Questão 5.2
a) Defina conjunto de vetores linearmente independentes (1.i.) e conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.). Considere três vetores v, w, u \in \mathbb{R}^{n} não nulos e dois ortogonais (i.e., v \perp w, v \perp u e w \perp u ).
b) Mostre que v, w, u são linearmente independentes.
c) Os vetores 2 v+w, 3 u+v e w+2 u são linearmente independentes? Justifique.
d) Os vetores 2 v-w, u-v e 4 w-u são linearmente independentes? Justifique.
e) Supondo que \mathrm{v}, \mathrm{w}, u são unitários, calcule o ângulo entre 2 w+v e 3 u+w.

Passo 1

O enunciado pede:
  • (a) Definir conjunto de vetores linearmente independentes (l.i.) e linearmente dependentes (l.d.).
  • (b) Mostrar que três vetores v,w,u\in\mathbb{R}^n não nulos e dois a dois ortogonais (isto é, v\perp w,\;v\perp u,\;w\perp u) são linearmente independentes.
  • (c) Verificar se os vetores 2v+w,\;3u+v,\;w+2u são linearmente independentes e justificar.
  • (d) Verificar se os vetores 2v-w,\;u-v,\;4w-u são linearmente independentes e justificar.
  • (e) Supondo que v,w,u sejam unitários (isto é, \|v\|=\|w\|=\|u\|=1) calcular o ângulo entre 2w+v e 3u+w.
Informações dadas:
  • v,w,u são vetores não nulos em \mathbb{R}^n.
  • São ortogonais dois a dois: v\cdot w=0,\;v\cdot u=0,\;w\cdot u=0.
  • Para (e) adicionalmente \|v\|=\|w\|=\|u\|=1.

Passo 2

Definições (explicadas passo a passo).
  • Conjunto linearmente independente (l.i.): um conjunto de vetores \{x_1,\dots,x_k\} é dito linearmente independente se a única forma de obter a combinação linear nula é tomando todos os coeficientes iguais a zero. Em símbolos:
\text{Se }\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\cdots+\alpha_k x_k=0\text{ então }\alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_k=0.ã
Explicação: isso significa que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros — cada vetor traz informação nova (direção) ao conjunto.
  • Conjunto linearmente dependente (l.d.): um conjunto \{x_1,\dots,x_k\} é linearmente dependente se existe uma combinação linear não trivial que dá zero, ou seja, existem coeficientes nem todos nulos tais que
\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\cdots+\alpha_k x_k=0
com pelo menos um \alpha_i\neq 0. Explicação: nesse caso pelo menos um vetor é combinação linear dos demais.

Passo 3

Ferramentas que usaremos (produto interno e suas propriedades).
  • Produto interno: para vetores a,b\in\mathbb{R}^n usamos a\cdot b.
    Propriedades importantes:
    1. Simetria: a\cdot b=b\cdot a.
    2. Bilinearidade: (\lambda a + \mu b)\cdot c = \lambda (a\cdot c) + \mu (b\cdot c) para escalares \lambda,\mu.
    3. Norma: \|a\|^2 = a\cdot a e \|a\|\ge 0, \|a\|=0 só se a=0.
Uso prático: se v,w,u são ortogonais dois a dois, ao tomar produto interno de uma combinação linear com um dos vetores, os termos cruzados desaparecem graças à ortogonalidade. Isso permite separar as equações para os coeficientes.

Passo 4

Prova de (b): mostrar que v,w,u são linearmente independentes.
  • Começamos assumindo uma combinação linear que dá o vetor zero:
\alpha v+\beta w+\gamma u=0,
com escalares \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}.
  • Tomamos produto interno com v. Usando bilinearidade e ortogonalidade:
(\alpha v+\beta w+\gamma u)\cdot v = \alpha (v\cdot v) + \beta (w\cdot v) + \gamma (u\cdot v).
Mas w\cdot v=0 e u\cdot v=0 por ortogonalidade, então
\alpha (v\cdot v)=0.
Como v é não nulo, \|v\|^2=v\cdot v>0, portanto \alpha=0.
  • Analogamente, tomando produto interno com w obtemos \beta=0 e com u obtemos \gamma=0.
  • Conclusão: a única combinação linear que dá zero tem todos os coeficientes nulos. Logo \{v,w,u\} é linearmente independente.
Comentário didático: esse é um argumento padrão — ortogonalidade separa as componentes, transformando a verificação de independência em três equações simples.

Passo 5

Parte (c): verificar se 2v+w,\;3u+v,\;w+2u\) são linearmente independentes. - Estratégia: suponha que exista combinação linear nula e mostrar que todos os coeficientes são zero. Escrevemos: \[\alpha(2v+w)+\beta(3u+v)+\gamma(w+2u)=0.
  • Expandimos usando distributividade:
(2\alpha+\beta)\,v + (\alpha+\gamma)\,w + (3\beta+2\gamma)\,u = 0.
(Observe que eu agrupei os coeficientes que multiplicam v,w,u.)
  • Como v,w,u são ortogonais e não nulos, pelo raciocínio do Passo 4 os coeficientes das bases devem ser zero separadamente. Assim obtemos o sistema linear:
\begin{cases} 2\alpha+\beta=0,\\[4pt] \alpha+\gamma=0,\\[4pt] 3\beta+2\gamma=0. \end{cases}
  • Resolver o sistema passo a passo:
    • Da primeira equação \beta=-2\alpha\]. - Da segunda \(\gamma=-\alpha.
      - Substituindo na terceira: 3(-2\alpha)+2(-\alpha)= -6\alpha-2\alpha=-8\alpha=0.
      - Logo \alpha=0. Então \beta=0 e \gamma=0.
      - Conclusão: a única solução é a trivial, portanto os vetores 2v+w,\;3u+v,\;w+2u são linearmente independentes.
Didática extra: a expansão em componentes na base ortogonal transforma a questão de dependência em um sistema linear pequeno; resolver esse sistema é mecânico e rápido.]

Passo 6

Parte (d): verificar se 2v-w,\;u-v,\;4w-u\) são linearmente independentes. - Assumimos combinação linear nula: \[\alpha(2v-w)+\beta(u-v)+\gamma(4w-u)=0.
  • Expandindo e agrupando por v,w,u:
(2\alpha-\beta)\,v + (-\alpha+4\gamma)\,w + (\beta-\gamma)\,u = 0.
  • Pelo mesmo argumento da ortogonalidade, obtemos o sistema:
\begin{cases} 2\alpha-\beta=0,\\[4pt] -\alpha+4\gamma=0,\\[4pt] \beta-\gamma=0. \end{cases}
  • Resolver passo a passo:
    • Da primeira: \beta=2\alpha\]. - Da terceira: \(\gamma=\beta=2\alpha.
      - Substituindo na segunda: -\alpha+4(2\alpha) = -\alpha+8\alpha=7\alpha=0.
      - Logo \alpha=0. Então \beta=0 e \gamma=0.
      - Conclusão: apenas solução trivial, logo 2v-w,\;u-v,\;4w-u são linearmente independentes.
Comentário pedagógico: embora as combinações sejam diferentes, o método é sempre o mesmo quando se tem vetores ortogonais — expandir e aproveitar que as componentes são independentes.]

Passo 7

Parte (e): calcular o ângulo entre 2w+v e 3u+w supondo \|v\|=\|w\|=\|u\|=1.
  • Fórmula do cosseno do ângulo \theta entre vetores x e y:
\cos\theta = \frac{x\cdot y}{\|x\|\,\|y\|}.
Aplicamos com x=2w+v e y=3u+w.
  • Primeiro o produto escalar x\cdot y. Usando bilinearidade e ortogonalidade ( v\cdot w=v\cdot u=w\cdot u=0):
(2w+v)\cdot(3u+w) = 2w\cdot 3u + 2w\cdot w + v\cdot 3u + v\cdot w = 0 + 2(w\cdot w) + 0 + 0.
Como \|w\|=1, w\cdot w=1. Logo
(2w+v)\cdot(3u+w)=2.
  • Agora as normas:
    • \|2w+v\|^2 = (2w+v)\cdot(2w+v) = 4(w\cdot w) + (v\cdot v) + 4(w\cdot v) = 4\cdot 1 + 1 + 0 = 5. Assim \|2w+v\|=\sqrt{5}.
    • \|3u+w\|^2 = (3u+w)\cdot(3u+w) = 9(u\cdot u) + (w\cdot w) + 6(u\cdot w) = 9\cdot 1 + 1 + 0 = 10. Assim \|3u+w\|=\sqrt{10}.
  • Portanto
\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{5}\,\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{50}} = \frac{2}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{5}.
  • Conclusão: o ângulo \theta satisfaz
\theta = \operatorname{arccos}\!\bigg(\frac{\sqrt{2}}{5}\bigg).

Resposta

(a) \{x_1,\dots,x_k\} é linearmente independente se, sempre que \alpha_1 x_1+\cdots+\alpha_k x_k=0, temos \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0. \{x_1,\dots,x_k\} é linearmente dependente se existem escalares nem todos nulos com \alpha_1 x_1+\cdots+\alpha_k x_k=0.\n
(b) Sim. v,w,u são linearmente independentes.\n
(c) Sim. 2v+w,\;3u+v,\;w+2u são linearmente independentes.\n
(d) Sim. 2v-w,\;u-v,\;4w-u são linearmente independentes.\n
(e) \displaystyle \cos\theta=\frac{\sqrt{2}}{5}, logo \displaystyle \theta=\operatorname{arccos}\!\bigg(\frac{\sqrt{2}}{5}\bigg).

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