\in X.
Vou usar a notação f_c para a função constante cujo valor é c, isto é, f_c(x)=c para todo x.
Também lembro como são as operações em V (pois vamos usá-las): para f,g\in V e \lambda\in\mathbb{R},
(f+g)(x)=f(x)+g(x),\qquad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x),
para todo x\in X. Essas são as operações ponto a ponto.

Passo 3

Qual é o critério prático para verificar se um subconjunto W\subseteq V é subespaço? Uma forma simples e suficiente é verificar três coisas:
  1. W é não vazio (por exemplo, contém o vetor zero de V);
  2. W é fechado sob adição: se f,g\in W então f+g\in W;
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se \lambda\in\mathbb{R} e f\in W então \lambda f\in W.
Se essas três condições valem, W herda todos os outros axiomas de V (associatividade, existência de inverso etc.) e, portanto, é subespaço. Vou checar cada uma detalhadamente.

Passo 4

Verificar que W é não vazio e contém o zero de V.
O vetor zero em V é a função 0_V definida por 0_V(x)=0 para todo x\in X. Note que 0_V é uma função constante (com constante c=0). Logo 0_V\in W. Portanto W não é vazio e contém o elemento neutro aditivo de V.
Comentário didático: sempre que puder, buscar o 0_V é uma maneira rápida de mostrar não nulidade de um candidato a subespaço.

Passo 5

Verificar fechamento por adição.
Sejam f,g\in W. Então existem a,b\in\mathbb{R} tais que, para todo x\in X,
f(x)=a,\qquad g(x)=b.
Agora calcule a soma ponto a ponto: para todo x\in X,
(f+g)(x)=f(x)+g(x)=a+b.
Como a+b é um número real independente de x, a função f+g é a função constante f_{a+b}. Portanto f+g\in W. Isso prova a fechamento por adição.
Dica prática para a prova: escreva sempre f(x)=a e g(x)=b e depois mostre a expressão para (f+g)(x); isso deixa claro que o valor não depende de x.

Passo 6

Verificar fechamento por multiplicação escalar (e, como consequência, existência de inverso aditivo).
Seja \lambda\in\mathbb{R} e f\in W. Como f é constante, existe a\in\mathbb{R} tal que f(x)=a para todo x. Então, para todo x,
(\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x)=\lambda a.
Logo \lambda f é a função constante f_{\lambda a}, portanto \lambda f\in W.
Em particular, tomando \lambda=-1, obtém-se (-1)f=-f\in W, ou seja, o inverso aditivo de f pertence a W. Assim a existência de inversos aditivos em W também está garantida.

Passo 7

Conclusão lógica.
Verificamos que:
  • 0_V\in W (não vazio e contém o neutro aditivo);
  • W é fechado sob adição;
  • W é fechado sob multiplicação por escalares.
Pelo critério de subespaço, essas propriedades são suficientes para concluir que W é um subespaço vetorial de V. Todos os demais axiomas de espaço vetorial (associatividade, comutatividade da adição, distributividade, etc.) são herdados de V porque W usa as mesmas operações restritas.
Resumo de quais axiomas foram verificados explicitamente: existência do elemento nulo em W, fechamento sob adição e fechamento sob multiplicação escalar. A existência de inverso aditivo em W segue do fechamento escalar com \lambda=-1.

Passo 8

Exemplo concreto e dica final (didática e motivação, para a prova).
Exemplo rápido: se X=\{1,2\}, então funções em W são aquelas do tipo f(1)=f(2)=c. Por exemplo f_{3} com f_{3}(1)=f_{3}(2)=3 e f_{2} com f_{2}(1)=f_{2}(2)=2. Soma: f_3+f_2 é f_{5} (valor 5 em ambos os pontos). Escalar: 2\cdot f_3 é f_{6}. Isso ajuda a visualizar o porquê do fechamento.
Dica para a prova: diante de um subconjunto de funções, escreva sempre "se f(x)=a e g(x)=b para todo x" e calcule (f+g)(x) e (\lambda f)(x). Se os resultados não dependerem de x, o subconjunto é de funções constantes e os fechamentos ficam óbvios.

Resposta

\text{W é subespaço vetorial de }V.éç

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