Prove:
Passo 1
O enunciado pede para avaliar a expressão
Informações/elementos dados:
- As bases são
, e (não foram dadas restrições no enunciado). - Aparecem expoentes
e (observe que é escrito mas pode ter significado em números). - A pergunta é encontrar o valor da expressão (ou dizer quando ela está bem definida).
Passo 2
Observação simples sobre
: em aritmética real tem-se
Explicação curta e intuitiva:
é o oposto aditivo de
, e o oposto de
é
mesmo. Portanto, para qualquer base
vale
Passo 3
Lembrar e provar a propriedade fundamental do expoente zero (para bases não nulas). Regra dos expoentes: para inteiros
e
,
Escolhendo
obtemos
mas a maneira mais direta é usar a forma com quociente: para
e inteiro
,
O lado esquerdo é
(qualquer número não nulo dividido por si mesmo vale
). Logo conclui-se
Essa é a justificativa padrão:
é definido para que a lei dos expoentes permaneça válida.
Passo 4
Aplicando as observações às bases
,
e
: se
,
e
são diferentes de zero, então
Substituindo na expressão original:
Portanto, no caso geral com bases não nulas a expressão vale
.
Passo 5
Discussão do caso em que alguma base pode ser zero. Se qualquer uma das bases for
então aparece um termo
. Situação:
- Se
então . - Se
ou então ou .
O símboloé indeterminado na análise clássica (não tem valor universalmente aceito) — em muitos contextos de limites ou análise ele é considerado indeterminado; em combinatória às vezes toma-se a convenção , mas isso é uma escolha de convenção, não um teorema geral. Portanto, sem especificar uma convenção, quando alguma base for a expressão contém e fica indefinida (ou depende da convenção adotada).
Passo 6
Resumo prático (para usar numa prova): afirmar claramente as hipóteses e o resultado final.
- Se
, e são números reais diferentes de zero, então a expressão vale . - Se algum de
for , a expressão envolve e, sem convenção adicional, é considerada indefinida.