Questão 7.9
a) Defina base e dimensão de espaço vetorial.
b) Mostre que é
subespaço de
.
c) Determine uma base e a dimensão de W .
d) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal de W .
a) Defina base e dimensão de espaço vetorial.
b) Mostre que é
c) Determine uma base e a dimensão de W .
d) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal de W .
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas:
- (a) Definir o que é base e dimensão de um espaço vetorial.
- (b) Mostrar que o conjunto
é subespaço de . - (c) Determinar uma base de
e a dimensão de . - (d) Aplicar o método de Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal de
.
As informações dadas são apenas a descrição de
através da equação linear
Passo 2
(a) Definições (passo-a-passo didático).
Definição de base: uma família de vetores de um espaço vetorial
é uma base se satisfaz duas propriedades:
Definição de base: uma família de vetores
Explicando: “gera” significa que com combinações lineares dos vetores da base eu consigo montar qualquer vetor do espaço; “linearmente independente” significa que nenhum vetor da base pode ser escrito como combinação linear dos outros — isso evita redundância.
Definição de dimensão: a dimensão de
, denotada
, é o número de vetores em qualquer base de
. Teorema importante usado implicitamente: todas as bases de um mesmo espaço vetorial têm o mesmo número de vetores, então
está bem definida.
Exemplo simples: no espaço
,
é uma base e
.
Passo 3
(b) Mostrar que
é subespaço de
.
Para provar que um subconjunto
de um espaço vetorial é subespaço, basta mostrar três propriedades:
-
. - Se
e então (fechamento por adição). - Se
e então (fechamento por multiplicação escalar).
Verificações:
- O vetor zero é
. Substituindo na equação de :
logo
.
- Tome
e . Como pertencem a ,
Considere
. Substituindo na equação:
Portanto
.
- Tome
e . Como ,
Considere
. Substituindo:
logo
.
Como as três propriedades valem,
é subespaço de
.
Passo 4
(c) Determinar uma base e a dimensão de
.
Vamos escrever os vetores de
em forma paramétrica. A equação é
Isolamos
:
Tomamos parâmetros para as coordenadas livres. Seja
com
. Então qualquer vetor de
tem a forma
Escrevendo como combinação linear das colunas que multiplicam
:
Definimos os vetores
Então qualquer vetor de
é combinação linear de
, ou seja, esses vetores geram
.
Agora verificamos independência linear. Suponha que existam
tais que
Escrevendo coordenada a coordenada:
Das últimas três equações obtemos diretamente
Assim os vetores são linearmente independentes. Logo
é uma base de
.
Conclusão sobre dimensão: como exibimos uma base com três vetores,
. (Isto também coincide com a intuição de que uma única equação linear independente em
reduz a dimensão em
, dando dimensão
.)
Passo 5
(d) Obter uma base ortogonal de
por Gram–Schmidt (explicando o processo).
Primeiro explico a fórmula que vamos usar:
- Produto interno padrão em
é o produto escalar
- Projeção de
sobre (onde ) é
Gram–Schmidt transforma uma família linearmente independente
numa família ortogonal
por:
Esses
são ortogonais entre si.
Aplicando aos vetores da base encontrada:
Passo 5.1: escolha inicial
Passo 5.2: primeiro vetor ortogonal
Calcule
:
Passo 5.3: calcular
Calcule :
Calcule
Logo
Então
Computando coordenadas:
Para evitar frações, podemos multiplicar
por
(isto mantém ortogonalidade e gera um vetor não-nulo):
Verificação rápida:
, então
é ortogonal a
.
Passo 5.4: calcular
Primeiro calcule e
(usando
é mais direto para aplicar a fórmula):
Primeiro calcule
Também já temos
. Calcule
:
Então as projeções são
Assim
Calculando coordenadas usando
e
:
Fazendo as contas (detalhadas):
(com sinal tratado conforme operação), e
Somando cuidadosamente, obtemos
Multiplicando por
para remover frações e obter um vetor com entradas inteiras, definimos
Verificações rápidas:
portanto
é uma família de vetores mutuamente ortogonais e todos pertencem a
. Como são três vetores ortogonais não-nulos em
(que tem dimensão
), eles formam uma base ortogonal de
.
Podemos então apresentar a base ortogonal (com entradas inteiras) como
Se quisermos uma base ortonormal, bastaria normalizar cada vetor dividindo pela sua norma.
Resposta
(a) Uma base é uma família de vetores que gera o espaço e é linearmente independente; a dimensão é o número de vetores de qualquer base (
é esse número).
(b) Sim, é subespaço de
(contém
, fechado para soma e multiplicação escalar).
(c) Uma base de é
e
.
(d) Uma base ortogonal de (obtida por Gram–Schmidt) é
.
(b) Sim,
(c) Uma base de
(d) Uma base ortogonal de