Prove:
\left[a^{0} \times\left(b^{-0} \times c^{-0}\right)\right]=?

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a expressão
\left[a^{0}\times\left(b^{-0}\times c^{-0}\right)\right].
Informações/elementos dados:
  • As bases são a, b e c (não foram dadas restrições no enunciado).
  • Aparecem expoentes 0 e -0 (observe que -0 é escrito mas pode ter significado em números).
  • A pergunta é encontrar o valor da expressão (ou dizer quando ela está bem definida).

Passo 2

Observação simples sobre -0: em aritmética real tem-se
-0 = 0.
Explicação curta e intuitiva: -0 é o oposto aditivo de 0, e o oposto de 0 é 0 mesmo. Portanto, para qualquer base x vale
x^{-0} = x^{0}.

Passo 3

Lembrar e provar a propriedade fundamental do expoente zero (para bases não nulas). Regra dos expoentes: para inteiros m,n e x\neq0,
x^{m} \cdot x^{n} = x^{m+n}.
Escolhendo m=n obtemos
x^{n}\cdot x^{n}=x^{n+n}=x^{2n},
mas a maneira mais direta é usar a forma com quociente: para x\neq0 e inteiro n,
x^{n}/x^{n}=x^{n-n}=x^{0}.
O lado esquerdo é x^{n}/x^{n}=1 (qualquer número não nulo dividido por si mesmo vale 1). Logo conclui-se
x^{0}=1\quad\text{para }x\neq0.
Essa é a justificativa padrão: x^{0} é definido para que a lei dos expoentes permaneça válida.

Passo 4

Aplicando as observações às bases a, b e c: se a, b e c são diferentes de zero, então
a^{0}=1,\qquad b^{-0}=b^{0}=1,\qquad c^{-0}=c^{0}=1.
Substituindo na expressão original:
\left[a^{0}\times\left(b^{-0}\times c^{-0}\right)\right]=1\times(1\times1)=1.
Portanto, no caso geral com bases não nulas a expressão vale 1.

Passo 5

Discussão do caso em que alguma base pode ser zero. Se qualquer uma das bases for 0 então aparece um termo 0^{0}. Situação:
  • Se a=0 então a^{0}=0^{0}.
  • Se b=0 ou c=0 então b^{-0}=0^{0} ou c^{-0}=0^{0}.
    O símbolo 0^{0} é indeterminado na análise clássica (não tem valor universalmente aceito) — em muitos contextos de limites ou análise ele é considerado indeterminado; em combinatória às vezes toma-se a convenção 0^{0}=1, mas isso é uma escolha de convenção, não um teorema geral. Portanto, sem especificar uma convenção, quando alguma base for 0 a expressão contém 0^{0} e fica indefinida (ou depende da convenção adotada).

Passo 6

Resumo prático (para usar numa prova): afirmar claramente as hipóteses e o resultado final.
  • Se a, b e c são números reais diferentes de zero, então a expressão vale 1.
  • Se algum de a,b,c for 0, a expressão envolve 0^{0} e, sem convenção adicional, é considerada indefinida.

Resposta

Se a\neq0,\;b\neq0,\;c\neq0:\\\ 1
Se algum de a,b,c é 0: expressão envolve 0^{0} e é, em geral, indefinida (salvo convenção específica como 0^{0}=1).

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