Questão 5.3
a) Defina conjunto de vetores linearmente independentes (1.i.) e conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.). Considere três vetores v, w, u \in \mathbb{R}^{n} não nulos e dois ortogonais (i.e., v \perp w, v \perp u e w \perp u ).
b) Mostre que v, w, u são linearmente independentes.
c) Os vetores 4 v+u, 2 w+v e 3 u+w são linearmente independentes? Justifique.
d) Os vetores w-3 v, 2 u-v e u-2 w são linearmente independentes? Justifique.
e) Supondo que \mathrm{v}, \mathrm{w}, \mathrm{u} são unitários, calcule o ângulo entre 2 u+v e 4 v+w.

Passo 1

O enunciado pede as seguintes coisas e nos dá as seguintes informações:
  • Pedidos:
    a) Definir conjunto de vetores linearmente independentes (l.i.) e conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.).
    b) Mostrar que, dadas três condições, v,w,u são linearmente independentes.
    c) Determinar se os vetores 4v+u,\;2w+v,\;3u+w são linearmente independentes e justificar.
    d) Determinar se os vetores w-3v,\;2u-v,\;u-2w são linearmente independentes e justificar.
    e) Supondo que v,w,u são vetores unitários, calcular o ângulo entre 2u+v e 4v+w.
  • Informações dadas:
    • v,w,u\in\mathbb{R}^n são vetores não nulos.
    • Eles são dois a dois ortogonais, isto é, v\perp w,\;v\perp u,\;w\perp u.
    • Para (e) adicionalmente \|v\|=\|w\|=\|u\|=1.
A partir daqui vou resolver passo a passo cada item, explicando a teoria necessária ao longo do caminho.

Passo 2

(a) Definições e explicação didática.
  • Definição de conjunto linearmente independente (l.i.):
    Um conjunto de vetores \{x_1,x_2,\dots,x_k\}\subset\mathbb{R}^n é dito linearmente independente quando a única combinação linear que produz o vetor nulo é a combinação trivial. Escrevendo isso formalmente:
    \text{se } \alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\cdots+\alpha_k x_k = 0,\text{ então } \alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_k=0.ã
    Aqui \alpha_1,\dots,\alpha_k são escalares (reais). Ou seja: não existe uma combinação não-trivial que some para zero.
    Explicação amigável: pense que os vetores não “se encaixam” uns nos outros — nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos demais.
  • Definição de conjunto linearmente dependente (l.d.):
    Um conjunto \{x_1,\dots,x_k\} é linearmente dependente quando existe uma combinação linear não-trivial que dá zero. Formalmente:
    \exists\\ \alpha_1,\dots,\alpha_k\\ \text{não todos zero tal que }\alpha_1 x_1+\cdots+\alpha_k x_k=0.ã
    Equivalente: pelo menos um vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.
  • Como testar na prática (dica útil para prova):
    Quando os vetores são ortogonais dois a dois e nenhum é o vetor zero, basta notar que as componentes nas direções mutuamente ortogonais são independentes: se \alpha_1 x_1+\cdots+\alpha_k x_k=0 e os x_i são ortogonais, fazendo produto interno com cada x_j isolamos \alpha_j, porque x_i\cdot x_j=0 para i\neq j e x_j\cdot x_j=\|x_j\|^2\neq0. Vou usar exatamente essa ideia nos próximos itens.

Passo 3

(b) Mostrar que v,w,u são linearmente independentes.
Queremos provar que se
\alpha v+\beta w+\gamma u = 0
então \alpha=\beta=\gamma=0.
Como os vetores são ortogonais dois a dois e não nulos, eu faço produto interno da equação acima com cada um dos vetores v,w,u. Lembrando que o produto interno tem as propriedades lineares e que v\cdot w=0, etc.
  • Produto interno com v:
    (\alpha v+\beta w+\gamma u)\cdot v = 0\cdot v = 0.
    Pelo lado esquerdo e ortogonalidade:
    \alpha (v\cdot v) + \beta (w\cdot v) + \gamma (u\cdot v) = \alpha \|v\|^2 + \beta\cdot 0 + \gamma\cdot 0 = \alpha\|v\|^2 = 0.
    Como v não é nulo, \|v\|^2>0, logo \alpha=0.
  • Produto interno com w: análogo dá \beta\|w\|^2=0 então \beta=0.
  • Produto interno com u: análogo dá \gamma\|u\|^2=0 então \gamma=0.
Portanto \alpha=\beta=\gamma=0 e assim v,w,u são linearmente independentes. Intuitivamente: vetores ortogonais e não nulos formam sempre um conjunto l.i.

Passo 4

(c) Independência dos vetores [4v+u,;2w+v,;3u+w).
Procedimento: suponha que exista combinação linear com escalares a,b,c tal que
a(4v+u)+b(2w+v)+c(3u+w)=0.
Vou expandir e agrupar as componentes segundo as base-direções v,w,u (sabendo que essas direções são mutuamente ortogonais, o que nos permite igualar coeficientes diante de combinação igual a zero).
Expandindo:
(4a+b)\,v + (2b+c)\,w + (a+3c)\,u = 0.
Agora, como v,w,u são ortogonais e não nulos, a combinação acima só é zero se cada coeficiente for zero (uma forma de ver isso é fazendo produto interno com v,w,u e obtendo as mesmas equações). Temos o sistema linear em a,b,c:
\begin{cases} 4a + b = 0,\\[4pt] 2b + c = 0,\\[4pt] a + 3c = 0. \end{cases}
Vou resolver passo a passo:
  • Da primeira equação b=-4a\]. - Substituindo na segunda: \(2(-4a)+c= -8a + c = 0 então c=8a.
    - Substituindo em a+3c=0: a+3(8a)=a+24a=25a=0 então a=0.
    - Com a=0 segue b=0 e c=0.
Só existe a solução trivial, portanto os vetores 4v+u,\;2w+v,\;3u+w são linearmente independentes.
Observação didática: esse tipo de problema fica muito mais simples ao observar que as combinações separam naturalmente nas direções ortogonais v,w,u, transformando o problema vetorial numa simples resolução de um sistema linear em escalares.]

Passo 5

(d) Independência dos vetores [w-3v,;2u-v,;u-2w).
Mesma técnica: suponha que existem escalares A,B,C tais que
A(w-3v)+B(2u-v)+C(u-2w)=0.
Expando e agrupo por v,w,u:
(-3A - B)\,v + (A - 2C)\,w + (2B + C)\,u = 0.
Como v,w,u são ortogonais e não nulos, cada coeficiente deve ser zero. Obtemos o sistema:
\begin{cases} -3A - B = 0,\\[4pt] A - 2C = 0,\\[4pt] 2B + C = 0. \end{cases}
Vou rearrumar o primeiro para (3A + B = 0] para ficar mais claro.
Resolver:
  • Da segunda equação A=2C.
  • Substituindo na primeira 3(2C) + B = 6C + B = 0 então B = -6C.
  • Substituindo em terceira 2(-6C) + C = -12C + C = -11C = 0 então C=0.
  • Com C=0 segue A=0 e B=0.
Portanto a única solução é trivial e os vetores w-3v,\;2u-v,\;u-2w são linearmente independentes.
Comentário curto: de novo, a ortogonalidade transforma o problema em um pequeno sistema linear em escalares — padrão repetido em provas.]

Passo 6

(e) Ângulo entre 2u+v e 4v+w, supondo v,w,u unitários ( \|v\|=\|w\|=\|u\|=1).
Fórmula que vamos usar (lembrete didático):
  • Produto interno e cosseno do ângulo: para vetores x,y, \cos\theta = \frac{x\cdot y}{\|x\|\,\|y\|},onde \theta é o ângulo entre x e y.
Primeiro calcule o produto interno
(2u+v)\cdot(4v+w).
Expandindo e usando ortogonalidade ( u\cdot v=0,\;u\cdot w=0,\;v\cdot w=0) e unidade ( v\cdot v=1, etc.):
(2u+v)\cdot(4v+w) = 2u\cdot 4v + 2u\cdot w + v\cdot 4v + v\cdot w = 0 + 0 + 4(v\cdot v) + 0 = 4\cdot 1 = 4.
Agora os comprimentos (normas):
\|2u+v\|^2 = (2u+v)\cdot(2u+v) = 4(u\cdot u) + 4(u\cdot v) + (v\cdot v) = 4\cdot1 + 0 + 1 = 5,
portanto \|2u+v\|=\sqrt{5}.
\|4v+w\|^2 = (4v+w)\cdot(4v+w) = 16(v\cdot v) + 8(v\cdot w) + (w\cdot w) = 16\cdot1 + 0 + 1 = 17,
portanto \|4v+w\|=\sqrt{17}.
Logo
\cos\theta = \frac{4}{\sqrt{5}\,\sqrt{17}} = \frac{4}{\sqrt{85}}.
Então o ângulo \theta é
\theta = \operatorname{arccos}\!\bigg(\frac{4}{\sqrt{85}}\bigg).
Se quiser uma aproximação numérica rápida (não pedida): \frac{4}{\sqrt{85}}\approx 0{,}433, então \theta\approx 64{,}3^\circ. Mas a forma exata com arccos é suficiente e elegante para prova.

Resposta

(a) Conjunto l.i.: Um conjunto \{x_1,\dots,x_k\} é linearmente independente se \alpha_1 x_1+\cdots+\alpha_k x_k=0 implica \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0.
Conjunto l.d.: Um conjunto é linearmente dependente se existem escalares não todos nulos com \alpha_1 x_1+\cdots+\alpha_k x_k=0.
(b) v,w,u são linearmente independentes.
(c) Os vetores 4v+u,\;2w+v,\;3u+w são linearmente independentes.
(d) Os vetores w-3v,\;2u-v,\;u-2w são linearmente independentes.
(e) \displaystyle \theta=\operatorname{arccos}\!\bigg(\frac{4}{\sqrt{85}}\bigg).

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