Questão 2. Decompor as funções seguintes nas funções elementares
, restritas aos domínios apropriados:
Passo 1
O enunciado pede para decompor a função
nas funções elementares dadas, restritas aos domínios apropriados. As funções elementares fornecidas são:
O que precisa ser entregue:
- Uma expressão de
como composição e operações entre . - A indicação dos domínios (restrições) necessárias para que cada composição faça sentido e, em particular, o domínio final de
.
Passo 2
Ideia prática (aqui só descrevendo os blocos que vou montar): para obter
é natural construir primeiro
, depois o recíproco
e então multiplicar por
; por fim aplicar a raiz quadrada. Vou definir passo a passo funções auxiliares usando apenas
e
.
Definições:
Em notação de composições:
(Isto é, primeiro
, depois
, depois multiplicar pelo
e por fim aplicar
.)
Passo 3
Agora é obrigatório analisar os domínios de cada etapa para garantir que todas as operações sejam válidas.
-
Para
: e estão definidas em todo , logo é definida em . -
Para
: a função exige que o argumento seja diferente de zero. Assim é preciso , ou seja . Logo o domínio de é . -
Para
: exige-se o mesmo que para , portanto está definida em . -
Para
: além de estar definida, a raiz quadrada exige que o argumento seja não negativo. Logo precisamos resolver
Passo 4
Resolver a desigualdade
(fazendo uma análise de sinais):
Pontos críticos:
(numerador zero) e
(denominador zero, excluído).
Intervalos e sinais:
- Para
: numerador , denominador → quociente . - Para
: numerador , denominador → quociente . - Para
: numerador , denominador → quociente .
Em
o quociente vale
, que satisfaz a desigualdade; em
a expressão não está definida. Portanto a solução da desigualdade é
Esse é o domínio final de
, já incorporando tanto a exigência de
quanto a exigência de
.
Passo 5
Resumo das restrições em cada etapa (para ficar bem claro como aplicar isso numa prova):
-
está definida em . -
exige , isto é . -
herda . -
exige ainda , que leva ao domínio final .
Na prática, na hora da prova: constrói-se
com
e
, aplica
para obter o recíproco, multiplica por
para obter
e por fim aplica
. Sempre verifique onde o denominador é zero e onde o argumento da raiz é não negativo.
Resposta
com domínio