Questão 5.7
a) Defina conjunto de vetores linearmente independentes (l.i.) e conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.). Considere três vetores v, w, u \in \mathbb{R}^{n} não nulos e dois ortogonais (i.e., v \perp w, v \perp u e w \perp u ).
b) Mostre que v, w, u são linearmente independentes.
c) Os vetores 4 v+w, 3 u+v e 2 u+w são linearmente independentes? Justifique.
d) Os vetores u-v, 2 w-u e 3 v-2 w são linearmente independentes? Justifique.
e) Supondo que \mathrm{v}, \mathrm{w}, \mathrm{u} são unitários, calcule o ângulo entre 5 v+u e w+2.

Passo 1

O enunciado pede várias coisas; vou listar claramente o que nos é dado e o que devemos responder, sem ainda resolver nada.
Dados:
  • Três vetores não nulos v,w,u\in\mathbb{R}^n.
  • São dois a dois ortogonais, isto é, v\perp w, v\perp u e w\perp u. Em termos de produto interno: v\cdot w=0, v\cdot u=0 e w\cdot u=0.
  • Em (e) há também a hipótese adicional (mais adiante) de que v,w,u são unitários (norma igual a 1). Observação: no enunciado aparece w+2, que parece ser uma expressão inválida (soma de vetor com escalar); vou apontar essa ambiguidade mais adiante e mostrar como proceder se a intenção for outra.
Perguntas:
(a) Definir conjunto de vetores linearmente independentes (l.i.) e linearmente dependentes (l.d.).
(b) Mostrar que v,w,u são linearmente independentes.
(c) Determinar se 4v+w,\;3u+v,\;2u+w são linearmente independentes; justificar.
(d) Determinar se u-v,\;2w-u,\;3v-2w são linearmente independentes; justificar.
(e) Supondo v,w,u unitários, calcular o ângulo entre 5v+u e w+2 — notar a possível ambiguidade de w+2.

Passo 2

(a) Definições — o que significa ser l.i. e l.d., com explicação didática.
Definição de conjunto linearmente independente:
\text{Um conjunto de vetores } \{x_1,\dots,x_k\}\subset\mathbb{R}^n \text{ é \emph{linearmente independente} se, sempre que}é
\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\dots+\alpha_k x_k = 0
\text{o única solução para os escalares } \alpha_1,\dots,\alpha_k \text{ é } \alpha_1=\alpha_2=\dots=\alpha_k=0.úçãé
Explicação prática: isso quer dizer que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros; a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial (todos coeficientes zero).
Definição de conjunto linearmente dependente:
\text{Um conjunto } \{x_1,\dots,x_k\} \text{ é \emph{linearmente dependente} se existem escalares não todos nulos tais que}éã
\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\dots+\alpha_k x_k = 0.
Explicação prática: existe uma relação linear não-trivial entre os vetores; ao menos um vetor é combinação linear dos outros.
Comentário amigável: na prova, para mostrar independência costuma-se supor uma combinação linear igual a zero e provar que todos os coeficientes são zero; para demonstrar dependência, basta encontrar uma combinação não-trivial igual a zero ou mostrar que um vetor depende dos outros.

Passo 3

(b) Mostrar que v,w,u são linearmente independentes — método e interpretação passo a passo.
Estratégia (muito usada em provas): suponha que exista uma combinação linear que dá o vetor zero e use as propriedades de ortogonalidade (produto interno) para forçar coeficientes a zero.
Suponha
\alpha v + \beta w + \gamma u = 0
para alguns escalares \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}. Nosso objetivo é mostrar \alpha=\beta=\gamma=0.
Agora usamos produto interno (pense nele como “projeção” nas direções v,w,u). Tomamos produto interno dos dois lados com v:
(\alpha v + \beta w + \gamma u)\cdot v = 0\cdot v = 0.
Pelo linearidade do produto interno e pela ortogonalidade w\cdot v=0, u\cdot v=0, isso dá
\alpha (v\cdot v) + \beta (w\cdot v) + \gamma (u\cdot v) = \alpha \|v\|^2 + \beta\cdot 0 + \gamma\cdot 0 = \alpha \|v\|^2 = 0.
Como v é não nulo, \|v\|^2>0. Logo \alpha=0.
Analogamente, fazendo o mesmo com w obtemos
\beta \|w\|^2 = 0 \implies \beta=0,
e com u
\gamma \|u\|^2 = 0 \implies \gamma=0.
Portanto a única combinação que dá zero é a combinação trivial; logo v,w,u são linearmente independentes.
Comentário didático: esse é um argumento muito útil quando se tem vetores mutuamente ortogonais (não nulos): são sempre independentes.

Passo 4

(c) Verificar se 4v+w,\;3u+v,\;2u+w são linearmente independentes — método sistemático.
Método: suponha combinação linear nula entre esses três vetores e use produtos internos com v,w,u (base ortogonal) para obter um sistema linear simples para os coeficientes.
Suponha
\alpha(4v+w) + \beta(3u+v) + \gamma(2u+w) = 0.
Agrupando termos em v,w,u (ou diretamente usando produto interno) dá um sistema. Em vez de expandir, vamos tomar produto interno com v, com w e com u.
Produto interno com v:
(\alpha(4v+w) + \beta(3u+v) + \gamma(2u+w))\cdot v =0.
Usando ortogonalidade e linearidade:
\alpha(4v\cdot v + w\cdot v) + \beta(3u\cdot v + v\cdot v) + \gamma(2u\cdot v + w\cdot v) = 0.
Como w\cdot v=0, u\cdot v=0, e v\cdot v=\|v\|^2, isso reduz a
\alpha\cdot 4\|v\|^2 + \beta\cdot \|v\|^2 + \gamma\cdot 0 = 0.
Dividindo por \|v\|^2>0,
4\alpha + \beta = 0. \qquad (1)
Produto interno com w:
\alpha(4v+w)\cdot w + \beta(3u+v)\cdot w + \gamma(2u+w)\cdot w = 0.
Novamente ortogonalidade mata termos cruzados, ficando
\alpha\cdot \|w\|^2 + \beta\cdot 0 + \gamma\cdot \|w\|^2 \cdot 1 = 0,
ou seja, dividindo por \|w\|^2,
\alpha + \gamma = 0. \qquad (2)
Produto interno com u:
\alpha(4v+w)\cdot u + \beta(3u+v)\cdot u + \gamma(2u+w)\cdot u = 0,
que reduz (pelas ortogonalidades) a
\alpha\cdot 0 + \beta\cdot 3\|u\|^2 + \gamma\cdot 2\|u\|^2 = 0,
ou seja, dividindo por \|u\|^2,
3\beta + 2\gamma = 0. \qquad (3)
Agora resolvemos o sistema linear para \alpha,\beta,\gamma:
  • Da equação (1): \beta = -4\alpha.
  • Da equação (2): \gamma = -\alpha.
  • Substituindo em (3): 3(-4\alpha) + 2(-\alpha) = -12\alpha -2\alpha = -14\alpha = 0.
Logo \alpha=0. Então \beta=-4\alpha=0 e \gamma=-\alpha=0. Portanto a única solução é trivial; os três vetores são linearmente independentes.
Observação didática: aqui usamos de maneira elegante a ortogonalidade para reduzir o problema a um sistema 3×3 muito simples; em prova é o caminho mais rápido e seguro.

Passo 5

(d) Verificar se u-v,\;2w-u,\;3v-2w são linearmente independentes — resolução passo a passo.
Novamente suponha combinação linear nula:
a(u-v) + b(2w-u) + c(3v-2w) = 0.
Tomamos produto interno com v, com w e com u (a base ortogonal simplifica muito).
Produto interno com v:
(a(u-v) + b(2w-u) + c(3v-2w))\cdot v = 0.
Usando ortogonalidade u\cdot v=0, w\cdot v=0 e v\cdot v=\|v\|^2, obtemos
a(0 - \|v\|^2) + b(0 - 0) + c(3\|v\|^2 - 0) = 0,
ou seja, dividindo por \|v\|^2,
- a + 3c = 0. \qquad (4)
Produto interno com w:
a(u-v)\cdot w + b(2w-u)\cdot w + c(3v-2w)\cdot w = 0,
que reduz a
a(0 - 0) + b(2\|w\|^2 - 0) + c(0 - 2\|w\|^2) = 0,
ou seja, dividindo por \|w\|^2,
2b - 2c = 0 \implies b = c. \qquad (5)
Produto interno com u:
a(u-v)\cdot u + b(2w-u)\cdot u + c(3v-2w)\cdot u = 0,
que simplifica a
a(\|u\|^2 - 0) + b(0 - \|u\|^2) + c(0 - 0) = 0,
ou seja, dividindo por \|u\|^2,
a - b = 0 \implies a = b. \qquad (6)
Agora juntamos (5) e (6): a=b=c. Substitindo em (4): -a + 3a = 2a = 0, logo a=0. Assim b=c=0. A única solução é trivial; portanto os três vetores são linearmente independentes.
Comentário prático: coletar coeficientes por v,w,u ou usar produtos internos com base ortogonal dá um sistema simples que se resolve rápido.

Passo 6

(e) Sobre o ângulo entre 5v+u e w+2: observação, método geral e resolução considerando a ambiguidade.
Primeiro: há um problema no enunciado tal como escrito: a expressão w+2 é inválida, pois w é um vetor e 2 é um escalar — não se somam. Portanto, não é possível calcular o ângulo exatamente com esse enunciado sem esclarecer o que seria o “2” (provavelmente faltou um vetor, por exemplo 2v ou 2u). Não vou pedir confirmação (conforme suas instruções), mas vou:
  • Explicar o método correto para calcular o ângulo quando os vetores estão bem definidos, e
  • Calcular o ângulo em duas interpretações plausíveis e frequentes para a correção do enunciado: i) se a intenção foi w+2v, e ii) se a intenção foi w+2u. Assim você já tem as duas respostas caso o professor tenha escrito de forma abreviada.
Método (fórmula do ângulo entre vetores): dado x,y\in\mathbb{R}^n,
\cos\theta = \frac{x\cdot y}{\|x\|\,\|y\|},
onde \theta é o ângulo entre x e y. Aqui o produto interno é o produto escalar usual e \|x\|=\sqrt{x\cdot x}.
Como v,w,u são unitários e ortogonais, temos \|v\|=\|w\|=\|u\|=1 e os produtos mistos valem zero.
Interpretação plausível (i): se o vetor fosse w+2v.
  • Calcule produto interno:
(5v+u)\cdot(w+2v) = 5(v\cdot w) + 10(v\cdot v) + u\cdot w + 2(u\cdot v) = 0 + 10 + 0 + 0 = 10.
  • Normas:
\|5v+u\|^2 = 25\|v\|^2 + 2\cdot 5\,(v\cdot u) + \|u\|^2 = 25+0+1=26 \implies \|5v+u\|=\sqrt{26}.
\|w+2v\|^2 = \|w\|^2 + 4\|v\|^2 + 2(w\cdot v) = 1+4+0=5 \implies \|w+2v\|=\sqrt{5}.
  • Então
\cos\theta = \frac{10}{\sqrt{26}\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{130}}.
O ângulo é
\theta = \operatorname{arccos}\!\bigg(\frac{10}{\sqrt{130}}\bigg).
Valor aproximado: \theta \approx 28{,}6^\circ.
Interpretação plausível (ii): se o vetor fosse w+2u.
  • Produto interno:
(5v+u)\cdot(w+2u) = 5(v\cdot w) + 10(v\cdot u) + u\cdot w + 2(u\cdot u) = 0+0+0+2=2.
  • Normas:
\|w+2u\|^2 = \|w\|^2 + 4\|u\|^2 + 2(w\cdot u) = 1+4+0=5 \implies \|w+2u\|=\sqrt{5}.
  • Então
\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{26}\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{130}},
e
\theta = \operatorname{arccos}\!\bigg(\frac{2}{\sqrt{130}}\bigg).
Valor aproximado: \theta \approx 79{,}9^\circ.
Resumo didático: quando tiver a versão correta (se for w+2v ou w+2u ou outra), aplique a fórmula do cosseno com o produto interno. Se o problema realmente queria w+2 (alguma notação estranha), é necessário esclarecer, pois somar vetor com escalar não faz sentido.

Resposta

(a) Um conjunto \{x_1,\dots,x_k\} é linearmente independente se a única solução do sistema \alpha_1 x_1+\dots+\alpha_k x_k=0 é \alpha_1=\dots=\alpha_k=0. É linearmente dependente se existe uma solução não-trivial (algum \alpha_i\neq0).\n
(b) Sim. v,w,u são linearmente independentes (ortogonalidade e não nulidade implicam \alpha=\beta=\gamma=0 na combinação \alpha v+\beta w+\gamma u=0).\n
(c) Sim. 4v+w,\;3u+v,\;2u+w são linearmente independentes (do sistema obtido por produtos internos vem \alpha=\beta=\gamma=0).\n
(d) Sim. u-v,\;2w-u,\;3v-2w são linearmente independentes (do sistema obtido por produtos internos vem a=b=c=0).\n
(e) Impossível calcular com a expressão dada, pois w+2 é inválida (soma de vetor com escalar). Se a intenção fosse w+2v, então \cos\theta=\dfrac{10}{\sqrt{130}} e \theta=\operatorname{arccos}\!\big(\dfrac{10}{\sqrt{130}}\big)\approx28{,}6^\circ. Se a intenção fosse w+2u, então \cos\theta=\dfrac{2}{\sqrt{130}} e \theta=\operatorname{arccos}\!\big(\dfrac{2}{\sqrt{130}}\big)\approx79{,}9^\circ.

Exercícios relacionados