Questão 7.6
a) Defina base e dimensão de espaço vetorial.
b) Mostre que é
subespaço de
.
c) Determine uma base e a dimensão de W .
d) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal de W .
a) Defina base e dimensão de espaço vetorial.
b) Mostre que é
c) Determine uma base e a dimensão de W .
d) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal de W .
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas:
(a) Definir o que é base e o que é dimensão de um espaço vetorial.
(b) Mostrar se o conjunto é subespaço de
.
(c) Determinar uma base e a dimensão de .
(d) Usar o método de Gram–Schmidt para determinar uma base ortogonal de .
(a) Definir o que é base e o que é dimensão de um espaço vetorial.
(b) Mostrar se o conjunto
(c) Determinar uma base e a dimensão de
(d) Usar o método de Gram–Schmidt para determinar uma base ortogonal de
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O universo é
. - O conjunto
é formado por todos os vetores cujas quatro coordenadas têm produto zero, isto é, vetores em que pelo menos uma coordenada é zero. - Não foi dada nenhuma outra restrição nem figura.
Passo 2
Definição didática de base e dimensão (parte (a)).
- Espaço vetorial: é um conjunto de vetores com operações de soma e multiplicação por escalar que satisfazem os axiomas usuais (associatividade, existência de zero, etc.). Aqui pensamos em
. - Sistema gerador (span): um conjunto de vetores
gera um subespaço se qualquer vetor de pode ser escrito como combinação linear com escalares . - Vetores linearmente independentes: vetores
são linearmente independentes se a única solução do sistema é . - Base: uma base de um espaço vetorial
é um conjunto de vetores que é ao mesmo tempo gerador de e linearmente independente. Intuitivamente, é um conjunto mínimo de vetores que consegue “produzir” todo o espaço por combinações lineares, sem redundância. - Dimensão: a dimensão de
é o número de vetores de qualquer base de . Teorema importante: todas as bases de um mesmo espaço vetorial finito têm a mesma quantidade de vetores, então a dimensão é bem definida.
Exemplo simples: ema base canônica tem 3 vetores, então .
Passo 3
Critérios para um subconjunto
ser subespaço (parte (b), preparação).
Um subconjunto é subespaço de
se e somente se:
Um subconjunto
- O vetor nulo
pertence a . -
é fechado sob adição: se e , então . -
é fechado sob multiplicação por escalares: se e , então .
Vou usar esses três itens para verificar se
é subespaço.
Passo 4
Verificação das propriedades em
(parte (b), prova).
- Vetor zero: o vetor
tem produto , então . OK. - Fechamento por escalares: seja
. Então , isto é, ao menos uma coordenada é zero. Para qualquer temos . O produto das coordenadas de é . Logo . Portanto é fechado sob multiplicação por escalares. OK. - Fechamento por adição: necessário testar se a soma de dois vetores de
permanece em . Vou procurar um contraexemplo — basta encontrar e tais que .
Escolha os vetores
Ambos estão em
porque
Agora some:
O produto das coordenadas de
é
Portanto
. Conclusão:
não é fechado sob adição.
Como a propriedade de fechamento por adição falha,
não é um subespaço de
.
Comentário empático rápido: eu sei que o enunciado pediu “mostre que é subespaço”; às vezes exercício veio com pegadinha — aqui a missão é justamente ver que, na verdade, não é subespaço e justificar com um contraexemplo. Dá um suspiro, isso é comum.
Passo 5
Consequência imediata para as partes (c) e (d).
- Se
não é subespaço vetorial, então não faz sentido falar em "uma base de " nem em "a dimensão de " no sentido de espaço vetorial, porque base e dimensão são conceitos de espaços vetoriais (ou de subespaços). Logo não existe uma base de nem uma dimensão de enquanto espaço vetorial—essas perguntas são mal-posed dadas como estão. - No entanto, é útil e comum, para entendimento, descrever a estrutura de
: é a união das quatro hipersuperfícies (planos de dimensão 3) dadas por
Cada
é um subespaço linear de
de dimensão 3 (porque é isomorfo a
), e
Nenhuma dessas hipersuperfícies contém as outras, e a união não é lin. fechada (como vimos).
Passo 6
Bases e dimensões das hipersuperfícies (resposta alternativa útil para (c)).
Cada hipersuperfície é um subespaço de dimensão 3; uma base natural (canônica) e a dimensão são:
Cada hipersuperfície
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Observação útil: qualquer subespaço linear contido em
está contido em pelo menos uma dessas hipersuperfícies, e a dimensão máxima de um subespaço linear dentro de
é
. Não existe subespaço linear contido em
de dimensão
(isto seria
) porque
.
Passo 7
Gram–Schmidt e por que não se aplica a
inteiro (parte (d)).
- O método de Gram–Schmidt transforma um conjunto de vetores linearmente independentes em um conjunto ortogonal (ou ortonormal) que gera o mesmo subespaço. Para aplicar Gram–Schmidt precisamos trabalhar dentro de um subespaço vetorial (ou no próprio
). - Como
não é subespaço, não faz sentido aplicar Gram–Schmidt "em " para obter uma base ortogonal de — porque não existe base vetorial de . - Contudo, podemos aplicar Gram–Schmidt em cada hipersuperfície
separadamente. Nas escolhas de base canônica que dei no Passo 6, os vetores já são ortogonais entre si (são vetores canônicos com produto interno padrão). Portanto, por exemplo, para a base
é já uma base ortogonal (na verdade ortonormal, se dividirmos cada vetor pela sua norma, que aqui é 1). O mesmo vale para as demais hipersuperfícies: as bases canônicas listadas são ortogonais.
Resumo do uso prático do Gram–Schmidt aqui: não há aplicação global sobre
porque
não é subespaço; mas aplicando o processo nas bases canônicas das hipersuperfícies obtemos bases ortogonais imediatas (já ortogonais).
Resposta
(a) Base: conjunto de vetores que gera o espaço e é linearmente independente. Dimensão: número de vetores de uma base do espaço.
(b) não é subespaço de
. Contraexemplo:
,
, mas
.
(c) Não existe base nem dimensão de enquanto espaço vetorial, pois
não é subespaço. (Como informação útil:
é a união dos hipersubespaços
, cada um com dimensão
e bases canônicas dadas no Passo 6.)
(d) Gram–Schmidt não pode ser aplicado ao conjunto inteiro porque
não é subespaço. Aplicando Gram–Schmidt às bases canônicas de cada hipersuperfície obtém‑se bases ortogonais (as bases canônicas já são ortogonais), por exemplo para
:
.
(b)
(c) Não existe base nem dimensão de
(d) Gram–Schmidt não pode ser aplicado ao conjunto