Questão 2. Decompor as funções seguintes nas funções elementares r(x)= \sqrt{x}, i(x)=\frac{1}{x}, I d(x)=x, k(x)=1, restritas aos domínios apropriados:
f(x)=\sqrt{\frac{x}{x+1}}\,

Passo 1

O enunciado pede para decompor a função f(x)=\sqrt{\dfrac{x}{x+1}} nas funções elementares dadas, restritas aos domínios apropriados. As funções elementares fornecidas são:
r(x)=\sqrt{x},\qquad i(x)=\dfrac{1}{x},\qquad Id(x)=x,\qquad k(x)=1.
O que precisa ser entregue:
  • Uma expressão de f como composição e operações entre r,\;i,\;Id,\;k.
  • A indicação dos domínios (restrições) necessárias para que cada composição faça sentido e, em particular, o domínio final de f.

Passo 2

Ideia prática (aqui só descrevendo os blocos que vou montar): para obter \dfrac{x}{x+1} é natural construir primeiro x+1, depois o recíproco \dfrac{1}{x+1} e então multiplicar por x; por fim aplicar a raiz quadrada. Vou definir passo a passo funções auxiliares usando apenas Id,\;k,\;i e r.
Definições:
a(x)=Id(x)+k(x)=x+1,
b(x)=i(a(x))=\dfrac{1}{x+1},
c(x)=Id(x)\cdot b(x)=x\cdot \dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x}{x+1},
f(x)=r(c(x))=\sqrt{c(x)}=\sqrt{\dfrac{x}{x+1}}.
Em notação de composições:
f = r\circ \bigl(Id\cdot (i\circ (Id+k))\bigr).
(Isto é, primeiro Id+k, depois i, depois multiplicar pelo Id e por fim aplicar r.)

Passo 3

Agora é obrigatório analisar os domínios de cada etapa para garantir que todas as operações sejam válidas.
  1. Para a(x)=x+1: Id e k estão definidas em todo \mathbb{R}, logo a é definida em \mathbb{R}.
  2. Para b(x)=\dfrac{1}{x+1}: a função i exige que o argumento seja diferente de zero. Assim é preciso x+1\neq 0, ou seja x\neq -1. Logo o domínio de b é \mathbb{R}\setminus\{-1\}.
  3. Para c(x)=x\cdot \dfrac{1}{x+1}: exige-se o mesmo que para b, portanto c está definida em \mathbb{R}\setminus\{-1\}.
  4. Para f(x)=\sqrt{c(x)}: além de c estar definida, a raiz quadrada exige que o argumento seja não negativo. Logo precisamos resolver
\frac{x}{x+1}\ge 0,\qquad x\neq -1.

Passo 4

Resolver a desigualdade \dfrac{x}{x+1}\ge 0 (fazendo uma análise de sinais):
Pontos críticos: x=0 (numerador zero) e x=-1 (denominador zero, excluído).
Intervalos e sinais:
  • Para x<-1: numerador x<0, denominador x+1<0 → quociente >0.
  • Para -1<x<0: numerador x<0, denominador x+1>0 → quociente <0.
  • Para x>0: numerador x>0, denominador x+1>0 → quociente >0.
Em x=0 o quociente vale 0, que satisfaz a desigualdade; em x=-1 a expressão não está definida. Portanto a solução da desigualdade é
x\in (-\infty,-1)\cup[0,\infty).
Esse é o domínio final de f, já incorporando tanto a exigência de i quanto a exigência de r.

Passo 5

Resumo das restrições em cada etapa (para ficar bem claro como aplicar isso numa prova):
  • a(x)=Id(x)+k(x) está definida em \mathbb{R}.
  • b(x)=i(a(x)) exige a(x)\neq 0, isto é x\neq -1.
  • c(x)=Id(x)\cdot b(x) herda x\neq -1.
  • f(x)=r(c(x)) exige ainda c(x)\ge 0, que leva ao domínio final x\in(-\infty,-1)\cup[0,\infty).
Na prática, na hora da prova: constrói-se x+1 com Id e k, aplica i para obter o recíproco, multiplica por Id para obter x/(x+1) e por fim aplica r. Sempre verifique onde o denominador é zero e onde o argumento da raiz é não negativo.

Resposta

f(x)=r\bigl(Id(x)\cdot(i(Id(x)+k(x)))\bigr)=r\bigl(Id(x)\cdot i(Id(x)+k(x))\bigr),
com domínio
x\in(-\infty,-1)\cup[0,\infty).

Exercícios relacionados