Questão 5.7
a) Defina conjunto de vetores linearmente independentes (l.i.) e conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.). Considere três vetores
não nulos e dois ortogonais (i.e.,
).
b) Mostre que v, w, u são linearmente independentes.
c) Os vetores
são linearmente independentes? Justifique.
d) Os vetores
e
são linearmente independentes? Justifique.
e) Supondo que
são unitários, calcule o ângulo entre
.
a) Defina conjunto de vetores linearmente independentes (l.i.) e conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.). Considere três vetores
b) Mostre que v, w, u são linearmente independentes.
c) Os vetores
d) Os vetores
e) Supondo que
Passo 1
O enunciado pede várias coisas; vou listar claramente o que nos é dado e o que devemos responder, sem ainda resolver nada.
Dados:
- Três vetores não nulos
. - São dois a dois ortogonais, isto é,
, e . Em termos de produto interno: , e . - Em (e) há também a hipótese adicional (mais adiante) de que
são unitários (norma igual a ). Observação: no enunciado aparece , que parece ser uma expressão inválida (soma de vetor com escalar); vou apontar essa ambiguidade mais adiante e mostrar como proceder se a intenção for outra.
Perguntas:
(a) Definir conjunto de vetores linearmente independentes (l.i.) e linearmente dependentes (l.d.).
(b) Mostrar que são linearmente independentes.
(c) Determinar se são linearmente independentes; justificar.
(d) Determinar se são linearmente independentes; justificar.
(e) Supondo unitários, calcular o ângulo entre
e
— notar a possível ambiguidade de
.
(a) Definir conjunto de vetores linearmente independentes (l.i.) e linearmente dependentes (l.d.).
(b) Mostrar que
(c) Determinar se
(d) Determinar se
(e) Supondo
Passo 2
(a) Definições — o que significa ser l.i. e l.d., com explicação didática.
Definição de conjunto linearmente independente:
Explicação prática: isso quer dizer que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros; a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial (todos coeficientes zero).
Definição de conjunto linearmente dependente:
Explicação prática: existe uma relação linear não-trivial entre os vetores; ao menos um vetor é combinação linear dos outros.
Comentário amigável: na prova, para mostrar independência costuma-se supor uma combinação linear igual a zero e provar que todos os coeficientes são zero; para demonstrar dependência, basta encontrar uma combinação não-trivial igual a zero ou mostrar que um vetor depende dos outros.
Passo 3
(b) Mostrar que
são linearmente independentes — método e interpretação passo a passo.
Estratégia (muito usada em provas): suponha que exista uma combinação linear que dá o vetor zero e use as propriedades de ortogonalidade (produto interno) para forçar coeficientes a zero.
Suponha
para alguns escalares
. Nosso objetivo é mostrar
.
Agora usamos produto interno (pense nele como “projeção” nas direções
). Tomamos produto interno dos dois lados com
:
Pelo linearidade do produto interno e pela ortogonalidade
,
, isso dá
Como
é não nulo,
. Logo
.
Analogamente, fazendo o mesmo com
obtemos
e com
Portanto a única combinação que dá zero é a combinação trivial; logo
são linearmente independentes.
Comentário didático: esse é um argumento muito útil quando se tem vetores mutuamente ortogonais (não nulos): são sempre independentes.
Passo 4
(c) Verificar se
são linearmente independentes — método sistemático.
Método: suponha combinação linear nula entre esses três vetores e use produtos internos com
(base ortogonal) para obter um sistema linear simples para os coeficientes.
Suponha
Agrupando termos em
(ou diretamente usando produto interno) dá um sistema. Em vez de expandir, vamos tomar produto interno com
, com
e com
.
Produto interno com
:
Usando ortogonalidade e linearidade:
Como
,
, e
, isso reduz a
Dividindo por
,
Produto interno com
:
Novamente ortogonalidade mata termos cruzados, ficando
ou seja, dividindo por
,
Produto interno com
:
que reduz (pelas ortogonalidades) a
ou seja, dividindo por
,
Agora resolvemos o sistema linear para
:
- Da equação (1):
. - Da equação (2):
. - Substituindo em (3):
.
Logo
. Então
e
. Portanto a única solução é trivial; os três vetores são linearmente independentes.
Observação didática: aqui usamos de maneira elegante a ortogonalidade para reduzir o problema a um sistema 3×3 muito simples; em prova é o caminho mais rápido e seguro.
Passo 5
(d) Verificar se
são linearmente independentes — resolução passo a passo.
Novamente suponha combinação linear nula:
Tomamos produto interno com
, com
e com
(a base ortogonal simplifica muito).
Produto interno com
:
Usando ortogonalidade
,
e
, obtemos
ou seja, dividindo por
,
Produto interno com
:
que reduz a
ou seja, dividindo por
,
Produto interno com
:
que simplifica a
ou seja, dividindo por
,
Agora juntamos (5) e (6):
. Substitindo em (4):
, logo
. Assim
. A única solução é trivial; portanto os três vetores são linearmente independentes.
Comentário prático: coletar coeficientes por
ou usar produtos internos com base ortogonal dá um sistema simples que se resolve rápido.
Passo 6
(e) Sobre o ângulo entre
e
: observação, método geral e resolução considerando a ambiguidade.
Primeiro: há um problema no enunciado tal como escrito: a expressão
é inválida, pois
é um vetor e
é um escalar — não se somam. Portanto, não é possível calcular o ângulo exatamente com esse enunciado sem esclarecer o que seria o “2” (provavelmente faltou um vetor, por exemplo
ou
). Não vou pedir confirmação (conforme suas instruções), mas vou:
- Explicar o método correto para calcular o ângulo quando os vetores estão bem definidos, e
- Calcular o ângulo em duas interpretações plausíveis e frequentes para a correção do enunciado: i) se a intenção foi
, e ii) se a intenção foi . Assim você já tem as duas respostas caso o professor tenha escrito de forma abreviada.
Método (fórmula do ângulo entre vetores): dado
,
onde
é o ângulo entre
e
. Aqui o produto interno é o produto escalar usual e
.
Como
são unitários e ortogonais, temos
e os produtos mistos valem zero.
Interpretação plausível (i): se o vetor fosse
.
- Calcule produto interno:
- Normas:
- Então
O ângulo é
Valor aproximado:
.
Interpretação plausível (ii): se o vetor fosse
.
- Produto interno:
- Normas:
- Então
e
Valor aproximado:
.
Resumo didático: quando tiver a versão correta (se for
ou
ou outra), aplique a fórmula do cosseno com o produto interno. Se o problema realmente queria
(alguma notação estranha), é necessário esclarecer, pois somar vetor com escalar não faz sentido.
Resposta
(a) Um conjunto
é linearmente independente se a única solução do sistema
é
. É linearmente dependente se existe uma solução não-trivial (algum
).\n
(b) Sim. são linearmente independentes (ortogonalidade e não nulidade implicam
na combinação
).\n
(c) Sim. são linearmente independentes (do sistema obtido por produtos internos vem
).\n
(d) Sim. são linearmente independentes (do sistema obtido por produtos internos vem
).\n
(e) Impossível calcular com a expressão dada, pois é inválida (soma de vetor com escalar). Se a intenção fosse
, então
e
. Se a intenção fosse
, então
e
.
(b) Sim.
(c) Sim.
(d) Sim.
(e) Impossível calcular com a expressão dada, pois