Questão 5.6
a) Defina conjunto de vetores linearmente independentes (l.i.) e conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.). Considere três vetores v, w, u \in \mathbb{R}^{n} não nulos e dois ortogonais (i.e., v \perp w, v \perp u e w \perp u ).
b) Mostre que v, w, u são linearmente independentes.
c) Os vetores 2 u+5 v, w+u e 2 w+v são linearmente independentes? Justifique.
d) Os vetores 3 v-w, 2 u-v e u-w são linearmente independentes? Justifique.
e) Supondo que \mathrm{v}, \mathrm{w}, \mathrm{u} são unitários, calcule o ângulo entre 3 u+v e 2 v+w.

Passo 1

O enunciado pede o seguinte:
a) Definir conjunto de vetores linearmente independentes (l.i.) e conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.).
b) Dado v,w,u\in\mathbb{R}^n não nulos e tais que v\perp w,\;v\perp u,\;w\perp u (ou seja, são dois ortogonais — na prática aqui são os três pairwise ortogonais), mostrar que v,w,u são linearmente independentes.
c) Determinar se os vetores 2u+5v,\;w+u,\;2w+v são linearmente independentes; justificar.
d) Determinar se os vetores 3v-w,\;2u-v,\;u-w são linearmente independentes; justificar.
e) Supondo que v,w,u são unitários, calcular o ângulo entre 3u+v e 2v+w.
Informações dadas e assumidas: os vetores v,w,u são não nulos e mutuamente ortogonais; em (e) adicionalmente são unitários ( \|v\|=\|w\|=\|u\|=1). Nenhuma figura ou dado adicional é necessário.

Passo 2

Definições (resposta de (a)) — vou explicar devagar, tipo “como contar a história” pra não embaralhar:
Definição de linearmente independentes. Dizemos que os vetores x_1,x_2,\dots,x_k em \mathbb{R}^n são linearmente independentes se a única solução para a combinação linear
\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \cdots + \alpha_k x_k = 0
é \alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_k=0. Intuitivamente: nenhum dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros; os coeficientes da combinação nula têm que ser todos zero.
Definição de linearmente dependentes. Os vetores x_1,\dots,x_k são linearmente dependentes se existe uma combinação linear não trivial que dê zero, isto é, existem coeficientes \alpha_i, nem todos nulos, tais que
\alpha_1 x_1 + \cdots + \alpha_k x_k = 0.
Intuitivamente: ao menos um vetor é combinação linear dos demais.
Exemplo simples para fixar: em \mathbb{R}^2, vetores colineares (na mesma reta) são linearmente dependentes; vetores que não estejam na mesma reta (isto é, que formem uma base do plano) são linearmente independentes.

Passo 3

Prova de (b): mostrar que v,w,u são linearmente independentes quando são não nulos e ortogonais dois a dois.
Estratégia e ideia didática: peço para você imaginar que alguém disse “ \alpha v+\beta w+\gamma u=0”. Vamos provar que todos os coeficientes \alpha,\beta,\gamma devem ser zero. A ferramenta mágica é usar o produto interno (produto escalar) e a ortogonalidade: quando vetores são ortogonais, os produtos cruzados são zero, então fazendo produto interno com v, w e u isolamos cada coeficiente.
Começamos supondo
\alpha v + \beta w + \gamma u = 0.
Fazemos produto interno com v. Lembrando que \langle v,v\rangle=\|v\|^2 e \langle v,w\rangle=0 etc., obtemos
\langle \alpha v + \beta w + \gamma u, v\rangle = \alpha \langle v,v\rangle + \beta \langle w,v\rangle + \gamma \langle u,v\rangle = \alpha \|v\|^2 = 0.
Como v é não nulo, \|v\|^2>0. Logo \alpha=0.
Analogamente, fazendo produto interno com w temos \beta\|w\|^2=0, portanto \beta=0. Fazendo produto interno com u obtemos \gamma\|u\|^2=0, logo \gamma=0.
Concluímos que a única solução é \alpha=\beta=\gamma=0, portanto v,w,u são linearmente independentes.
Comentário motivador: quando os vetores formam um trio ortogonal (e não nulo), cada um “vive numa direção própria” — é por isso que são independentes.

Passo 4

Parte (c): verificar se x_1=2u+5v,\;x_2=w+u,\;x_3=2w+v são linearmente independentes.
Plano: suponha uma combinação linear nula e use produto interno com v,w,u (a ortogonalidade zera cruzamentos), assim obtemos um sistema simples para os coeficientes.
Suponha
a x_1 + b x_2 + c x_3 = 0,
ou explicitamente
a(2u+5v) + b(w+u) + c(2w+v) = 0.
Fazemos produto interno com v. Usando linearidade e que \langle v,w\rangle=\langle v,u\rangle=0, temos
\langle a(2u+5v) + b(w+u) + c(2w+v), v\rangle = a\cdot 5\|v\|^2 + c\cdot 1\|v\|^2 = (5a+c)\|v\|^2 = 0.
Como \|v\|^2>0, obtemos
5a + c = 0. \tag{1}
Fazendo produto interno com w:
\langle \cdots, w\rangle = b\|w\|^2 + 2c\|w\|^2 = (b+2c)\|w\|^2 = 0,
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b + 2c = 0. \tag{2}
Fazendo produto interno com u:
\langle \cdots, u\rangle = 2a\|u\|^2 + b\|u\|^2 = (2a+b)\|u\|^2 = 0,
logo
2a + b = 0. \tag{3}
Agora resolvemos o sistema linear em (a,b,c). Da (3) vem b=-2a. Substituindo em (2): -2a + 2c = 0 implica c=a. Substituindo em (1): 5a + c = 5a + a = 6a = 0 implica a=0. Então b=0 e c=0.
Conclusão: a única solução é a=b=c=0, logo os vetores 2u+5v,\;w+u,\;2w+v são linearmente independentes.
Observação prática: usar o produto interno com as direções ortogonais é uma técnica rápida e limpa nesses problemas.

Passo 5

Parte (d): verificar se y_1=3v-w,\;y_2=2u-v,\;y_3=u-w são linearmente independentes.
Mesma ideia: suponha
\alpha y_1 + \beta y_2 + \gamma y_3 = 0,
ou seja
\alpha(3v-w) + \beta(2u-v) + \gamma(u-w) = 0.
Fazemos produto interno com v. Como os cross-terms somem,
\langle \cdots, v\rangle = \alpha\cdot 3\|v\|^2 + \beta\cdot(-1)\|v\|^2 = (3\alpha - \beta)\|v\|^2 = 0,
logo
3\alpha - \beta = 0. \tag{4}
Produto interno com w:
\langle \cdots, w\rangle = \alpha\cdot(-1)\|w\|^2 + \gamma\cdot(-1)\|w\|^2 = -( \alpha + \gamma)\|w\|^2 = 0,
logo
\alpha + \gamma = 0. \tag{5}
Produto interno com u:
\langle \cdots, u\rangle = \beta\cdot 2\|u\|^2 + \gamma\cdot 1\|u\|^2 = (2\beta + \gamma)\|u\|^2 = 0,
logo
2\beta + \gamma = 0. \tag{6}
Resolvendo: de (4) temos \beta=3\alpha. De (5) temos \gamma=-\alpha. Substituindo em (6): 2(3\alpha) + (-\alpha) = 6\alpha - \alpha = 5\alpha = 0 \alpha=0. Então \beta=\gamma=0.
Conclusão: a única solução é trivial, logo 3v-w,\;2u-v,\;u-w são linearmente independentes.
Comentário: apesar das combinações parecerem “estranhas”, o fato de as colunas da matriz de mudança (coordenadas relativas à base ortogonal) terem determinante não nulo é o que garante independência — aqui conseguimos ver isso diretamente pelo sistema derivado dos produtos internos.

Passo 6

Parte (e): ângulo entre 3u+v e 2v+w, supondo v,w,u unitários e mutuamente ortogonais.
Método: usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores a,b:
\cos\theta = \frac{\langle a,b\rangle}{\|a\|\,\|b\|}.
Aqui a=3u+v e b=2v+w. Primeiro calculamos o produto interno e as normas, lembrando que \langle v,w\rangle=\langle v,u\rangle=\langle w,u\rangle=0 e \|v\|=\|w\|=\|u\|=1.
Produto interno:
\langle 3u+v,\;2v+w\rangle = 3\cdot 2\langle u,v\rangle + 3\langle u,w\rangle + 2\langle v,v\rangle + \langle v,w\rangle = 0 + 0 + 2\cdot 1 + 0 = 2.
Normas:
\|3u+v\|^2 = \langle 3u+v,3u+v\rangle = 9\|u\|^2 + 6\langle u,v\rangle + \|v\|^2 = 9 + 0 + 1 = 10,
portanto \|3u+v\|=\sqrt{10}.
\|2v+w\|^2 = 4\|v\|^2 + 4\langle v,w\rangle + \|w\|^2 = 4 + 0 + 1 = 5,
portanto \|2v+w\|=\sqrt{5}.
Logo
\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{10}\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{50}} = \frac{2}{5\sqrt{2}}.
Assim o ângulo é
\theta = \operatorname{arccos}\!\biggl(\frac{2}{5\sqrt{2}}\biggr).
Se quiser uma aproximação numérica, \frac{2}{5\sqrt{2}}\approx 0{,}28284, logo \theta\approx 73{,}6^\circ.

Resposta

(a) Vetores x_1,\dots,x_k são linearmente independentes se a única solução de \alpha_1 x_1+\cdots+\alpha_k x_k=0 é \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0. São linearmente dependentes se existe solução não trivial (algum coeficiente não nulo).
(b) v,w,u são linearmente independentes.
(c) Os vetores 2u+5v,\;w+u,\;2w+v são linearmente independentes.
(d) Os vetores 3v-w,\;2u-v,\;u-w são linearmente independentes.
(e) \theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{2}{5\sqrt{2}}\bigr) (aprox. 73{,}6^\circ).

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