Questão 7.9
a) Defina base e dimensão de espaço vetorial.
b) Mostre que é W=(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+3 y-z+t=0 subespaço de \mathbb{R}^{4}.
c) Determine uma base e a dimensão de W .
d) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal de W .

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas:
  1. (a) Definir o que é base e dimensão de um espaço vetorial.
  2. (b) Mostrar que o conjunto W=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid x+3y-z+t=0\} é subespaço de \mathbb{R}^4.
  3. (c) Determinar uma base de W e a dimensão de W.
  4. (d) Aplicar o método de Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal de W.
As informações dadas são apenas a descrição de W através da equação linear
x+3y-z+t=0.

Passo 2

(a) Definições (passo-a-passo didático).
Definição de base: uma família de vetores \{v_1,\dots,v_k\} de um espaço vetorial V é uma base se satisfaz duas propriedades:
\text{(i) a família gera }V,\quad\text{ou seja, qualquer }v\in V\text{ pode ser escrita como }v=\alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_k v_k;í
\text{(ii) a família é linearmente independente, ou seja, se }\alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_k v_k=0\text{ então }\alpha_1=\cdots=\alpha_k=0.íéã
Explicando: “gera” significa que com combinações lineares dos vetores da base eu consigo montar qualquer vetor do espaço; “linearmente independente” significa que nenhum vetor da base pode ser escrito como combinação linear dos outros — isso evita redundância.
Definição de dimensão: a dimensão de V, denotada \dim(V), é o número de vetores em qualquer base de V. Teorema importante usado implicitamente: todas as bases de um mesmo espaço vetorial têm o mesmo número de vetores, então \dim(V) está bem definida.
Exemplo simples: no espaço \mathbb{R}^2, \{(1,0),(0,1)\} é uma base e \dim(\mathbb{R}^2)=2.

Passo 3

(b) Mostrar que W é subespaço de \mathbb{R}^4.
Para provar que um subconjunto W de um espaço vetorial é subespaço, basta mostrar três propriedades:
  1. 0\in W.
  2. Se u\in W e v\in W então u+v\in W (fechamento por adição).
  3. Se u\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in W (fechamento por multiplicação escalar).
Verificações:
  1. O vetor zero é 0=(0,0,0,0). Substituindo na equação de W:
0+3\cdot 0-0+0=0,
logo 0\in W.
  1. Tome u=(x_1,y_1,z_1,t_1)\in W e v=(x_2,y_2,z_2,t_2)\in W. Como pertencem a W,
x_1+3y_1-z_1+t_1=0,\qquad x_2+3y_2-z_2+t_2=0.
Considere u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2,\;t_1+t_2). Substituindo na equação:
(x_1+x_2)+3(y_1+y_2)-(z_1+z_2)+(t_1+t_2)=(x_1+3y_1-z_1+t_1)+(x_2+3y_2-z_2+t_2)=0+0=0.
Portanto u+v\in W.
  1. Tome \lambda\in\mathbb{R} e u=(x_1,y_1,z_1,t_1)\in W. Como u\in W,
x_1+3y_1-z_1+t_1=0.
Considere \lambda u=(\lambda x_1,\lambda y_1,\lambda z_1,\lambda t_1). Substituindo:
\lambda x_1 + 3(\lambda y_1) - (\lambda z_1) + (\lambda t_1)=\lambda(x_1+3y_1-z_1+t_1)=\lambda\cdot 0=0,
logo \lambda u\in W.
Como as três propriedades valem, W é subespaço de \mathbb{R}^4.

Passo 4

(c) Determinar uma base e a dimensão de W.
Vamos escrever os vetores de W em forma paramétrica. A equação é
x+3y-z+t=0.
Isolamos x:
x=-3y+z-t.
Tomamos parâmetros para as coordenadas livres. Seja y=a,\; z=b,\; t=c com a,b,c\in\mathbb{R}. Então qualquer vetor de W tem a forma
(x,y,z,t)=(-3a+b-c,\; a,\; b,\; c).
Escrevendo como combinação linear das colunas que multiplicam a,b,c:
(-3a+b-c,\; a,\; b,\; c)=a(-3,1,0,0)+b(1,0,1,0)+c(-1,0,0,1).
Definimos os vetores
v_1 = (-3,1,0,0),\qquad v_2=(1,0,1,0),\qquad v_3=(-1,0,0,1).
Então qualquer vetor de W é combinação linear de \{v_1,v_2,v_3\}, ou seja, esses vetores geram W.
Agora verificamos independência linear. Suponha que existam \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} tais que
\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3=0.
Escrevendo coordenada a coordenada:
\alpha(-3)+\beta(1)+\gamma(-1)=0 \quad\text{(coordenada }x\text{)},
\alpha(1)+\beta(0)+\gamma(0)=0 \quad\text{(coordenada }y\text{)},
\alpha(0)+\beta(1)+\gamma(0)=0 \quad\text{(coordenada }z\text{)},
\alpha(0)+\beta(0)+\gamma(1)=0 \quad\text{(coordenada }t\text{)}.
Das últimas três equações obtemos diretamente
\alpha=0,\quad \beta=0,\quad \gamma=0.
Assim os vetores são linearmente independentes. Logo \{v_1,v_2,v_3\} é uma base de W.
Conclusão sobre dimensão: como exibimos uma base com três vetores, \dim(W)=3. (Isto também coincide com a intuição de que uma única equação linear independente em \mathbb{R}^4 reduz a dimensão em 1, dando dimensão 4-1=3.)

Passo 5

(d) Obter uma base ortogonal de W por Gram–Schmidt (explicando o processo).
Primeiro explico a fórmula que vamos usar:
  • Produto interno padrão em \mathbb{R}^4 é o produto escalar
\langle u,v\rangle = u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3+u_4v_4.
  • Projeção de w sobre u (onde u\neq 0) é
\operatorname{proj}_u(w)=\frac{\langle w,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u.
Gram–Schmidt transforma uma família linearmente independente \{v_1,v_2,v_3\} numa família ortogonal \{u_1,u_2,u_3\} por:
u_1=v_1,
u_2 = v_2 - \operatorname{proj}_{u_1}(v_2),
u_3 = v_3 - \operatorname{proj}_{u_1}(v_3) - \operatorname{proj}_{u_2}(v_3).
Esses u_i são ortogonais entre si.
Aplicando aos vetores da base encontrada:
Passo 5.1: escolha inicial
v_1 = (-3,1,0,0),\qquad v_2=(1,0,1,0),\qquad v_3=(-1,0,0,1).
Passo 5.2: primeiro vetor ortogonal
u_1=v_1=(-3,1,0,0).
Calcule \langle u_1,u_1\rangle:
\langle u_1,u_1\rangle = (-3)^2+1^2+0^2+0^2=9+1=10.
Passo 5.3: calcular u_2
Calcule \langle v_2,u_1\rangle:
\langle v_2,u_1\rangle = 1\cdot(-3)+0\cdot 1 +1\cdot 0 +0\cdot 0 = -3.
Logo
\operatorname{proj}_{u_1}(v_2)=\frac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}u_1=\frac{-3}{10}u_1.
Então
u_2 = v_2 - \operatorname{proj}_{u_1}(v_2)=v_2+\frac{3}{10}u_1.
Computando coordenadas:
u_2=\left(1,\;0,\;1,\;0\right)+\frac{3}{10}\left(-3,\;1,\;0,\;0\right)=\left(\tfrac{1}{10},\;\tfrac{3}{10},\;1,\;0\right).
Para evitar frações, podemos multiplicar u_2 por 10 (isto mantém ortogonalidade e gera um vetor não-nulo):
w_2 = 10u_2=(1,3,10,0).
Verificação rápida: \langle u_1,w_2\rangle=10\langle u_1,u_2\rangle=0, então w_2 é ortogonal a u_1.
Passo 5.4: calcular u_3
Primeiro calcule \langle v_3,u_1\rangle e \langle v_3,u_2\rangle (usando u_2=\left(\tfrac{1}{10},\tfrac{3}{10},1,0\right) é mais direto para aplicar a fórmula):
\langle v_3,u_1\rangle = (-1)(-3)+0\cdot 1 +0\cdot 0 +1\cdot 0 = 3.
\langle v_3,u_2\rangle = (-1)\cdot\tfrac{1}{10} + 0\cdot\tfrac{3}{10} +0\cdot 1 +1\cdot 0 = -\tfrac{1}{10}.
Também já temos \langle u_1,u_1\rangle=10. Calcule \langle u_2,u_2\rangle:
\langle u_2,u_2\rangle = \left(\tfrac{1}{10}\right)^2+\left(\tfrac{3}{10}\right)^2+1^2+0^2=\tfrac{1}{100}+\tfrac{9}{100}+1=\tfrac{10}{100}+1=\tfrac{11}{10}.
Então as projeções são
\operatorname{proj}_{u_1}(v_3)=\frac{3}{10}u_1,\qquad \operatorname{proj}_{u_2}(v_3)=\frac{-\tfrac{1}{10}}{\tfrac{11}{10}}\,u_2=-\frac{1}{11}u_2.
Assim
u_3 = v_3 - \frac{3}{10}u_1 + \frac{1}{11}u_2.
Calculando coordenadas usando u_2=\left(\tfrac{1}{10},\tfrac{3}{10},1,0\right) e u_1=(-3,1,0,0):
u_3 = (-1,0,0,1) - \frac{3}{10}(-3,1,0,0) + \frac{1}{11}\left(\tfrac{1}{10},\tfrac{3}{10},1,0\right).
Fazendo as contas (detalhadas):
-\frac{3}{10}u_1 = \left(-\frac{3}{10}\cdot -3,\; -\frac{3}{10}\cdot 1,\;0,\;0\right)=\left(-\tfrac{9}{10},\tfrac{3}{10},0,0\right)
(com sinal tratado conforme operação), e
\frac{1}{11}u_2=\left(\tfrac{1}{110},\tfrac{3}{110},\tfrac{1}{11},0\right).
Somando cuidadosamente, obtemos
u_3=\left(-\tfrac{1}{11},\;-\tfrac{3}{11},\;\tfrac{1}{11},\;1\right).
Multiplicando por 11 para remover frações e obter um vetor com entradas inteiras, definimos
w_3 = 11 u_3 = (-1,-3,1,11).
Verificações rápidas:
\langle u_1,w_3\rangle = 11\langle u_1,u_3\rangle =0,\qquad \langle w_2,w_3\rangle =0,
portanto \{u_1,w_2,w_3\} é uma família de vetores mutuamente ortogonais e todos pertencem a W. Como são três vetores ortogonais não-nulos em W (que tem dimensão 3), eles formam uma base ortogonal de W.
Podemos então apresentar a base ortogonal (com entradas inteiras) como
\{\,(-3,1,0,0),\;(1,3,10,0),\;(-1,-3,1,11)\,\}.
Se quisermos uma base ortonormal, bastaria normalizar cada vetor dividindo pela sua norma.

Resposta

(a) Uma base é uma família de vetores que gera o espaço e é linearmente independente; a dimensão é o número de vetores de qualquer base ( \dim(V) é esse número).
(b) Sim, W é subespaço de \mathbb{R}^4 (contém 0, fechado para soma e multiplicação escalar).
(c) Uma base de W é \{(-3,1,0,0),\;(1,0,1,0),\;(-1,0,0,1)\} e \dim(W)=3.
(d) Uma base ortogonal de W (obtida por Gram–Schmidt) é \{(-3,1,0,0),\;(1,3,10,0),\;(-1,-3,1,11)\}.

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